精品解析：辽宁省阜新市实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度九年级上学期 数学学科限时作业 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体中，摆放方式变化但三视图（正方向为从前向后看）始终不变的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3. 在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实根 D. 不确定 5. 已知、满足，那么下列四个选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 8. 某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（ ） A. 1轮后共有名同学会做这个模型 B. 第2轮又增加名同学会做这个模型 C. 依题意可得方程 D. 不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 9. 如图，在中，点E为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 12. 一个不透明的袋子里有10个红球和若干个同样大小的白球，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到红球，请估计袋中大约有白球________个． 13. 如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则______． 14. 如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应______（填“增加”或“减少”）______米． 15. 在矩形中，，，点M从点D运动到点C，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N从B出发向点A运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为 ； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 18. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 19. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动时间为，过点D作于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当 时，四边形为菱形； ②当 时，四边形为矩形． 20. 某市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格元/千克在该市收购了千克该水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①该水果的市场价格每天每千克上涨元； ②平均每天有千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④该水果最多保存天． （1）若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为 元；可以出售的完好水果还有 千克； （2）将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为元？ 21. 如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 22. 四边形是边长为4的正方形，点E沿路线向C点运动，连接，在的右侧作等腰，，且，交射线于点N． （1）如图1，点E在上时，交于点M，若，则点F到直线的距离为 ；的长为 ； （2）如图2，点E在上时， ①若，求的长； ②连接，直接写出的最小值． 23. 在平面直角坐标系中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．如图②，已知点A的坐标为． （1）若点B的坐标为，则点A，B的“相关矩形”的面积为 ； （2）若点C在y轴上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线的表达式； （3）若点D的坐标为，当直线与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，直接写出k的取值范围； （4）若点P在直线上，且点A，P的“相关矩形”为正方形，直接写出点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上学期 数学学科限时作业 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体中，摆放方式变化但三视图（正方向为从前向后看）始终不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立体几何，三视图的特点，掌握三视图的特点是关键． 根据立体几何图形的特点确定三视图即可． 【详解】解：A、长方体的长、宽、高不同，三视图也各不相同，故不符合题意； B、圆柱体的俯视图是圆，与主视图、左视图不同，故不符合题意； C、球体的三视图都是圆，故符合题意； D、长方体的长、宽、高不同，三视图也各不相同，故不符合题意； 故选：C ． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将所有的项都移到方程的左边，方程的右边为0，再得出二次项系数，一次项系数． 【详解】解：， ∴ 二次项系数为，一次项系数为． 故选：A． 3. 在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定方法．矩形是有一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形，矩形是对角线相等的平行四边形，据此求解即可． 【详解】解：选项A：，对角线互相垂直，平行四边形成为菱形，不一定是矩形，不符合题意； 选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项C：，是平行四边形对边相等的性质，不能判定矩形，不符合题意； 选项D：，是平行四边形对角相等的性质，不能判定矩形，不符合题意． 故选B． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实根 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 已知、满足，那么下列四个选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，，对每一项进行计算判断即可． 【详解】解： 设，()， 则有， 故A选项正确； 由，， 可得：， 故B选项正确； 由，， 可知，， ， 故C选项正确； 由，， 可得：，， ， ， 故D选项不正确． 故选：D． 6. 如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 7. 如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 8. 某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（ ） A. 1轮后共有名同学会做这个模型 B. 第2轮又增加名同学会做这个模型 C. 依题意可得方程 D. 不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得x的值是解题的关键．第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，且该值等于36，可解出；然后据此求得第三轮后总人数，即可解答． 【详解】解：∵第一轮后总人数：， ∴第二轮后总人数：， 简化得：， 解得：（负值已舍去）， ∴第三轮后总人数为， ∴选项A、B、C均正确，选项D，错误． 故选：D． 9. 如图，在中，点E为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． 设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，从而得出，即可求解． 【详解】解：设， ∵在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 故选： B． 10. 如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，然后可证，则有，进而根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点为中点， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是熟练应用整体代入法．根据方程根的定义，将已知条件代入代数式，通过代数变形求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋子里有10个红球和若干个同样大小的白球，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到红球，请估计袋中大约有白球________个． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 即估计袋中大约有白球40个． 故答案为：40． 13. 如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理的应用，掌握菱形的性质是解决本题的关键． 根据菱形的性质可得，，，则运用勾股定理可得，最后运用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵菱形的面积， ∴， 故答案为：． 14. 如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应______（填“增加”或“减少”）______米． 【答案】 ①. 增加 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 15. 在矩形中，，，点M从点D运动到点C，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N从B出发向点A运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质，勾股定理，矩形性质，两点之间线段最短．延长到E，使，连接，以为一边构造相似比为的相似三角形，得到，再利用两点之间线段最短，勾股定理解决问题． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， 设点M，点N运动时间为t秒， 由题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，关键是灵活应用； （1）先提取公因式，再用十字相乘法进行因式分解； （2）用提公因式法进行因式分解. 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：； 【小问2详解】 ， ， ， ∴， 即：. 17. 如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为 ； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求作， （2） 当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【解析】 【分析】本题考查作图一位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【小问1详解】 解：连接，交点即为点，点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 18. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 19. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动时间为，过点D作于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当 时，四边形为菱形； ②当 时，四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：由题意可得：，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的存在性问题，结合矩形和菱形的判定条件进行求解是解题的关键． （1）根据已知条件证明，再证明，即可得证； （2）①先证明四边形是平行四边形，根据菱形的判定条件得出，计算即可得解；②根据矩形的性质得出，代入求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ，， 四边形为平行四边形， 要使平行四边形为菱形，则需，即， 解得：， 当时，四边形是菱形； 故答案是：． 要使四边形为矩形，则， ， ， ， ， ，即， 解得：； 即当时，四边形为矩形； 故答案是：． 20. 某市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格元/千克在该市收购了千克该水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①该水果的市场价格每天每千克上涨元； ②平均每天有千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④该水果最多保存天． （1）若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为 元；可以出售的完好水果还有 千克； （2）将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为元？ 【答案】（1）， （2）天 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解； （1）由销售单价=成本单价+每千克上涨价格；完好水果的质量=总质量-损坏的水果的质量可得出结论； （2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵价格每天每千克上涨元， ∴天之后销售单价为：元； 完好的水果还有：千克. 【小问2详解】 解：， 整理得：， 解得：（舍）， 答：存放天后一次性出售所得利润为元. 21. 如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 22. 四边形是边长为4的正方形，点E沿路线向C点运动，连接，在的右侧作等腰，，且，交射线于点N． （1）如图1，点E在上时，交于点M，若，则点F到直线的距离为 ；的长为 ； （2）如图2，点E在上时， ①若，求的长； ②连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①过点作，交的延长线于点，证明，得到．②根据，得到，代入计算即可． （2）①过点作，交的延长线于点，证明，得到，设，则从而得到，根据，得到，代入计算即可． ②如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，证明，四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，从而得到，根据勾股定理，得到，构造二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：①如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①过点作，交的延长线于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 设， 则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴． ②如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 根据勾股定理，得到， ∴当时，有最小值 72 ， ∴有最小值， 故最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练构造一线三直角全等模型，二次函数的最值，三角函数是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．如图②，已知点A的坐标为． （1）若点B的坐标为，则点A，B的“相关矩形”的面积为 ； （2）若点C在y轴上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线的表达式； （3）若点D的坐标为，当直线与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，直接写出k的取值范围； （4）若点P在直线上，且点A，P的“相关矩形”为正方形，直接写出点P坐标． 【答案】（1）3 （2）或 （3）或 （4）或． 【解析】 【分析】（1）根据“相关矩形”画出图象，求出矩形长、宽即可得面积； （2）根据已知画出图象，分别求出、坐标，即可求出直线解析式； （3）求出点、的“相关矩形”的另外两个顶点坐标为坐标为，再计算直线恰好经过、时的值，数形结合即可得出的范围； （4）设，根据点、的“相关矩形”为正方形列方程，求出即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：点、的“相关矩形”如图： ∵点的坐标为，点的坐标为， ， ∴点的“相关矩形”的面积为； 【小问2详解】 解：由题意可得如图所示： ∵点的坐标为， ， 若的“相关矩形”为正方形， ①当在上方时，， ， 设直线的解析式为， 则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ②当在下方，即位置时，， ， 同理可得此时解析式为， 综上所述：直线的表达式为或； 【小问3详解】 解：如图： ∵点的坐标为的坐标为， ∴点、的“相关矩形”的顶点坐标为坐标为， ①若直线恰好经过，此时， 解得：， 而直线与点、的“相关矩形”没有公共点，则， ②若直线恰好经过，此时， 解得：， 而直线与点、的“相关矩形”没有公共点，则， 综上所述：直线与点、的“相关矩形”没有公共点，则或； 【小问4详解】 解：点在直线上， 设， 如图： ∵点、的“相关矩形”为正方形， ， 即或， 解得：或， 或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、一次函数解析式求解，矩形和正方形的性质，解题的关键是读懂“相关矩形”的概念，根据题意画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $