精品解析：广东省深圳市观澜第二中学教育集团2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

观澜二中教育集团2025-2026学年第一学期期中测试试卷 九年级数学 本试卷共6页，20题，满分100分．考试用时90分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可求解． 【详解】由图可知左视图是 故选B． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 1，2，3，4 C. 2，3，5，6 D. 3，4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 4. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 5. 如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①有一组对角相等 B. ②对角线互相垂直 C. ③有一组邻边相等 D. ④对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、有一组对角相等的平行四边形不一定是矩形， ∴此选项填写错误，故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴此选项填写正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴此选项填写正确，故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形， ∴此选项填写正确，故D不符合题意． 故选：A． 7. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先计算停车位的长，宽，后计算即可，本题看出来一元二次方程的应用，正确表示车位的面积是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选D． 8. 如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动；第二P在AD，Q在CB；第三两者在DB运动．在根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可． 【详解】解：根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动 由图像可知，此过程运动时间为2s，运动完成P、Q两点相距cm ∴cm 由菱形性质得：c m，⊥ 同理第三个过程运动完成时P、Q两点相距2cm ∴cm ∴cm 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的相关性质． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值并计算． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 10. 若m是方程的一个根，则的值为________． 【答案】2025 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根的定义，将m代入方程得到，然后代入所求表达式计算． 【详解】解：因为m是方程的一个根，所以，即， 则． 故答案为：2025． 11. 中国结寓意团圆、美满，以独特东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，最后根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AEFD与矩形ABCD相似，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：矩形纸片对折，折痕为， ， 矩形与矩形相似， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 13. 如图，点在矩形的边上，沿折叠，顶点恰好落在边上．再将对折，点的对应点为点，折痕为．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据折叠的性质得出，垂直平分，根据矩形的性质和勾股定理求出，，根据等角的余角相等和相似三角形的判定和性质求出，设，则，，结合勾股定理列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：如图：连接，， 由折叠可得，垂直平分， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∵垂直平分， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． （1）先配方，再直接开平方求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， 配方得：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ． 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形的边长看成单位1，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移3个单位长度得到的； （2）在y轴右侧，以原点O为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为． （3）若是边上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为，则点的坐标为________．（用含a，b的式子表示） （4）若点Q为线段上的黄金分割点，且，则的长度为________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，位似变换，黄金分割，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到其对应点，再首尾顺次连接即可得出答案； （2）根据位似图形的性质，分别画出点、、即可； （3）根据位似图形的性质，即可得出答案． （4）根据黄金分割比即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：由于点的坐标为，相似比为， 根据题意得：点的坐标为． 【小问4详解】 解：∵点Q为线段上的黄金分割点，且，， ∴， ∴． 17. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件：①D是边的中点；②是的角平分线；③点E与点F关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，，再由条件②证，或由条件③证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证，得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：选择条件②： 是的角平分线， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ∴平行四边形菱形； 选择条件③： ， ∴四边形平行四边形， ∵点E与点F关于直线对称， ， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 18. 综合与实践 【动手实践】数学研究的一个重要内容就是研究变化过程中的不变量． 数学课上张老师拿了两块相似比为的三角板，按图1放置，使角的顶点重合，点、点分别在、边上，，．将三角板绕点逆时针旋转，记旋转角为． 【发现问题】（1）当时，________． （2）如图2，当时，________． 【尝试探究】（3）猜想：当时，的值是否有变化？ 答：________，并选择图3或图4其中一种情况加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3）的值不变，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是旋转变换、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，灵活运用分类讨论的思想思考问题． （1）根据直角三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算，即可求解； （2）结合图形计算即可； （3）证明，根据相似三角形的性质计算，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∵与的相似比为， ∴，， ∴，， ∴， 故答案：2． （2）解：根据题意可得，，， ∴， 故答案为：． （3）解：的值不变，证明如下： 如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∴的值不变； 19. 根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 a元/杯 芝士杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 b元/杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6．1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶： 1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元； 2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280件，7月份的销售量为2000件；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100件． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售 量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【答案】任务1，每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是21和19元；任务2，该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务3，该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元时，该款奶茶应该降价4元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1，设每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是和元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； 任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务3，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是和元， 由题意得，解得， 答：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是21和19元； 任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务3，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元时，． 20. 综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图四边形中，，则四边形为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有______（填序号）； 平行四边形；矩形；菱形；正方形． 【应用】（2）如图，中，点为对角线上一点，连接并延长，交边于点，若，求证：． 【延伸】（3）如图，矩形中，，，，过点作直线交对角线于点，交边所在直线于点，若四边形为“邻等角四边形”，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形及特殊平行四边形性质，再结合邻等角四边形定义即可得解； （2）过作于交于点，易证，可得，再通过，结合平行四边形性质导角可得，即可得证； （3）分三种情况讨论，当时，当时，当时，画出符合题意的图形，结合（2）中思路求解即可． 【详解】（1）解：平行四边形和菱形都是邻角互补，矩形和正方形都是邻角相等， 故矩形和正方形是邻等角四边形， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于交于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； （3）解：当时，此时，如图， ，， ， ，， ， ，即， ， ， 四边形为矩形， ， ； 当时，如图，过作交于点，过作于点， 则， ， 在中，，， ， 由等面积可知， 在中，， ，， ， ， ， ， ，即， 解得，， ， ， ， ，即， 解得； 当时，如图，过作于点， 则，即， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ，即， 解得，， ， ； 综上，的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 观澜二中教育集团2025-2026学年第一学期期中测试试卷 九年级数学 本试卷共6页，20题，满分100分．考试用时90分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 1，2，3，4 C. 2，3，5，6 D. 3，4，5，6 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 5. 如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①有一组对角相等 B. ②对角线互相垂直 C. ③有一组邻边相等 D. ④对角线相等 7. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 10. 若m是方程的一个根，则的值为________． 11. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为________． 12. 如图，一张矩形纸片ABCD长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AEFD与矩形ABCD相似，则的值为___． 13. 如图，点在矩形的边上，沿折叠，顶点恰好落在边上．再将对折，点的对应点为点，折痕为．若，，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）． （2）． 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形的边长看成单位1，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移3个单位长度得到的； （2）在y轴右侧，以原点O为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为． （3）若是边上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为，则点的坐标为________．（用含a，b的式子表示） （4）若点Q为线段上的黄金分割点，且，则的长度为________． 17. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件：①D是边的中点；②是的角平分线；③点E与点F关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求长． 18 综合与实践 【动手实践】数学研究的一个重要内容就是研究变化过程中的不变量． 数学课上张老师拿了两块相似比为的三角板，按图1放置，使角的顶点重合，点、点分别在、边上，，．将三角板绕点逆时针旋转，记旋转角为． 【发现问题】（1）当时，________． （2）如图2，当时，________． 【尝试探究】（3）猜想：当时，的值是否有变化？ 答：________，并选择图3或图4其中一种情况加以证明． 19. 根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 a元/杯 芝士杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 b元/杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6．1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶： 1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元； 2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280件，7月份的销售量为2000件；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100件． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶销售 量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 20 综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图四边形中，，则四边形为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有______（填序号）； 平行四边形；矩形；菱形；正方形． 【应用】（2）如图，中，点为对角线上一点，连接并延长，交边于点，若，求证：． 【延伸】（3）如图，矩形中，，，，过点作直线交对角线于点，交边所在直线于点，若四边形为“邻等角四边形”，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $