精品解析：宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

银川一中集团校2025-2026学年第一学期期中试卷 八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列选项中的数是无理数的是（ ） A. B. 2 C. 0.010010001 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数，无理数是无限不循环小数．根据定义，判断各选项是否为无理数即可． 【详解】解：，2，0.010010001，0.2中，只有是无理数，其余均为有理数； 故选A． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可求解． 【详解】解：A、，6，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； C、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，10，20，26不是勾股数，故本选项不符合题意， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根，二次根式的运算，根据相关定义和运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、没有意义，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 5. 如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处，如果“帅”位于点，“相”位于点，建立出平面直角坐标系，A、B、C、D四点坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据图像分别写出A、B、C、D四点的坐标再跟选项对比即可． 【详解】解：根据图象可得，A点的坐标为； B点的坐标为； C点的坐标为； D点的坐标为， ∴B选项正确， 故选B． 6. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键．函数通常表示为一个变量（自变量）与另一个变量（因变量）之间的映射关系据此解答即可． 【详解】解：A、由图可得，任意一个x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； B、由图可得，存在x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； C、由图可得，任意一个x对应着一个y的值，能表示y是x的函数，符合题意； D、由图可得，存在x对应着三个（或两个）y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，算术平方根的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； 故选C 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 实数的整数部分是________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小． 因为，由此可以得到实数的整数部分． 【详解】解： 即， 实数的整数部分是． 故答案为：． 10. 点M在第三象限，到x轴、y轴的距离分别是6和5，则点M的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限内点的坐标特征是解题的关键． 根据点到坐标轴的距离和第三象限内点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点M在第三象限，到x轴、y轴的距离分别是6和5， ∴点M的坐标是． 故答案为：． 11. 如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键 根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平面几何中的问题即可． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中，， 蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是． 故答案为：． 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 若是正比例函数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为（），因此需满足常数项为零且的指数为1，据此求出的值，进行求解即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，得且． 解得，． 则，故． 故答案为：． 14. 如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，…，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是______． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题主要考查点坐标规律探索，找出点的变化规律是解决本题的关键． 根据题意得出规律：第次跳动至点，第次跳动至点，求出点与点的坐标，再计算距离即可． 【详解】解：根据题意可得，第1次点跳动至点， 第2次点跳动至点， 第3次点跳动至点， 第4次点跳动至点， …， 第次跳动至点， 第次跳动至点， 点的坐标为， 点的坐标为， 点与点之间的距离是：， 故答案为：2027． 三、解答题（共计72分） 17. 计算题 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算． （1）先化简二次根式，并计算二次根式的乘法，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），， （2）5 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后怎根据算术平方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得， 解得， ∴，， ∴． ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴； 【小问2详解】 解：当，时，， ∴的算术平方根为5． 【点睛】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点在轴上时，求出点的坐标； （2）当直线平行于轴，且，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． 【小问1详解】 当点在轴上时，得， 解得：， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 平行于轴，且， ， 解得：， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 20. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： （1）画出关于轴的对称图形； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，作轴对称图形，利用网格求三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用网格和轴对称的性质作出轴对称图形即可； （2）利用网格和割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 21. 竖直悬挂的弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）随所挂物体的质量x（单位：）的变化情况如下表（假设本题所有数据都在弹性限度内）： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 （1）由表格知，弹簧原长为______ ，所挂物体每增加，弹簧长度增加_______ ； （2）写出y关于x的函数解析式（不必写自变量的取值范围）； （3）请直接写出： ①所挂物体质量为时的弹簧长度； ②弹簧长度为时所挂物体的质量． 【答案】（1）10；0.5 （2） （3）①； ② 【解析】 【分析】本题考查了函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式． （1）由表格可得弹簧原长以及所挂物体每增加弹簧伸长的长度； （2）由（1）中结论可求出弹簧总长y与所挂重物x之间的函数关系式． （3）①令时，求出y的值即可； ②令时，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由表可知，弹簧原长为，所挂物体每增加，弹簧伸长； 故答案为：12；0.5； 【小问2详解】 解：y关于x的函数解析式为：； 【小问3详解】 解：①当时，则， 即所挂物体质量为时的弹簧长度为； ②当时，则， 解得， 即弹簧长度为时所挂物体的质量为． 22. 笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1）直角三角形； （2）原路线千米 【解析】 【分析】（1）本题考查勾股定理逆定理，根据线段长度结合勾股定理逆定理即可得到答案； （2）本题考查勾股定理，设千米，根据勾股定理直接求解即可得到答案 【小问1详解】 解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设千米，则千米， 由勾股定理得：， 即 解得： 即原路线千米. 23. 某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． （1）写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； （2）若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】（1）A套餐：，B套餐： （2） 解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 【解析】 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． 【小问2详解】 略 24. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：______； （2）化简：_______； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （2）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （3）先依据规律，可将原式变形为，再合并同类二次根式，最后利用平方差公式求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 25. 《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略，这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．银川市某中学八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为，小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为_______，小正方形边长为______．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，，若，的长比的长大2，求的长．请利用上面得到的结论求解． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，，，请求出的面积． 【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，（2）10（3）84 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 26. 如图1，已知在中，，，，D是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为t，连接． （1）当秒时，则的长度为__________； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）如图2，过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）t的值为或5 （3）当t的值为5或11时，平分 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解； （3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴， 在中，， 由勾股定理，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，， 由勾股定理，得． 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为或5； 【小问3详解】 解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中集团校2025-2026学年第一学期期中试卷 八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列选项中的数是无理数的是（ ） A. B. 2 C. 0.010010001 D. 0.2 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处，如果“帅”位于点，“相”位于点，建立出平面直角坐标系，A、B、C、D四点坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 实数的整数部分是________． 10. 点M在第三象限，到x轴、y轴的距离分别是6和5，则点M的坐标是______． 11. 如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是_______． 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 13. 若是正比例函数，则的值是______． 14. 如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是______． 15. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，…，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是______． 三、解答题（共计72分） 17. 计算题 （1）； （2） 18. 已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值； （2）求的算术平方根． 19. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点在轴上时，求出点的坐标； （2）当直线平行于轴，且，求出点的坐标． 20. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： （1）画出关于轴的对称图形； （2）求的面积． 21. 竖直悬挂的弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）随所挂物体的质量x（单位：）的变化情况如下表（假设本题所有数据都在弹性限度内）： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 （1）由表格知，弹簧原长为______ ，所挂物体每增加，弹簧长度增加_______ ； （2）写出y关于x的函数解析式（不必写自变量的取值范围）； （3）请直接写出： ①所挂物体质量为时的弹簧长度； ②弹簧长度为时所挂物体的质量． 22. 笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 23. 某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． （1）写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； （2）若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 24. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：______； （2）化简：_______； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 25. 《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略，这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．银川市某中学八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为，小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为_______，小正方形边长为______．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，，若，的长比的长大2，求的长．请利用上面得到的结论求解． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，，，请求出的面积． 26. 如图1，已知在中，，，，D是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为t，连接． （1）当秒时，则的长度为__________； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）如图2，过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $