北京市第十三中学2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

北京市第十三中学 2026—2027 学年度 八年级数学期中测试　　2026 年 11 月 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 100 分钟。 2．在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．选择题、作图题在答题卡上用 2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题卡上完成作答。 5．考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回。 一、选择题（每题 2 分，共 16 分）每道题只有一个选项符合题意 1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图， 的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．如图，小王做了一个角平分仪 ABCD，其中 ，．过点 A，C 画一条射线 AE，AE 是 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 ，这样就有 ．这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 5．不能用平方差公式运算的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，点 C 为 的平分线 OD 上的一点，CE⊥OB 于点 E，，，F 为射线 OA 上的一个动点，则线段 CF 长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不能确定 7．已知 ，，则 的值是（　　） A． B． C． D． 8．观察下列等式： ； ； ； …… 小明说：“我发现这几个等式蕴含着一定的运算规律，你可以试试写出第 n 个式子……” 小红说：“尤其当 x 取某个特殊数值时，等式就会更加特殊了呢……” 小王说：“谢谢你俩的提示，我能求出了式子 “” 的值了……”． 则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题 2 分，共 16 分） 9．若 有意义，则 x≠　　　　　　． 10．因式分解：＝　　　　　　　　． 11．若点 (2, a) 和点 (b, 3) 关于 y 轴对称，则 a＝　　　　，b＝　　　　． 12．如图，，点 E 在 BC 边上，AC 与 EF 相交于点 G． 若 ，GC＝GE，则 ＝　　　　°． 13．若等腰三角形的两个边长分别为 3cm，5cm，则其第三边长为　　　　　　　　cm． 14．如图，在 中，，DE 垂直平分 AB 于 E，交 CB 于 D，DC＝DE，则 的度数为　　　　°． 15．如图，过直线 AB 外一点 C，用尺规作 AB 的垂线，其中点 F 是分别以点 D 和 E 为圆心，DE 为半径的两弧的交点，若 ，则 的度数为　　　　°． 16．将如图 1 所示的长方形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在边 AD 上，折痕为 AE（如图 2），再继续将纸片沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在边 EC 上，折痕为 EF（如图 3）， 在图 3 中，＝　　　　°，＝　　　　°． 三、解答题（共 68 分，17、18 每题 8 分，20、26 每题 5 分，22、24、28 每题 4 分，19、21、23、25、27 题每题 6 分） 17．计算：（1）． （2）． 18．分解因式：（1）． （2）． 19．先化简，再求值：已知 ，求代数式 的值． 20．已知：如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，若 ，，． 求证：． 21．如图， 是等边三角形，D，E 分别是边 AC，BC 上的点，且 ，BD 和 AE 交于点 R，BF⊥AE 于点 F． 求证：（1）． （2）． 22．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)． (1)在图中作出 关于 x 轴的对称图形 ； (2)若点 D 在第一象限，且以点 A、B、D 为顶点的三角形与 全等，直接写出所有符合条件的点 D 的坐标． 23．如图，在 中，点 D 在 BC 上，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 交 AC 于点 F，，． (1)求证：； (2)若 ，求 的度数． 24．有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，……其中每个数都能表示为两个连续非负偶数的平方差，我们称这样的数为“偶方差数”，记按上述顺序排列的第 n 个“偶方差数”为 （n 为正整数）． (1)请写出第 4 个“偶方差数”＝　　　　−　　　　； (2)求证：对于任意的正整数 n， 一定能被 4 整除． 25．已知：如图，，点 B 是射线 AM 上的一个定点．在射线 AN 上求作点 C，使 ． 下面是小芸设计的尺规作图过程． 作法：①作线段 AB 的垂直平分线 l，直线 l 交射线 AN 于点 D； ②以点 B 为圆心，BD 长为半径作弧，交射线 AN 于另一点 C，则点 C 即为所求． 根据小芸设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：连接 BD，BC． ∵直线 l 为线段 AB 的垂直平分线， ∴DA＝　　　，（　　　　　　　　　　　　　　）（填推理的依据） ∴， ∴． ∵BC＝BD， ∴　　　，（　　　　　　　　　　）（填推理的依据） ． 26．在学习完“因式分解”这一章内容后，为了开拓学生的思维，钱老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1）＝()＋()（分成两组）＝（提公因式）＝（提公因式） （2）＝（分成两组）＝（运用公式）＝（运用公式）＝ 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)直接写出因式分解的结果：＝　　　　　　　　　　； (2)若 ，，求 的值； (3)若 的三边 a，b，c 满足 ，则 是什么三角形？并证明． 27．如图， 中，，过点 B 作 BD⊥AB，交直线 AC 于点 D，在线段 BD 上取一点 E，使 BE＝CD，过点 E 作 BC 的垂线交 BC 于点 F，交 AC 于点 G． （1）根据题意补全图形； （2）求证：； （3）探索 AG、BD、CG 的数量关系，并证明你的结论． 　　　　 28．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M(a,b)，将经过点 (a, 0) 且垂直于 x 轴的直线记为直线 x＝a，将经过点 (0, b) 且垂直于 y 轴的直线记为直线 y＝b．对于点 P 给出如下定义：将点 P 先关于直线 x＝a 对称得到点 P′，再将点 P′ 关于直线 y＝b 对称得到点 Q，称点 Q 为点 P 关于 M 的“二次对称点”． 已知 的顶点坐标 A(2,0)，B(4,0)，C(3,−3)． (1)如图 1，若点 M(1, 1) ①请写出 A(2,0) 关于 M 的“二次对称点”的坐标：　　　　　　　　； ②若点 (−1, n) 和 (−1, n+1) 关于 M 的“二次对称点”分别为点 和点 ，且线段 在 的内部与 的边没有公共点，则 n 的取值范围是　　　　　　　　　　； (2)若点 B 关于 M 的“二次对称点”为 ，且以 A、B、 为顶点的三角形恰与 全等，请写出所有满足条件的点 M 的坐标：　　　　　　　　　　　　． 　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十三中学 2026—2027 学年度 八年级数学期中测试 参 考 答 案 一、选择题（每题 2 分，共 16 分） 1．C　　2．B　　3．A　　4．D 5．B　　6．B　　7．A　　8．C 二、填空题（每题 2 分，共 16 分） 9．2　　10．　　11．a＝3，b＝−2 12．72　　13．5 或 3　　14．30　　15．20 16．， 三、解答题（共 68 分） 17．（1）； （2）． 18．（1）； （2）． 19．原式 ＝ 由 得 ，∴ 原式 ＝ ． 20．证明：∵，∴，即 ． 在 和 中， ，，， ∴（ASA）． 21．证明：（1）∵ 是等边三角形，∴，，即 ． 在 和 中，，，， ∴（SAS）． （2）由（1）得 ． ∵ 是 的外角（A、R、E 共线）， ∴． ∵BF⊥AE，∴， ∴，∴． 22．（1）如图， 即为所求，其中 A₁(−1,−5)，C₁(−4,−3)． （2）D(2,3) 或 D(2,2)． 提示：以 AB 为公共边， 时 D(2,3)；D(2,2) 对应另一组全等方式。 23．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴． 在 和 中，，， ∴（HL），∴． （2）∵B、D、C 共线，， ∵，，， 在 中，，∴， ∴． 24．（1）（＝64−36＝28）； （2）证明：， ， ∴n 为正整数时， 为整数， 一定能被 4 整除． 25．（1）补全的图形如图所示（作出垂直平分线 l 与点 D，以 B 为圆心 BD 长为半径作弧交射线 AN 于点 C，连接 BD、BC）； （2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BDC；等边对等角。 证明补全：∵直线 l 为线段 AB 的垂直平分线， ∴DA＝DB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴，∴． ∵BC＝BD，∴（等边对等角）， ，即 ． 26．（1）； （2）， ∵，，∴原式 ＝ ． （3） 是等腰三角形。证明： ， ∴ 或 ，即 或 ． ∵a、b、c 是 的三边，∴a＋b＞c，即 不成立， ∴，∴ 是等腰三角形。 27．（1）补全的图形如图所示（过 E 作 EF⊥BC 于 F，延长交 AC 于 G）； （2）证明：∵BD⊥AB，∴， ∵EF⊥BC，∴， ∵，∴， ∵射线 GD 与射线 GC、射线 GE 与射线 GF 分别相同，∴． （3）结论：（即 ）。 证明：在 和 中，∵（公共角），， ∴∽，∴，即 ． ∵DG＝DC＋CG，DE＝DB−BE＝DB−CD， ∴(DC＋CG)·DC＝DB·(DB−CD)， ∴CG·DC＝DB²−DB·CD−DC²． ∵BD⊥AB，∴DB²＝AD²−AB²＝(AB＋CD)²−AB²＝2AB·CD＋CD²． ∴CG·CD＝2AB·CD＋CD²−DB·CD−CD²＝(2AB−DB)·CD， ∴CG＝2AB−DB，即 ． 又 G 在线段 AC 上，AG＝AC−CG＝AB−CG， ∴BD＝CG＋2AG，即 ． 28．（1）①(0, 2)； ②2＜n＜4． 提示：(3, 2−n)，(3, 1−n)，线段 在直线 x＝3 上， △ABC 内部中直线 x＝3 上的部分为 −3＜y＜0， ∴1−n＞−3 且 2−n＜0，得 2＜n＜4． （2）M 的坐标为 (2.5, 1.5)，(2.5, −1.5)，(4.5, 1.5)，(4.5, −1.5)。 提示：Q₃(2a−4, 2b)， 中 AB＝2＝AO， 由 {，} 与 {，} 配对解得 a＝2.5 或 4.5，b＝±1.5。 学科网（北京）股份有限公司 $