精品解析： 河南省平顶山市鲁山县第一初级中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省平顶山市鲁山一中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 拋物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（    ） A. 经过点P的圆有无数个 B. 以点P为圆心的圆有无数个 C. 半径为且经过点P圆有无数个 D. 以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 4. 如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确是（ ） A. 点A与点D是对应点 B. C. D. 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 119 1.44 1.71 A. B. C. D. 6. 如图，绕顶点逆时针旋转至，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的方程x﹣5＝0是一元二次方程，则m的值为（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 不存在 8. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为_______． 12. 是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 13. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 14. 我们规定：对于任意实数有，其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如：．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1） ； （2）． 17. 如图，、 、是 的弦，．求证：． 18. 已知的顶点A，B，C在边长为1的网格格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中，作关于点O对称的； （2）在图2中，作绕点O逆时针旋转一个小于平角角度后，顶点仍在格点上的． 19. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 20. 已知函数（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若的面积为12，求m的值． 21. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 22. 某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． （1）写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ （3）当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 23. 某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省平顶山市鲁山一中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则C符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：C． 2. 拋物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 由顶点式即可直接求出顶点坐标． 【详解】解：拋物线的顶点坐标为， 故选：C． 3. 下列说法中，错误的是（    ） A. 经过点P的圆有无数个 B. 以点P为圆心的圆有无数个 C. 半径为且经过点P的圆有无数个 D. 以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 4. 如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（ ） A. 点A与点D是对应点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 6 如图，绕顶点逆时针旋转至，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质、三角形内角和、角的和差是解题关键． 根据图形旋转可得，，进而可求，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 故选：B． 7. 关于x的方程x﹣5＝0是一元二次方程，则m的值为（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得m=-3， 故选：B． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 8. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，根据二次函数和一次函数的图象进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与一次函数， ∴当时，抛物线的开口向上，直线过一，三，四象限； 当时，抛物线的开口向下，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项A． 故选A． 9. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 10. 是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，三线合一定理，勾股定理，分圆心在内和在外两种情况讨论，先证明三点共线，则可求出的长，根据勾股定理先求得的长，再根据勾股定理可求得的长即可． 【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 如图一，假若是锐角，是等腰三角形， 连接，过点O作于D，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是等腰三角形，且为底， ∴， ∴三点共线， ，， ， ， ； 如图二，若是钝角，是等腰三角形， 同理可得， ， 综上可得腰长或 故选： 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形．利用圆内接四边形的对角和为求解即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解并代入方程求参数是解题的关键．将代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 13. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：． 14. 我们规定：对于任意实数有，其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如：．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识，根据新规定的运算获得关于x的方程，然后根据一元二次方程的定义及一元二次方程的根的判别式列出不等式组，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴且． 故答案为：且． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：， ， ， ，故此选项错误； ②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ③当时，；当时，， ，即， ，故此选项错误； ④当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， 故，即，故此选项正确．故②④正确． 故答案为：②④． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解答即可； （2）先移项，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得：． 17. 如图，、 、是 的弦，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，由圆周角定理可得，，则可求得结论． 【详解】解：圆周角定理可得，， ∵， ∴． 18. 已知的顶点A，B，C在边长为1的网格格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中，作关于点O对称的； （2）在图2中，作绕点O逆时针旋转一个小于平角的角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作关于点对称的图形、作旋转图形，确定变换后的对应点是解题的关键． （1）分别作出的三个顶点关于点O对称的点，再依次连接即可； （2）作绕点O逆时针旋转即可． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示，作绕点O逆时针旋转后，得，其顶点仍在格点上． 19. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径是20 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案； （2）由可得，由三角形外角的定义及性质结合可得，再由可得，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：是的直径，弦于点， ，， 设，则， ， ， 解得：， 的直径为20； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 20. 已知函数（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若的面积为12，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法. （1）令，可得关于的一元二次方程，利用根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的坐标，然后令，得到点的坐标，最后利用三角形面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵即 ∴当时，即 ∴ ∴该函数图象与轴总有两个公共点； 【小问2详解】 ∵即 ∴当时，即 ∴或 当时， ∴设，， ∴， ∵的面积等于， ∴，即， ∴①或②， ∴解①得，或，方程②无解． 21. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】（1）5米 （2）25盏 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； 【小问2详解】 解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 22. 某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． （1）写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ （3）当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】（1），自变量的取值范围是 （2）50元或80元 （3）当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据总利润单件利润销售量，即可列出方程，即可求解； （3）设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入，得： 解得 ∴y与x之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：由题意，得： ， 解得， 又∵， ∴如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元． 【小问3详解】 解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，由题意，得： ． ∵， ∴w有最大值． ∵， ∴当时，w取得最大值为6250， ∴当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 23. 某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 【答案】【问题呈现】；；； 【变式探究】，证明见解析 【实践应用】 的值为或 【解析】 【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程． 【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论． 【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线． 【详解】解：【问题呈现】 ；；；． 【变式探究】 ． 证明：如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，即； 【实践应用】 如图，当点在下方时，过点作于点，连接， 是的直径， ， 的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 解得， ； 如图，当点在上方时，过点作于点， 同理可得，，即，解得， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $