精品解析： 江苏省连云港市新海实验中学2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟试卷

新海初级中学2025-2026学年度第一学期期中模拟考试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. ⊙O的直径为4，圆心O到直线l上的距离为3，则直线l与⊙O（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 2. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据16，32，32，36，46，7，42进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 下列说法：①三点确定一个圆；②同弧或者等弧所对的圆周角相等；③圆的对称轴是直径；④圆的内接平行四边形一定是矩形．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ） A. 70° B. 55° C. 35° D. 20° 8. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC=24 , ,点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E, 当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．） 9. 数据，，，，的极差是___________． 10. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．若小强的三项成绩（百分制）依次是分、分、分，则小强这学期的体育成绩是___________分． 11. 如图，随机在正十二边形及其内部区域投针，若针扎到黑色区域的概率为，则还需将______个三角形涂黑． 12. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为___________． 13. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 如图，在扇形中，D为上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为_________． 15. 如图，在正八边形中，是两条对角线，则_________ 16. 如图，是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是___________． 17. 如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积___________． 18. 在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8小题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____； （2）连接、，则的半径长为______，的度数为______； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_______．（结果保留根号） 21. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 22. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 23. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 24. 如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F． （1）求证：与相切； （2）若的半径为3，，求的长． 25. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 26. 【阅读材料】 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，∴解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）【直接应用】方程的解是__________； （2）【类比迁移】解方程：； （3）【问题解决】 如图，在矩形中，、点在上，若，求的长． 27. 新知 世纪英国著名的历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法： 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交轴于点，，则为方程的两个实数根． 探究 （1）如图，连接，．由勾股定理得 ，，． 在中，， 所以， 化简得，．同理可得 ， 所以，为方程的两个实数根； 运用 （2）按上述方法在图中的轴上画出以方程的两根为横坐标的点，（点在点的左侧）． （3）已知点，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 拓展 （4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与轴有两个交点M，N，则以点，的横坐标，为根的一元二次方程是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海初级中学2025-2026学年度第一学期期中模拟考试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. ⊙O的直径为4，圆心O到直线l上的距离为3，则直线l与⊙O（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论． 解：∵圆的半径为2，圆心到直线l的距离为3，2＜3， ∴直线与圆相离． 故选A． 考点：直线与圆的位置关系． 【详解】请在此输入详解！ 2. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】袋中一共7个球，摸到的球有7种可能，而且机会均等，其中有3个红球，因此摸到红球的概率为，故选B. 3. 一组数据16，32，32，36，46，7，42进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了平均数、中位数、众数、方差，平均数、中位数、方差都依赖于被涂污数字，而众数由于被涂污数字的个位是7，与已知数据的个位都不同，因此不会影响众数． 【详解】解：∵ 被涂污数字可表示为（为的整数），其个位数字为7，而已知数据16、32、32、36、42、46的个位数字均为2或6，没有个位为7的数， ∴ 无论x取何值，被涂污数字均不等于已知数据中的任何数． 又∵ 已知数据中众数为32（出现2次），其他数均出现1次， ∴ 加入被涂污数字后，众数仍为32，与被涂污数字无关．而平均数、中位数、方差均与被涂污数字有关． 故选：C． 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得： 方程两边同时加上4得：， 配方得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是进行配方时，方程两边需要加上一次项系数一半的平方． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 下列说法：①三点确定一个圆；②同弧或者等弧所对的圆周角相等；③圆的对称轴是直径；④圆的内接平行四边形一定是矩形．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，确定圆的条件，圆内接四边形的性质，对称轴的定义，矩形的判定，平行四边形的性质，说法①忽略三点共线的情况；说法②同弧或者等弧所对的圆周角相等；说法③混淆直径与直径所在直线；说法④由圆内接四边形和平行四边形的性质推导． 【详解】解：①不共线的三点可以确定一个圆，原说法错误； ②同弧或者等弧所对的圆周角相等，原说法正确； ③圆的对称轴是其直径所在的直线，原说法错误； ④平行四边形对角相等，而圆内接四边形对角互补，故圆的内接平行四边形的对角相等且互补，即圆的内接平行四边形的对角都为90度，故圆的内接平行四边形是矩形，原说法正确； ∴说法正确的有②④， 故选：B． 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ） A. 70° B. 55° C. 35° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得，再由三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】四边形ABCD内接于⊙O， ， ∠B＝70°， ， ， D是的中点， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补、三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC=24 , ,点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E, 当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图1，∵CE垂直直线OD于点E， ∴当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径是以OC的中点K为圆心，以OC为半径的一段圆弧， 当D与B重合时，如图2，E和L重合． ∵∠A=60°， ∴∠BOC=120°， ∴∠COE=60°． ∵OK=KL， ∴△OKL是等边三角形， ∴∠OKL=60°． 当D运动到C时，如图3，D、E、C三点重合， 此时∠OKC=180°， ∴E运动的圆弧的圆心角为240°， 过O作OM⊥BC于M，如图3，则BM=BC=12． ∵∠BOC=120°，OB=OC， ∴∠MBO=(180°-120°)÷2=30°， ∴OM=，OB=2OM=， ∴OK=OB=， ∴点E经过的路径长为=．故选C． 【点睛】本题是圆的综合题．解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．） 9. 数据，，，，的极差是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了极差，极差是一组数据中最大值与最小值的差．根据极差的定义计算即可． 【详解】解：数据，，，，最大值为，最小值为， 极差为． 故答案为：． 10. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．若小强的三项成绩（百分制）依次是分、分、分，则小强这学期的体育成绩是___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，解决本题的关键是根据加权平均数的计算公式，将各项成绩乘以其对应的权重，再求和． 【详解】解：小强的体育成绩为：． 故答案为：． 11. 如图，随机在正十二边形及其内部区域投针，若针扎到黑色区域的概率为，则还需将______个三角形涂黑． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了简单地概率计算，正确正确公式是解题的关键． 【详解】设还需要将x个三角形涂成黑色，根据题意，得 ， 解得， 故答案为：6． 12. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，首先连接，交于点D，连接，由切线的性质与垂径定理可求得的长，然后设该圆的半径为，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：如图，设与刻度尺的下边缘相切于点C，连接，交于点D，连接， 则与刻度尺下边缘垂直， ∵刻度尺上下边缘平行， ∴， ∴， 设， 刻度尺的宽为， 即 则， 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 13. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】0 【解析】 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， 则原式==1﹣1=0， 故答案为0． 14. 如图，在扇形中，D为上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为_________． 【答案】70 【解析】 【分析】连接，根据，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理即可求得 【详解】解：如图，连接， 设， 在中， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，在正八边形中，是两条对角线，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，多边形内角和定理，等边对等角，三角形内角和定理，由正多边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据多边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 又∵，且（正八边形的对称性）， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是___________． 【答案】3或6 【解析】 【分析】延长交于点C，延长交于点D，可得四边形是矩形，依据与面积相等，线段将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形与四边形的面积相等，进而得到x的值． 【详解】解：如图所示，延长交于点C，延长交于点D，则四边形是矩形， ∴与面积相等， 又∵线段将三个正方形分成面积相等的两部分， ∴四边形与四边形的面积相等， ∴， 解得或6， 故答案为：3或6． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点． 17. 如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及扇形面积，根据垂径定理和圆周角定理确定圆心是解题关键． 连接交于O，连接、，根据垂径定理可得圆心在所在直线上，根据圆周角定理可得为直径，即可得出点O为圆心，利用可证明，可得，进而可得，可得，根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，即可得的长，利用即可得答案． 【详解】如图，连接交于O，连接、， ，， 圆心在所在直线上， ，点M、P、H在圆上， 为直径， 点O为圆心， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， ； （2） ，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，常用的一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． （1）用分解因式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理可得：， 提公因式得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 20. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____； （2）连接、，则的半径长为______，的度数为______； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_______．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）2，90° （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出点位置，结合图形得到点的坐标； （2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数； （3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案． 【小问1详解】 解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点， 则点即为该圆弧所在圆的圆心， 由图形可知，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 圆的半径长， ， ， ， 则， ， 故答案为：；90； 【小问3详解】 设圆锥的底面圆的半径长为， 则， 解得，． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 21. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 【答案】（1），，； （2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； （3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【解析】 【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比； （2）根据方差越小越稳定即可判断； （3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可． 【小问1详解】 解：由题意可知架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为，即； 由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为， 则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：， 故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为： B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为： 即 故答案为：，，； 【小问2详解】 B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； 【小问3详解】 架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 架B款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架， 答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 22. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 略 23. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 24. 如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F． （1）求证：与相切； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， 则， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 与相切． （2）6 【解析】 【分析】（1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切； （2）由切线的性质得，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知与相切， ∴ ∵，， ， ， ∵ ∴， ∵，， ， ， 的长为6． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 26. 【阅读材料】 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，∴解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）【直接应用】方程的解是__________； （2）【类比迁移】解方程：； （3）【问题解决】 如图，在矩形中，、点在上，若，求的长． 【答案】（1）； （2） （3）的长为 【解析】 【分析】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，根据勾股定理和线段长，列出方程是关键． （1）首先提出x，然后因式分解多项式，求解即可得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设的长为x，根据勾股定理可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解并进行验算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或或， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ， ∴或， 当时，， 是原方程的解， 当时，原方程无意义，故舍去， 的解是； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，不符合题意； 的长为． 27. 新知 世纪英国著名的历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法： 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交轴于点，，则为方程的两个实数根． 探究 （1）如图，连接，．由勾股定理得 ，，． 在中，， 所以， 化简得，．同理可得 ， 所以，为方程的两个实数根； 运用 （2）按上述方法在图中的轴上画出以方程的两根为横坐标的点，（点在点的左侧）． （3）已知点，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 拓展 （4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与轴有两个交点M，N，则以点，的横坐标，为根的一元二次方程是 ． 【答案】（1）； （2）以，两点为端点的线段为直径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点即为所画的点，如图所示； （3）与轴相切，理由如下： 由题意知，与轴两个交点的横坐标为于方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， 对应地，与轴只有一个交点，即与轴相切； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，读懂题中材料提供的方法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决； （）以，两点为端点的线段为直径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点即为所画的点； （）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与轴只有一个交点，即与轴相切； （）仿照（）的过程即可求解． 【详解】解：（）如图，连接，， 由勾股定理得，，，， 在中，， ∴， 化简得：， ∴为方程的一个实数根， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）如图， 由勾股定理得，，， 在中，， ∴，化简得：， 同理可得：， 所以为方程的两个实数根， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $