精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期麒麟中学九年级数学期中学业质量监测 一.选择题（共8小题） 1. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图（左视图），运用空间想象思想和视图投影分析方法．解题关键是结合六棱柱的摆放位置，明确正六边形棱的投影规律；易错点是误判棱的投影数量或位置，混淆左视图中棱的分隔形式． 六棱柱上下底面为正六边形，侧面是矩形，结合其实际摆放位置，从左侧观察时，正六边形的棱会在视图中形成特定投影．正六边形从左侧投影时，能看到的纵向棱会呈现出三条竖线（两侧为轮廓线，中间为内部棱的投影），对应选项B的分隔形式； 选项A中间仅两条竖线，未准确反映正六边形棱的投影数量，错误； 选项C无内部棱的投影，不符合六棱柱结构，错误； 选项D是正六边形（俯视图），与左视图定义不符，错误． 【详解】选项A：中间仅两条竖线，不符合正六边形棱的投影数量，错误； 选项B：由两条竖线分隔为三个矩形，与从左侧观察六棱柱的视觉效果一致，正确； 选项C：无内部棱的投影，是完整矩形，错误； 选项D：是正六边形（俯视图），非左视图，错误． 故选：B． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）．解题关键：紧扣定义，从“未知数个数、最高次数、是否为整式方程”三个方面逐一分析选项即可． 【详解】解：A：∵ 展开得 ，移项得 ，即 ，满足一元二次方程定义． B：∵ 中，a可能为0，故不一定是一元二次方程． C：∵ 含有分式，不是整式方程． D：∵ 中未知数最高次数为3，不是二次方程． 故选：A． 3. 下列图形中，是相似形的是（ ） A. 所有平行四边形 B. 所有矩形 C. 所有菱形 D. 所有正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，依次分析各项即可判断. 【详解】解：所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形， 而所有的正方形都是相似多边形， 故选D. 【点睛】本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握特殊四边形的性质即可轻松完成. 4. 定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象，根据新定义可得的函数解析式，分x大于0与x小于0两种情况化简函数解析式，作出函数图象即可． 【详解】解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， 图象大致为 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 【详解】解：的一个顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为将缩小得到它的位似图形， 若与在原点同侧，则将点的横纵坐标均乘以， 得到点的坐标是：，，即， 若与在原点异侧，则将点的横纵坐标均乘以， 得到点的坐标是：，，即， 综上所述：点的对应点的坐标是或． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得出是解题关键． 6. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得出，设，则，再根据题意先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，即可得解，理解题意，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵阴影部分的面积为64， ∴， 设，则， 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为， 故选：A． 7. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 8. 如图，正方形中，，点为边上一点，连接，过点作于点，点为边上一点，且，连接.下列结论：（1）；（2）；（3）若点为中点，则；（4）.正确的个数有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键，根据正方形的性质和垂直的性质找到角之间的关系，根据角之间的关系判断三角形相似，再根据相似三角形的性质找边、角之间的关系． 【详解】解：（1）， ， ， 四边形正方形， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）， ， ， ， 故（2）正确； （3）如下图所示，过点作，分别交、于、点， 为的中点，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故（3）正确； （4）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故（4）正确； 综上所述，正确的个数有个． 故选：B ． 二.填空题（共5小题） 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式； 故答案为：5． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积、b是两条对角线的长度 由菱形的面积公式，即可计算． 【详解】解：，， 菱形的面积 故答案为：． 11. 有四位侦察兵分别站在东南西北四个方位，他们要前往东南西北四个方向执行任务，现依靠抽签决定侦察兵的侦察方向，则四位侦察兵恰好抽中本身所在方向的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】考查知识点：分步乘法计数原理、概率公式．解题方法：列举法（分步分析所有可能结果）、公式法．解题关键：准确计算总结果数和符合条件的结果数．易错点：漏算或重复计算排列结果数． 要计算概率，需先明确“所有可能结果数”和“符合条件的结果数”： 首先求总结果数：四位侦察兵对应四个方向，分步分析——第1人有4种选择，第2人有3种，第3人有2种，第4人有1种，根据分步乘法计数原理，总结果数为种；其次求符合条件的结果数：“恰好抽中本身所在方向”仅1种情况（每人都对应自己的原方向）；最后用概率公式计算：． 【详解】四位侦察兵分别前往四个方向，相当于对“东南西北”四个方向进行全排列． 第一位侦察兵有4种选择； 第二位侦察兵有3种选择； 第三位侦察兵有2种选择； 第四位侦察兵有1种选择． 总结果数为种． 只有一种情况：每位侦察兵都恰好抽到自己原本的方位（东→东、南→南、西→西、北→北）． 故答案为：． 12. 如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】考查正方形的性质，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，及两点间距离公式等知识，综合性较强，利用知识较多，先求得，再由，列出方程，求得，可求得，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小，再求解即可． 【详解】解：正方形中，且， 点M的横坐标及点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图象上， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小， 点关于轴的对称点， ， 故答案为： 13. 如图，中，是其内部一点，，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，延长交于点，证明，得出，证明，得出，求出，，则，设，，勾股定理列方程解得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，延长交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴ ， 设，， 则， 解得：， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次根式等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 三.解答题（共7小题） 14. 用配方法解一元二次方程：． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时加上进行配方，进而解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ，． 15. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：：好，：中，：差.请根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，_____，_____，类的圆心角为_____度； （3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率. 【答案】（1）见解析 （2）15，60，54 （3） 【解析】 【分析】考查统计图表综合运用、概率计算．解题关键是由A类求总人数，概率计算要准确列举结果．易错点：统计计算出错、概率列举重复/遗漏． （1）由A类10人占，得总人数40，进而得C类6人，补全条形图． （2），，C类圆心角． （3）画树状图列举12种结果，全是B类的有2种，概率为． 【小问1详解】 全班学生总人数为：（人）： 类人数有：（人）． 补充统计图如下： 【小问2详解】 类百分比为，， 类百分比为，， 类的圆心角为， 故答案为：15，60，54． 【小问3详解】 列表如下： / / / / 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是类学生的有2种结果， ． . 16. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查从三个方面看组合体得到的形状图，从上面看得到组合体的形状图出发，结合数字空间想象出组合体的空间立体结构是解决问题的关键．根据从上面看组合体得到的形状图及相应数字可以想象该组合体的空间立体结构，进而得到从正面看与从左面看的形状图． 【详解】解：如图所示： 17. 有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知cm，高cm，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为ycm、的长为xcm． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当x取多少时，是正方形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，利用相似三角形的性质，对应边的高线比等于相似比，列比例式求解即可； （2）当时，即时，代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边行是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 【小问2详解】 由题意得：当时，即时，是正方形， ∴，解得：， ∴当时，是正方形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，以及求函数的表达式．熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．本题同时考查了矩形的性质和正方形的判定和性质． 18. 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x几组对应值，则表中m的值为______； x … 0 2 4 5 … y … m 0 1 3 4 4 3 2 … （3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； （4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）画图象见解析；时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （4）时，x的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案； （4）根据图象，可得答案． 【小问1详解】 解：当时，分母都不为0， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画出函数的图象如图： ； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 故答案为：时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【小问4详解】 解：画出函数的图象，如上图， 观察图象，时，x的取值范围或． 【点睛】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键． 19. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 20. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计四边形挂件方案？ 素材1 图1是矩形纸板，，；图2是是矩形纸板，，． w素材2 图3中的三个四边形挂件形状大小均一样，全部由图1，2矩形纸板重叠部分粘贴组成（如图4），现在将这三个挂件竖放，并依次挂在水平横杠上，已知，安装完成后，三个四边形挂件均可绕中心自由旋转，相邻两挂件之间的最小距离为a（），两侧挂件到相邻竖杠（，）的最小距离均为（）．a不小于，且． 问题解决 任务1 确定四边形挂件边的关系． 求的值． 任务2 探究对角线取值范围． 求四边形挂件的对角线长的取值范围． 任务3 拟定设计方案 若的长为正整数厘米，请给出一种符合要求的四边形挂件的周长．并说明理由． 【答案】任务1：； 任务2：； 任务3：或，见解析 【解析】 【分析】（1）任务1，根据平行四边形的面积即可作答； （2）任务2，作于点H，根据题意得，结合，可得，解得（），设，则，根据，可得，结合，解得，即可得； （3）根据（2）的结果以及为正整数，可得或，作于点H，如图，当时，可得，设，则，，在中，，即，解方程即可求解；当时，同理可求 ． 【详解】任务1：如图4，∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴； 任务2：作于点H， 由题意，得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（）， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴； 任务3：∵，为正整数， ∴或， 作于点H，如图， 当时， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得，或（舍去）； ∴平行四边形挂件的周长=cm； 当时， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得，或（舍去）. ∴平行四边形挂件的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程在几何中的应用，明确题意，灵活运用平行四边形的性质，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期麒麟中学九年级数学期中学业质量监测 一.选择题（共8小题） 1. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是相似形的是（ ） A. 所有平行四边形 B. 所有矩形 C. 所有菱形 D. 所有正方形 4. 定义运算“※”为：，如：，则函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 5 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，，点为边上一点，连接，过点作于点，点为边上一点，且，连接.下列结论：（1）；（2）；（3）若点为中点，则；（4）.正确的个数有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 二.填空题（共5小题） 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 11. 有四位侦察兵分别站在东南西北四个方位，他们要前往东南西北四个方向执行任务，现依靠抽签决定侦察兵的侦察方向，则四位侦察兵恰好抽中本身所在方向的概率为_____． 12. 如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是__________． 13. 如图，中，是其内部一点，，，，，则_____． 三.解答题（共7小题） 14. 用配方法解一元二次方程：． 15. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：：好，：中，：差.请根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，_____，_____，类的圆心角为_____度； （3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率. 16. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 17. 有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知cm，高cm，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为ycm、的长为xcm． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当x取多少时，是正方形． 18. 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______； x … 0 2 4 5 … y … m 0 1 3 4 4 3 2 … （3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； （4）画出函数图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计四边形挂件方案？ 素材1 图1是矩形纸板，，；图2是是矩形纸板，，． w素材2 图3中的三个四边形挂件形状大小均一样，全部由图1，2矩形纸板重叠部分粘贴组成（如图4），现在将这三个挂件竖放，并依次挂在水平横杠上，已知，安装完成后，三个四边形挂件均可绕中心自由旋转，相邻两挂件之间的最小距离为a（），两侧挂件到相邻竖杠（，）的最小距离均为（）．a不小于，且． 问题解决 任务1 确定四边形挂件边的关系． 求的值． 任务2 探究对角线取值范围． 求四边形挂件的对角线长的取值范围． 任务3 拟定设计方案 若的长为正整数厘米，请给出一种符合要求的四边形挂件的周长．并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $