精品解析：河南省三门峡市2025-2026学年高三上学期阶段性考试数学试题

2025－2026学年度高三阶段性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 3. 若角满足，则是 A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 4. 若向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 6. 我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过（ ）天后，“进步”是“落后”的1000倍.（，） A. 31 B. 33 C. 35 D. 37 7. 在中，是边上一点，若是直角三角形，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 的值域是 D. 在上单调递减 11. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则_____. 13. 已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_____________． 14. 已知，角的对边分别是，已知，若，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 16. 在数列中，为其前项和，． （1）若数列为等差数列，求； （2）若，求． 17. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 18. 设函数． （1）由的图象如何变换得到的图象? （2）求方程的解； （3）若函数在区间上单调，求的最大值． 19. 设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”. （1）任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.（注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分） （2）已知函数有两个极值点，，且. （i）求的取值范围； （ii）利用“对数平均不等式”证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度高三阶段性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，，则， 且，所以. 故选：C. 2. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可排除CD，可排除B. 【详解】可排除CD，可排除B， 当时，由图象可得，而CD中，故排除； 当时，由图象可得，而B中，故错误； 故选：A. 3. 若角满足，则是 A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系得出且,由此判断是第几象限角. 【详解】角满足, , , 是第三象限角. 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号和同角三角函数的平方关系,难度较易. 4. 若向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，及数量积的坐标表示列式，再利用充要条件的意义判断. 【详解】向量，则， ， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由极值点的定义结合韦达定理代入计算，即可得到，，再由等比数列的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 因为，是函数的极值点， 由韦达定理可得，， 所以，因为等比数列奇数项同号，则 由等比数列的性质可知，则. 故选：B 6. 我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过（ ）天后，“进步”是“落后”的1000倍.（，） A. 31 B. 33 C. 35 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可列出若干天后的“进步”是“落后”的倍数表达式，利用参考数据和对数运算法则中的换底公式即可得出结果. 【详解】根据题意，如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%， 假设经过天后，“进步”是“落后”的1000倍，得， 即，所以， 代入参考数据可得，得 所以，至少经过35天后，“进步”是“落后”的1000倍. 故选：C. 7. 在中，是边上一点，若是直角三角形，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理分别求出，再按和分类，借助正弦定理求解. 【详解】在中，，由， 得，则，由余弦定理得， 由是边上一点，且是直角三角形，得或， 当时，，解得； 当时，在中，由正弦定理得， ，，， 所以的长为或. 故选：D 8. 已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，先令，可得，再令，结合，可得，进而判断出数列是以首项为，公比为的等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值. 【详解】因为对，，都有， 所以令，有，则有， 令，有， 又因为，所以， 因为， ，且， 所以，即， 所以， 则，所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 的值域是 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】利用偶函数定义判断A；利用周期定义判断B；求出最大值判断C；利用复合函数单调性判断D. 【详解】对于A，，是偶函数，A正确； 对于B，，即不是的周期，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，函数在上单调递减，， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，D正确. 故选：AD 11. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分或、两种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值点，即可判断A、B，根据零点的个数得到不等式组，即可判断C、D. 【详解】因为， 当或时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A错误； 因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B正确； 令， 则的图象如下所示： 其中的图象是由的图象向下或向上平移个单位得到； 因为，，，， 要使有3个零点，则或或， 即或或，解得或或， 综上可得的取值范围为，故C正确； 要使只有1个零点，则或，即或， 解得或，即的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数说明函数的单调性，从而画出的图象，将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为， 因此，又，所以. 故答案为： 13. 已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，函数，可得 设切点为，则， 所以切线方程为， 因为切线过原点，可得，解得，不符合题意，舍去； 当时，函数，可得 设切点为，则， 所切线方程为， 因为切点过原点，可得，解得， 此时切线方程为，即， 故答案为： 14. 已知，角的对边分别是，已知，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理可得，再利用余弦定理及正弦定理，结合和角的正弦公式，将用表示出即可求出范围. 【详解】在中，由及余弦定理， 得，由余弦定理及正弦定理得， 因此， 整理得，由，得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式组求出定义域. （2）由求得，确定函数的单调性，进而求解不等式. 【小问1详解】 由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 由，得，即，解得， 函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 16. 在数列中，为其前项和，． （1）若数列为等差数列，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，两式相减可得，即可求得公差或，即可求得答案； （2）根据时，，可求得，将化为，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，故， 则， 设等差数列的公差为d，则，则或， 当时，由于，可知，故； 当时，，可知， 则； 【小问2详解】 当时，，所以，即， 当时， 即，而也适合， 故可化为， 即， 解得，结合，可得， 故. 17. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 18. 设函数． （1）由的图象如何变换得到的图象? （2）求方程的解； （3）若函数在区间上单调，求的最大值． 【答案】（1） 把的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向右平移个单位得的图象. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再求解变换过程. （2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质列式求解. （3）求出函数的导数，由（2）确定导函数的零点，进而确定单调区间即可. 【小问1详解】 函数， 所以把的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向右平移个单位得的图象. 【小问2详解】 由（1）及，得， 则或， 解得或，而， 所以方程的解为. 【小问3详解】 函数，求导得， 由（2）知，在上的解为，而，且， 则，，否则，若，， 则在上还有解，与（2）矛盾，因此函数在上单调递减， 又，且，则，， 函数在上单调递增，由函数在区间上单调，得， 因此，所以的最大值为. 19. 设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”. （1）任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.（注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分） （2）已知函数有两个极值点，，且. （i）求的取值范围； （ii）利用“对数平均不等式”证明：. 【答案】（1）证明：证明左边不等式：. 不妨设，则该不等式等价于，即. 令，，即证. 设，则，所以在上单调递减， 所以当时，，故原不等式成立. 证明右边不等式：. 不妨设，则该不等式等价于，即. 令，，即证. 设，则，所以在上单调递增. 所以当时，，故原不等式成立. （2）（i）； （ii）证明：由（i）知，是的两个根，所以， 从而. 由对数平均不等式可得， 故，且，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）证明左边不等式：，将不等式变形为，令，，即证，设，然后利用导数研究单调性求解最值即可证明； 证明右边不等式：，将不等式变形为，令，，即证，设，然后利用导数研究单调性求解最值即可证明； （2）（i）由题意有两个异号零点，令，按照和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合极值和零点个数即可求解； （ii）由（i）知，利用比例性质得，由对数平均不等式可得，结合对数运算即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）的定义域为，， 因为有两个极值点，所以有两个异号零点. 令，则，. 若，,则在上单调递增，此时即不可能有两个零点，不符合题意. 若，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以， 且当时，，当时，， 要使有两个零点，只需，得，经检验符合题意， 因此，的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $