精品解析：北京市昌平区新学道临川学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

北京市昌平区新学道临川学校2025-2026学年高二上学期 11月期中考试数学试卷 考试时间：120分钟：满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求.） 1. 已知空间中任意四点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的运算法则可得. 【详解】. 故选：C. 2. 已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用经过两点的斜率公式与，即可求得结果. 【详解】直线l经过两点，所以， 又倾斜角的取值范围为，所以. 故选：D 3. 经过点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，代入点A坐标，即可求得答案. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 解得，所以所求直线的方程为：. 故选：B. 4. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解. 【详解】令，代入，得， 故选：B 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 6. 在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 7. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 8. 在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件得到，从而得到，又，结合图形，得，即可求出结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为， 因为，，所以,，，， 得到，所以， 又因为，所以， 又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：设，利用向量数量积的坐标运算，得到，再利用圆的几何性质，即可求解. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分) 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 过点和的直线的一个方向向量为 B. 过点且倾斜角为的直线方程为 C. 过两点的直线方程为 D. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，先求，根据直线的方向向量的定义判断A，对于B，结合倾斜角为的直线方程的形式判断，对于C，结合直线方程的两点式的适用范围判断，对于D，先求过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0的直线方程，再利用截距式求过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0的直线方程，由此判断D. 【详解】对于A，，所以， 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 故选：AB. 11. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 圆的圆心为，半径为 C. 圆的圆心为，半径为 D. 圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行列式，由此求得. 【详解】由于，所以， 解得. 故答案为： 13. 已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【解析】 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 14. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线与直线的交点为. （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1） 联立方程组，求出直线的交点坐标，根据直线垂直的性质，求出直线斜率，进而根据点斜式方程，求出一般式方程； （2）分截距是否为，结合直线截距式方程的性质，列出方程，求出结果. 【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且直线经过点，，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 如图所示，已知为正方形ABCD的中心，且直线AB的方程为. （1）求点G到直线AB的距离； （2）求BC边所在的直线的方程； （3）求正方形ABCD外接圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可； （2）设直线BC的方程为，结合点到直线的距离公式运算求解，并结合图形取舍； （3）根据正方形的性质可知圆心为，半径为，即可得圆的方程. 【小问1详解】 因为，且直线AB的方程为， 所以点G到直线AB的距离. 【小问2详解】 因为直线BC垂直于直线AB，且直线AB的方程为， 设直线BC的方程为， 因为为正方形ABCD的中心， 则点G到直线BC的距离，解得或， 结合图形可知：不合题意，即， 所以直线BC的方程为. 【小问3详解】 由题意可知：正方形ABCD外接圆圆心为，半径为， 所以正方形ABCD外接圆方程为. 17. 已知方程表示一个圆． （）求的取值范围． （）求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程． 【答案】（）（）， 【解析】 【详解】解：(1)∵已知方程表示一个圆，所以D2+E2-4F＞0，即 >0，整理得7t2-6t-1<0,解得． (2)= ≤，当t= 时，rmax=.圆的标准方程为 18. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 19. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值. 【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以， 又底面为矩形，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面，又平面，所以， 又，为棱的中点，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面，又平面，所以； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明出底面，进而根据线面垂直的性质推断出，然后根据线面垂直的判定定理，证明出平面，所以； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面的法向量，再结合线面角的向量求法，即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，由（2）所建的直角坐标系，得，因为点是平面与四棱锥的棱的交点，所以，即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，即平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则； 【小问3详解】 因为平面与四棱锥的棱交于点， 设，则， 设，则，，则， 所以，所以， 由（2）得，平面的法向量为， 所以，即，解得， 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市昌平区新学道临川学校2025-2026学年高二上学期 11月期中考试数学试卷 考试时间：120分钟：满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求.） 1. 已知空间中任意四点，，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 经过点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（ ） A. B. C. D. 7. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分) 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 过点和的直线的一个方向向量为 B. 过点且倾斜角为的直线方程为 C. 过两点的直线方程为 D. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为 11. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 圆的圆心为，半径为 C. 圆的圆心为，半径为 D. 圆的圆心为，半径为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数______． 13. 已知的三个顶点，，，则的形状为______． 14. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线与直线的交点为. （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 如图所示，已知为正方形ABCD的中心，且直线AB的方程为. （1）求点G到直线AB的距离； （2）求BC边所在的直线的方程； （3）求正方形ABCD外接圆的方程. 17. 已知方程表示一个圆． （）求的取值范围． （）求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程． 18. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $