北京市丰台区新北赋学校2025-2026学年高三上学期期中练习数学试题

丰台区新北赋学校2025-2026学年度第一学期期中练习 高 三 数 学 2025.11 注意事项： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2. 本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。 4. 本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。 第一部分（选择题 共40分） 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设，，，则 （A） （B） （C） （D） 3. 在的二项展开式中,x的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 4.下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 5.在中，，则（ ） A. B.或 C D或 6. 已知x，，且，则（ ） A. B. C. D. 7.等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ） A. B. C. 5 D. 25 8.已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 9.设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10.德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（ ） （参考数据：，） A.小时 B.小时 C.小时 D.小时 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分。） 11．若复数，则___________. 12. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 13. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是= ，= . 14．在中，，，，则的面积为 15．设函数 ① 若，则的最小值为 ； ② 若有最小值，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（共6小题，共85分） 16．（本题13分） 已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期; （Ⅱ）若是函数的一个零点，求的最小值. 17.（本题14分） 在中， （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求 的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本题14分） 设函数． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）已知在区间上单调递减，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件 ①：函数的图象经过点； 条件 ②：时，的值域是； 条件 ③：是的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19.（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； 20.（本小题15分） 已知函数在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求的取值范围． 21．（本小题15分） 设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”． （Ⅰ）判断下列数列是否为“好数列”： ①；②． （Ⅱ）证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）； （Ⅲ）若数列为“好数列”，求的最大值． （考生必须在答题卡上作答，书写在试卷和草稿纸上的答案均无效） 试卷第 2 页 共 6 页 试卷第 一 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $高三期中数学参考答案： 题号 1 2 又 公 6 7 9 10 答案 D D D D B A A B C 11.2； 12.15 ； 13. 兀，刀（答案不唯一）： 3’6 14.3 4；15. -2,(-0,-] 三、解答题 16解：{I）因为f)=sm+si(+3:sm+5如x+5 1 2 2sin.x+3 2 cosx=3sin(x+ 所以f(x)的最小正周期为2π (II)由题设，y=f)-fx+p)=V5sin(x+-V5sin(x++p),由x=”是 6 6 该函数零点可知， V5sing+石-5sing+p)=0,即sin(+)=5 66 66 2 骨+9-+2e7或写+g-+2 Bkz.kcZ, 故 3 3 解得p=2k元，k∈Z或0=T+2k元，k∈Z. 3 因为p>0,所以0的最小值为 3 17.由正弦定理有：(sin B cosC+sin CeosB)cosA=s sinA,又 2 sin B cos C sin C cos B sin(B+C)=sin(-A)=sin A, 所以sin AcosA=)sinA,又0<A<元，所以sinA>0,所以cosA=} 1 2 所以4-骨 【小问2详解】 由(1有A=背a=7,由余孩定理有：42=8+c2-2bc0sA=b2+c2-c=49, 条件①：b=8, 由正弦定理有：sinB二bsinA8+3 2-45 <1'又b>a有B>A, 77 所以<B<元，又sinB-45、5,所以4BC有两个解，不满足题意： 3 72 条件②：c=5, 孩定港有：血G-4-语又<e有0<C<骨又没：9 a14 142 所以ABC有唯一解，当c=5时，由a2=b2+c2-bC=49有b2-5b-24=0,解得b=8, 所以S4=be sinA=x8x5x5-10V5. 1 2 11 条件③：cosC= 141 5V3 由sinC=v-cos'c=5V5 。又由正弦定理得c=asnC水 ×14=5, 14 sin A V3 2 由条件②即可求解。 18.解：(I)因为f)=5snox-2sin号x+1,所以 f(x)=V3sinox+cosox 2 (2 sinox+ 号osa)=2 in(ox+2. 1 因为0=2，所以受=5. (Ⅱ)选② 因为f在区间受孕上单调递减，且当x哈时，的值域是22， 所以=f没=2，m(闭=f3=-2. 此时，由三角函数的性质可得子号合-子故7号 因为0>0，所以0=2红=4. (Ⅱ)选③ 因为闭在区间孕上单调递减， 所以导音即产 w一21 解得0<0≤4. 因为x=5是)的一条对称轴， 所以fm)=f受-2. 所以sin(匹o+)=1, 126 即合0+名-+e 解得0=4+24k,keZ. 由0<0≤4，可知o=4. 19.解：(1)支0-高=/0=- 又f(0)=0, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x· )令r⑧)=++x=lnl-W+,+r<0, F'=1+x+1= x-1 x-1 因为x<0,所以F'(x)<0,F(x)在(-o,0)上单调递减. 所以F(x)>F(O)=0. 即当xe(-0,0)时，f>- 2x. 20.解：（I)因为fx)=(x2+2x2)er(a,b∈R), 所以f'(x)=(ax23+2ax2+3x2+4x)erb=[ax3+(2a+3)x2+4x]e+b. 由题意 f-)=(a-e=0解得a=L lf(-I)=ea*6=1, b=1. (IⅡ)由(I)得fx)=(x3+2x2)e+1,f'(x)=(x3+5x2+4x)e+1. 令f'(x)=0,解得x=0,x=-1,x=-4. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如表所示： (-0,-4) (-4,-1) (-1,0) 0 (0,+0) f'(x) 0 + 0 0 + f(x) 单调递减 -32e3 单调递增 单调递减 0 单调递增 所以f(x)的单调递增区间为(-4，-1)，(0，+0)， 单调递减区间为(-0，-4)，(-1,0). ()设g(x)=f(x)-(-x2-2x)=(x3+2x2)e+x2+2x=(x2+2xaxe+1). 设()=e+1,则(x)=(x+1)e. 当x>-1时，h(x)>0,h(x)单调递增，h(x)>h(-l)=0; 当x<-1时，h'(x)<0，,h()单调递减，h(x)>h(-)=0. 所以h(x)=xe+1≥0恒成立. 由题意，g(x)≤0等价于 [h)>0,或hx)=0,， x2+2x≤0 解得x≠， 或x=-1. -2≤x≤01 综上，x的取值范围是[-2,0]. 21.解：（I)①是“好数列”；②不是“好数列”. (Ⅱ)若a,a,…,an是“好数列”，对满足t≥n的正整数s,t,数列a,a2…,an的任 意长为s的子列集B={b,b,…,b,}和数列1,2，…，n的任意长为t的子列集 C={G,c,c},都有B∩C≠⑦，即存在b=c,I≤i≤s,1≤j≤). 令B'={n+1-b,n+1-b2,…,n+1-b,} 与C'={n+1-c,n+1-c2,…,n+1-C,}, 于是集合B'和C也分别是数列{a,}和数列1,2，…，n的子列集， 又存在b=c,I≤i≤s,l≤j≤)，得n+1-b=n+1-c,1≤i≤s,l≤j≤). 因此B'∩C'≠☑. 所以，数列n+1-a,n+1-a,…,n+1-an也是“好数列”. 设a与n+1-a,中较小者为m,则m≤a,且m≤n+1-a, 因此2m≤a+n+1-a,=n+1即m≤n+1, 于是m≤马， 所以存在首项不超过”的“好数列”。 ()的最大值为7. (1)先考虑n=2m(m≥3). 假设存在“好数列”a,a2…,a2m 由（Ⅱ）可知，不妨设a,≤m. 若a,=1,则由长为m的子列集{a,a,…,ami}和{am+,am2,…,am}与集合{1,2 的交集非空，知an1=2,即此“好数列”为：1，a2,…,an,2,a2,…,a2m。 又3(m-1)=2m+(m-3)≥n,长为m-1的子列集{a2,…,an}和{am+2,…,a2m} 与集合{1,2,3}的交集非空. 所以3e{a,…,an}且3∈{an+2,…,a2n}，与{a2,…,an}∩{am+2,…,a2m}=矛盾. 若a,=k>1，则由长为m的子列集{a2,a,…,ani}和{a+1,ae+2,…,am}与集合 {k-l,k的交集非空，知am1=k-1; 又与集合{k,k+}的交集非空，知an1=k+1,矛盾。 (2)再考虑n=2m+1(m≥4). 假设存在“好数列”a,a2…,am1· 由（Ⅱ）可知，不妨设a,≤m+1. 若a=1,则由长为m+1的子列集{a2,a,…,a1,4m+2}和{am41,aa+2…,a2m} 与集合{L,2}的交集非空，知2∈{am+1,am+2}. 又3(m-)=2m+1+(m-4)≥n，长为m-1的子列集{a2,…,an}和 {am+3,…,a2m+i} 与集合{1,2,3}的交集非空 所以3∈{a,…,an}且3e{an+3,…,a2m},与{a2,…,an}∩{an+3…,amt}=矛盾。 若4=k>1,则由长为m+1的子列集{a2,…am+,am+2}和{am+1,am+2,…,02m+i} 与集合{化-1，k}的交集非空，知k-1e{a1,am+2}; 又与集合{k,k+1}的交集非空，知k+1∈{am,am+2}, 此时，长为m-1的子列集{a2,…,an}∩{k-1,k,k+1}=②，矛盾. 所以，当n≥8时，不存在“好数列”. 又数列1,4,6,2,5,3,7是“好数列”. 综上，的最大值为7.