精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高三上学期第三次质量检测（11月期中）数学试题

重庆市南开中学高 2026 届高三第三次质量检测期中考试 数学试题 注意事项： 1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“ ”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接求解. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“ ”的否定为“”. 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件平方后，结合同角三角函数基本关系式和二倍角公式，即可求解. 【详解】， 得. 故选：B 3. 已知 为虚数单位，复数满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的运算性质及共轭复数模相等求解. 【详解】， ，即， 化简可得，即， 所以， 故选：A 4. 若函数 的图象关于直线对称，则实数的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性知函数定义域关于点对称，即可得解. 【详解】设， 因为函数， 所以，解得，即函数定义域为， 因为函数 的图象关于直线对称， 所以，解得， 此时，, 的图象关于直线对称，故符合. 故选：C 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算法则求解即可. 【详解】， ， 故选：A 6. 已知各项均为正数的等比数列满足：，则的公比（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先讨论时不满足题意，再结合等比数列前项和公式讨论情况即可. 【详解】解：因为各项均为正数的等比数列满足：， 当时，，不满足题意，故， 所以， 即 因为 所以，即，解得（舍）， 所以. 故选：D 7. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（ ） A. 1 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解. 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，所以数列是首项，的等差数列， ，则， ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为. 故选：B 8. 若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用将整理得到，利用余弦定理得到，得到角的范围，从而求出的最大值. 【详解】设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， . 故选：C. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D. 当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据判断A，根据向量共线的坐标表示判断B，根据且不同向判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当与夹角为锐角时，则，解得， 又时，，此时向量夹角为0， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误； 对于D：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确； 故选：ABD． 10. 已知各项均为正数的数列，其前项和满足，下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 为单调递减数列 C. 可能为等比数列 D. 当时，中总存在小于 的项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据递推关系求出判断A，利用作差法判断数列单调性判断B，假设数列为等比数列，由等比数列通项公式求出公比判断C，由反证法及不等式性质求出范围，再由此得出的范围即可判断D. 【详解】当时，，取 ，则，又，则， 当时，，解得，故A错误； 时，， 所以，所以为单调递减数列，故B正确； 假设为等比数列，则，又，即，化简得，，化简可得，故C错误； 当时，，则，假设， 则，， 与假设矛盾，中总有小于的项，故D正确. 故选：BD 11. 某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的取值范围是 C. 最大值为 2 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用数形结合，以及圆的形式，即可判断；B.建立坐标系，设，，利用坐标法以及三角函数表示，即可求解；C.讨论点的位置，利用坐标法，以及变量的范围，即可求解；D.分点的位置，讨论投影向量的模长. 【详解】A.由图可知，，当点三点共线时，等号成立， 所以的最大值为 ，故A正确； B.如图，建立平面直角坐标系，，，，，，，， 所以，所以， 所以，故B错误； C. 设在线段上时，设， ，, 所以， 所以的最大值为2， 当点在线段上时，所在直线方程为，设， ，， 所以的最大值为2， 综上可知，的最大值为2，故C正确； D. 设在线段上时，，，当点与点重合时，， 此时在上的投影向量模长为0， 当点在线段上时，，， ，，由可知， ，， 在上的投影向量模长为， 设，， 设，所以的值域是， 所以的值域是， 综上可知，在上的投影向量模长的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 【答案】或（写出其中一条即可） 【解析】 【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解. 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 13. 某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2025 年 9 月份第一、四车间生产的零件数分别为 73 万件和 145 万件， 若四个车间产量随编号增加而增加， 且四个车间产量的中位数与平均数相等，则 2025 年 9 月份该厂生产的零件总数为_____万件. 【答案】 【解析】 【分析】根据中位数和平均数公式，列等量关系式，即可求解. 【详解】设第二、三车间生产的零件数分别为，，则， 由条件可知，，得， 所以该厂生产的零件总数为万件. 故答案为： 14. 已知数列的通项公式分别为，，数列满足. 若对任意的的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的所有取值和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，（为正整数，等号取不到），此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 所以满足条件的正整数的所有取值和为 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，求函数的值域. 【答案】（1）最小正周期为；单调递增区间是，； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用辅助角公式化简函数，再根据三角函数的性质，即可求解； （2）根据平移规律写出函数的解析式，再利用代入法，结合正弦函数的值域，即可求解. 【小问1详解】 由辅助角公式得， 函数的最小正周期； 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间是，； 【小问2详解】 由题意得， 当，，则， 则， 所以函数的值域是. 16. 已知四棱台，底面四边形为菱形， ，且侧棱 平面. （1）证明： 平面； （2）记，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ，底面四边形为菱形， ， ，则，设，连接， 底面四边形为菱形， 为的中点， ， ， ， 为平行四边形， ， 平面，平面， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）底面四边形为菱形，，则为的中点，可得，从而得到平面； （2）取中点，可以得到以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，根据长度写出点的坐标，根据得到，从而得到，利用向量求出的坐标，求出平面的法向量和， 利用向量的数量积得到直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面四边形为菱形， ， 是等边三角形， 取中点，连接，则， ， ， 平面， 以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，，，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ，， 设平面的法向量为， ，则，取，解得，， 则，， ，，，， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为4. （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线与双曲线右支交于两点（第一象限 ） ，若为坐标原点，的面积为面积的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再结合即可求解； （2）根据题意设直线的方程为，进而直线与双曲线方程联立，并结合求解即可得答案. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为，焦距为4. 所以双曲线的焦点在轴上，且，即， 因为，所以，，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 根据题意，设直线的方程为， 联立方程得，且， 所以， 因为的面积为面积的2倍， 所以， 代入得，， 所以，即，解得， 当时，，与矛盾，故舍去， 当时，，，，满足题意. 所以，此时直线的方程为：，即 所以直线的方程为. 18. 已知函数 （1）若函数有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由题意转化为有两个不等根，利用导数分析的单调性、极值即可求解； （ii）转化为证明，构造函数，利用导数分析单调性，即可得证； （2）先证明：①，②，分类讨论的大小，再有放缩法分析即可得证. 【小问1详解】 因为， 要满足题意，则有两个不等根， 由，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 故， 又时，；时，， （i）若有两个不等根， 则 ，即， 此时的两侧导数正负符号都相反，所以都是极值点； （ii）由上面讨论可知：， 故要证，即证，即证， 即证，令， 则， 由于，所以，又单调递增， 所以，所以， 在单调递增，， 所以成立，故得证. 【小问2详解】 先证两个结论：①；② 证明结论①：令，则， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即； 证明结论②：令，则， 所以在单调递减，在单调递增，所以，即 由题意可得 对恒成立， (1)当时，，不满足题意； (2)当时，， 综上： 19. 已知数列和满足 ，且且 . （1）求数列和的通项公式； （2）令 ，求数列的前项和； （3）将数列和的所有项从小到大重新排序得到数列. 在数列的前项中随机取一项，再从不大于的项中随机抽取一项，将其值记为随机变量 ，若的期望为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件递推公式得到，结合等差数列通项公式即可求解； （2）由（1）得到，由裂项相消法求和即可； （3）由题意确定以题意可知：，得到随机变量的取值为：，由条件概率得到，结合期望的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由，，又 所以 ，， 即， 即的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 所以， 所以 【小问2详解】 所以 【小问3详解】 以题意可知：， 所以随机变量的取值为：， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 又， ， 所以得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学高 2026 届高三第三次质量检测期中考试 数学试题 注意事项： 1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“ ”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知 为虚数单位，复数满足 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数 的图象关于直线对称，则实数的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知各项均为正数的等比数列满足：，则的公比（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（ ） A. 1 B. 27 C. 28 D. 29 8. 若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D. 当时，在上的投影向量的坐标为 10. 已知各项均为正数的数列，其前项和满足，下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 为单调递减数列 C. 可能为等比数列 D. 当时，中总存在小于 的项 11. 某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的取值范围是 C. 最大值为 2 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 三、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 13. 某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2025 年 9 月份第一、四车间生产的零件数分别为 73 万件和 145 万件， 若四个车间产量随编号增加而增加， 且四个车间产量的中位数与平均数相等，则 2025 年 9 月份该厂生产的零件总数为_____万件. 14. 已知数列的通项公式分别为，，数列满足. 若对任意的的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的所有取值和为_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，求函数的值域. 16. 已知四棱台，底面四边形为菱形， ，且侧棱 平面. （1）证明： 平面； （2）记，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为4. （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线与双曲线右支交于两点（第一象限 ） ，若为坐标原点，的面积为面积的2倍，求直线的方程. 18. 已知函数 （1）若函数有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知数列和满足 ，且且 . （1）求数列和的通项公式； （2）令 ，求数列的前项和； （3）将数列和的所有项从小到大重新排序得到数列. 在数列的前项中随机取一项，再从不大于的项中随机抽取一项，将其值记为随机变量 ，若的期望为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $