3.3探索与表达规律(基础篇）讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

探索与表达规律 3.3探索与表达规律 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 合并同类项 2 课前复习 去括号 添括号 整式的加减 整式的化简求值 新课探索 探索规律 3 新课探索 题型练习 同类项的判断 8 题型练习 已知同类项求值 合并同类项 整式的加减运算 去括号 化简求值 易错点 9 易错点 总结 15 总结 课前复习 合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项.所有的常数项都是同类项 合并同类项：如果一个多项式中含有同类项，那么我们常常要把同类项合并起来，使结果得以简化.把多项式中的同类项合并成一项. 合并同类项的方法：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变 合并同类项实际上就是根据加法交换律、结合律以及乘法分配律，把各同类项的系数加以合并 去括号 去括号的法则： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号； 括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号. 添括号 添括号法则 ①所添括号前面的符号是添括号后括到括号里各项是否变号的依据； ②尤其注意括号前面是“一”号时，括到括号里的各项都要改变符号； ③添括号是否正确可以用去括号来检验。 整式的加减 进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。整式加减的步骤： (1)列出代数式； (2)去括号； (3)合并同类项 整式的化简求值 “化繁为简再求值”,对于所给多项式很复杂的题目，宜先化简 再求值 新课探索 1、 探索规律 (1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法. (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程. 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律. 题型练习 数字类规律探索 1．按图中的程序运算，如果第一次输入的值是12，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了规律型数字的变化类，代数式求值的知识，仔细计算，观察出循环规律，是解题的关键．本题需要通过计算前9次的计算结果，得到循环规律，然后即可求解． 【详解】解：第1次输入x的值是12，则输出的结果是， 第2次输入x的值是6，则输出的结果是， 第3次输入x的值是3，则输出的结果是， 第4次输入x的值是8，则输出的结果是， 第5次输入x的值是4，则输出的结果是， 第6次输入x的值是2，则输出的结果是， 第7次输入x的值是1，则输出的结果是， 第8次输入x的值是6，则输出的结果是， 第9次输入x的值是3，则输出的结果是， 通过计算可以得到：每6次输出6、3、8、4、2、1为一组循环； ∴， ∴第2025次输出的结果是8； 故选：D． 2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，观察所给数的分子和分母及分数的符号，发现规律即可解决问题． 分别观察所给分数的分母和分子及其符号，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 这列数中的第奇数个数是负数，第偶数个数是正数， 所以这组数的第个数的符号为：； 分数分母从1开始，依次扩大2倍， 所以这组数的第个数的分母为：； 分数分子依次为， ， ， ， ， 所以这组数的第个数的分子为：． 所以这组数的第个数为：． 故答案为：． 图形类规律探索 1．用完全相同的小正方形按照如图所示的规律拼成若干个图案，则第2025个图案中小正方形的个数是（    ） A．8101 B．8100 C．8096 D．1125 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前几个图案，表示出变化规律． 先根据前面几个图案，找到规律，进而求得第2025个图案中小正方形的个数即可． 【详解】解：由题意可得，第1个图案中小正方形的个数为， 第2个图案中小正方形的个数为， 第3个图案中小正方形的个数为， 由此可得，第个图案中，小正方形的个数为， 则第2025个图案中，小正方形的个数为， 故选：A． 2．观察下列按照一定规律堆砌的小钢管的横截面图： 若按照这个规律继续堆砌小钢管，第个图的钢管总数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第个图中钢管数为，据此解答即可求解，找出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一个图中钢管数为：， 第二个图中钢管数为：， 第三个图中钢管数为：， 第四个图中钢管数为：， ， ∴第个图中钢管数为， 当时，， 即第个图的钢管总数为， 故选：． 3．如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么当时，在这个图形中，点的总数是 个． 【答案】27 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出点的总数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， …， 当时，． 故答案为：27． 易错点 1. 混淆规律的方向性：在数列或图形规律中，学生容易忽略规律的方向变化。例如，在一个递增数列中，可能同时存在加法和乘法规律的交替，但学生通常只关注单一运算。 2. 忽视初始条件：在表达规律时，学生常忘记考虑初始值的重要性。比如，给出一组数据“2, 4, 8, 16”，学生可能会直接认为是“每次乘以2”，而忽略了起始数字是否会影响规律的描述。 3. 未验证规律的普适性：学生在发现某种规律后，往往不进行全面验证就急于得出结论。例如，在观察到前几项符合某个公式时，没有检查后续项是否也满足该规律。 4. 对符号语言理解不足：用代数式表达规律时，学生容易出现符号使用的错误。例如，将“第n项为2n+1”误写成“n=2n+1”，导致逻辑混乱。 5. 忽略特殊情况：在探索规律的过程中，学生常常忽略某些特殊情形。例如，当问题涉及零或负数时，这些值可能破坏原本看似成立的规律。 6. 图表信息提取不准：从表格或图像中总结规律时，学生可能因为读取数据不准确或遗漏关键点而导致规律判断失误。 7. 缺乏多角度思考：部分学生习惯于从单一维度（如仅从数值变化）分析规律，而忽略了其他潜在因素，例如位置关系、周期性等。 总结 2、 探索规律 (1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法. (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程. 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 探索与表达规律 3.3探索与表达规律 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 合并同类项 课前复习 去括号 添括号 整式的加减 整式的化简求值 新课探索 探索规律 新课探索 题型练习 同类项的判断 题型练习 已知同类项求值 合并同类项 整式的加减运算 去括号 化简求值 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项.所有的常数项都是同类项 合并同类项：如果一个多项式中含有同类项，那么我们常常要把同类项合并起来，使结果得以简化.把多项式中的同类项合并成一项. 合并同类项的方法：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变 合并同类项实际上就是根据加法交换律、结合律以及乘法分配律，把各同类项的系数加以合并 去括号 去括号的法则： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号； 括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号. 添括号 添括号法则 ①所添括号前面的符号是添括号后括到括号里各项是否变号的依据； ②尤其注意括号前面是“一”号时，括到括号里的各项都要改变符号； ③添括号是否正确可以用去括号来检验。 整式的加减 进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。整式加减的步骤： (1)列出代数式； (2)去括号； (3)合并同类项 整式的化简求值 “化繁为简再求值”,对于所给多项式很复杂的题目，宜先化简 再求值 新课探索 1、 探索规律 (1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法. (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程. 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律. 题型练习 数字类规律探索 1．按图中的程序运算，如果第一次输入的值是12，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是 ． 图形类规律探索 1．用完全相同的小正方形按照如图所示的规律拼成若干个图案，则第2025个图案中小正方形的个数是（    ） A．8101 B．8100 C．8096 D．1125 2．观察下列按照一定规律堆砌的小钢管的横截面图： 若按照这个规律继续堆砌小钢管，第个图的钢管总数为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么当时，在这个图形中，点的总数是 个． 易错点 1. 混淆规律的方向性：在数列或图形规律中，学生容易忽略规律的方向变化。例如，在一个递增数列中，可能同时存在加法和乘法规律的交替，但学生通常只关注单一运算。 2. 忽视初始条件：在表达规律时，学生常忘记考虑初始值的重要性。比如，给出一组数据“2, 4, 8, 16”，学生可能会直接认为是“每次乘以2”，而忽略了起始数字是否会影响规律的描述。 3. 未验证规律的普适性：学生在发现某种规律后，往往不进行全面验证就急于得出结论。例如，在观察到前几项符合某个公式时，没有检查后续项是否也满足该规律。 4. 对符号语言理解不足：用代数式表达规律时，学生容易出现符号使用的错误。例如，将“第n项为2n+1”误写成“n=2n+1”，导致逻辑混乱。 5. 忽略特殊情况：在探索规律的过程中，学生常常忽略某些特殊情形。例如，当问题涉及零或负数时，这些值可能破坏原本看似成立的规律。 6. 图表信息提取不准：从表格或图像中总结规律时，学生可能因为读取数据不准确或遗漏关键点而导致规律判断失误。 7. 缺乏多角度思考：部分学生习惯于从单一维度（如仅从数值变化）分析规律，而忽略了其他潜在因素，例如位置关系、周期性等。 总结 2、 探索规律 (1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法. (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程. 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律. 1 学科网（北京）股份有限公司 $