精品解析：江苏省宿迁市 泗阳致远中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级期中学业水平监测 数学 分值：150分 时间：120分钟 一．选择题（每小题3分，共8题，计24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（　　） A. B. π C. D. 3. 一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　） A 24° B. 26° C. 48° D. 66° 6. 有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中：正确的个数有（ ） ①如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根； ②如果ac＜0，方程M、N都有两个不相等的实数根； ③如果2是方程M的一个根，那么是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1． A. 4个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，则△PEF的周长为（　　） A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 8. 已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共10题，计30分） 9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 10. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击 10 次，两人 10 次射击成绩的平均数均是 8.9 环，方差分别是 S 甲2＝1.7，S 乙 2=1.2，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是___________．(填“甲”或“乙”) 11. 若+=3，=1，则以，为根，且二次项系数为1的一元二次方程是________． 12. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是__________． 13. 如图，，P为上一点，且，以点Р为圆心，长为半径作圆，则该圆与直线的位置关系为__________. 14. 如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝_____度． 15. 如图，在直径为2cm圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形，这个扇形的弧长为_____cm． 16. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 17. 等腰一边长为3，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是___________． 18. 如图，线段，点D是线段AB上一动点，以直角的斜边CD为直角边向上作等腰直角，G是斜边DE中点，连接AG，则线段AG的最小值是______cm． 三．解答题（共10题，计96分） 19. 解方程： （1） （2）； 20. 如图，是直径，是的弦，若，求的度数． 21. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 22. 如图，是的直径，射线交于点C． （1）尺规作图：求作的中点D．（保留作图痕迹） （2）过点D画垂足为E．求证：是的切线． 23. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的________，________； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________； （3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数． 24. 关于x的一元二次方程. （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于5，求k的取值范围. 25. 某商场销售一种毛毯，平均每天可售出100件，每件的利润是120元，天气渐凉，为了扩大销售，增加利润，商场准备适当降价，据市场调查，若每件毛毯每降价1元，每天可多售出2件，针对这种毛毯的销售情况，请解答以下问题： （1）当每件毛毯降价20元时，销售这种毛毯每件可获利______元；每天可售出______件． （2）在要求每件毛毯获利大于80元的情况下，使每天销售毛毯获利14400元，每件毛毯应降价多少元？ 26. 已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 27. 如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： （1）点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ （2）是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； （3）如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 28. 【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵， ∴__________， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴△∽△， ∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】 （2）如图2，为直径，，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级期中学业水平监测 数学 分值：150分 时间：120分钟 一．选择题（每小题3分，共8题，计24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. ，没有说明，原方程不一定是一元二次方程，故原选项不合题意； B. ，分式方程，故原选项不合题意； C. ，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，方程两边都是整式，故原方程是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，原方程不是一元二次方程，故原选项不合题意． 故选：D 2. 已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（　　） A. B. π C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据弧长公式知：扇形的弧长为． 故选：D． 【点睛】题目主要考查弧长公式的计算，熟练掌握运用弧长公式是解题关键． 3. 一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】平均数是一组数据总和除以总数；中位数是将一组数据按照一定顺序排列后,取最中间这个数或最中间两个数的平均数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数.利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：因为平均数是一组数据总和除以总数；中位数是将一组数据按照一定顺序排列后,取最中间这个数或最中间两个数的平均数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数.所以这组数据的平均数、方差和中位数都与第6个数有关，而这组数据的众数与第6个数无关． 故选C． 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义,解决本题的关键是要熟练掌握平均数,中位数,众数,方差的定义． 4. 四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形， ∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：． 故选：C． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　） A. 24° B. 26° C. 48° D. 66° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用圆周角求解． 【详解】解：∵点A是的中点， ∴， ∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6. 有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中：正确的个数有（ ） ①如果方程M有两个相等实数根，那么方程N也有两个相等的实数根； ②如果ac＜0，方程M、N都有两个不相等的实数根； ③如果2是方程M的一个根，那么是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1． A. 4个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】①方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0，对于方程cx2+bx+a=0，△=b2-4ac=0，则方程N也有两个相等的实数根；②利用ac＜0和根的判别式进行判断即可；③把x=2代入ax2+bx+c=0得：4a+2b+c=0，等式的两边通除以4得到c+b+a=0，于是得到结论正确；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x=±1． 【详解】①∵方程M有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=0， ∵方程N的△=b2-4ac=0， ∴方程N也有两个相等的实数根，故正确； ②∵ac＜0，∴b2-4ac＞0， ∴程M、N都有两个不相等的实数根；故正确； ③∵把x=2代入ax2+bx+c=0得：4a+2b+c=0， ∴c+b+a=0， ∴是方程N的一个根；故正确； ④设两方程相同的根为m， ∴am2+bm+c=cm2+bm+a， ∴（a-c）m2=a-c, ∵a ≠c， ∴m=±1， ∴如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x=±1；故错误． 故选:D． 【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于掌握其公式和定义． 7. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，则△PEF的周长为（　　） A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 【答案】C 【解析】 【详解】解： ∵PA，PB是圆的切线．∴PA=PB， 同理，AE=EC，FC=FB． 三角形PEF的周长=PE+EF+PF=PE+PF+CF+EC=PE+AE+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm． 故选C． 【点睛】本题考查切线长定理． 8. 已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形的长，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可． 【详解】解：如图，连接交于O，则点O是圆心，过点O作于N，连接，取的中点G，连接，，，过点S作于点T， 由对称性可知，， ∵图中均为正六边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由正六边形的性质可知，、、都是正三角形， ∴FHMF， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键． 二．填空题（每小题3分，共10题，计30分） 9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 10. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击 10 次，两人 10 次射击成绩的平均数均是 8.9 环，方差分别是 S 甲2＝1.7，S 乙 2=1.2，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是___________．(填“甲”或“乙”) 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：因为S甲2=1.7＞S乙2=1.2，方差小的为乙， 所以关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是乙． 故答案乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 11. 若+=3，=1，则以，为根，且二次项系数为1的一元二次方程是________． 【答案】x2-3x+1=0 【解析】 【分析】由于二次项系数为1，所以可设方程为x2+bx+c=0（b，c是常数），再根据两根之和与两根之积公式分别求出 b、c的值，代入数值即可得到方程． 【详解】解：设二次项系数为1的一元二次方程为x2+bx+c=0（b，c是常数）． ∵x1+x2=3，x1x2=1， ∴-b=3，c=1， ∴b=-3，c=1． 故所求方程为x2-3x+1=0． 故答案为：x2-3x+1=0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及一般形式．正确求出b、c的值是解题的关键． 12. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：底面半径为2，则底面周长=4π，侧面展开图是半圆，则母线长=4π×2÷2π=4， ∴圆锥的侧面积=×4π×4=8π． 故答案为：8π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键． 13. 如图，，P为上一点，且，以点Р为圆心，长为半径作圆，则该圆与直线的位置关系为__________. 【答案】相交 【解析】 【分析】过点P作于点D，根据直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论． 【详解】过点P作于点D， ∵，P为上一点，且， ∴, ∴∴以P为圆心，长为半径的圆与直线的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,当时，直线与圆相交是解答此题的关键． 14. 如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】找到AD的中点O，连接OF，由多边形是正六边形可求出∠AOF的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADF的度数． 【详解】解：由题意知：AD是正六边形的外接圆的直径， 找到AD的中点O，连接OF， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOF＝＝60°， ∴∠ADF＝∠AOF＝×60°＝30°． 故答案为：30． 【点睛】此题考查的是圆与正六边形，掌握圆的内接正六边形的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键． 15. 如图，在直径为2cm的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形，这个扇形的弧长为_____cm． 【答案】π 【解析】 【分析】连接BC，根据90度的圆周角所对的弦是直径，可知BC是直径，且AB＝AC，再利用勾股定理即可求得AB的长，把圆心角是90度，半径是2代入弧长公式即可解决问题． 【详解】解：连接BC， ∵∠A＝90° ∴BC是直径，BC＝2 在Rt△ABC中，由勾股定理求得：AB＝AC＝2， ∴l＝＝π， 故答案为π． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、勾股定理和弧长公式，掌握90度的圆周角所对的弦是直径、利用勾股定理解直角三角形和弧长公式是解决此题的关键． 16. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 等腰的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是___________． 【答案】25 【解析】 【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论． 【详解】解：设关于的方程的两个实数根分别为、． 方程有两个实数根，则△，得． ①当底边长为3时，另两边相等时，， 另两边的长都是为5，则； ②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程的根， 另一根为：7． ，不能构成三角形． 的值为25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 18. 如图，线段，点D是线段AB上一动点，以直角的斜边CD为直角边向上作等腰直角，G是斜边DE中点，连接AG，则线段AG的最小值是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接CG，BG，作GM⊥BC于N，证明四边形GMBN为矩形，进而证明△GMD与△GNC全等，由此可知G在∠ABC的角平分线上，作AH⊥BG于点H，根据垂线段可知，当G与H垂直时AG最短． 【详解】 解：连接CG，BG，作GM⊥BC于N，延长BC作GN⊥BC， ∵△DCE为等腰直角三角形，G为DE中点， ∴CG=GD，∠CGD=90°， ∵GM⊥AB，GN⊥BC，∠ABC=90°， ∵四边形GMBN为矩形， ∴∠MGN=90°=∠CGD， ∴∠MGD=∠NGC， ∵∠GMD=∠GNC=90°，CG=GD， ∴△GMD≌△GNC（AAS）， ∴GM=GN， ∴G在∠ABC的角平分线上， ∴∠GBA=45°， 作AH⊥BG于点H，根据垂线段可知，当G与H重合时AG最短， ∵∠ABG=45°，∠AHB=90°， ∴AG的最小值（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段最短，全等三角形的证明，角平分线的性质，能够构造适合的辅助线是本题的关键． 三．解答题（共10题，计96分） 19. 解方程： （1） （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 20. 如图，是直径，是的弦，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，先根据是的直径，求出，再根据，求出，然后求出结果即可． 【详解】解：是的直径， ， ∵， ∴， ． 21. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 22. 如图，是的直径，射线交于点C． （1）尺规作图：求作的中点D．（保留作图痕迹） （2）过点D画垂足为E．求证：是的切线． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，则点D为的中点； （2）连接连接交于F，先利用垂径定理的推论得到，再根据圆周角定理得到，则，接着证明，然后根据切线的性质得到结论． 【小问1详解】 如图，点D为所作， 【小问2详解】 证明：连接交于F，如图， ∵点D为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴AC∥OD， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图、垂径定理、圆周角定理和切线的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 23. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的________，________； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________； （3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数． 【答案】（1）4，5；（2）4次；4次；（3）90人． 【解析】 【分析】（1）观察所给数据即可得到a，b的值； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）用300乘以样本中参加志愿者活动的次数为4次的百分比即可得到结论． 【详解】解：（1）根据所给数据可知，参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人， 所以，a=4，b=5 故答案为：4，5； （2）完成表格如下 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 4 6 5 2 由表格知，参加4次志愿活动的人数最多，为6人， ∴众数是4次 20个数据中，最中间的数据是第10，11个，即4，4， ∴中位数为（次） 故答案为：4次；4次； （3）20人中，参加4次志愿活动的有6人，所占百分比为， 所以， ∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为：（人） 答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人． 【点睛】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 关于x的一元二次方程. （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于5，求k的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可证得； (2)首先解此方程，再根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴，. ∵方程有一根大于5， ∴，解得：， ∴k的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键． 25. 某商场销售一种毛毯，平均每天可售出100件，每件的利润是120元，天气渐凉，为了扩大销售，增加利润，商场准备适当降价，据市场调查，若每件毛毯每降价1元，每天可多售出2件，针对这种毛毯的销售情况，请解答以下问题： （1）当每件毛毯降价20元时，销售这种毛毯每件可获利______元；每天可售出______件． （2）在要求每件毛毯获利大于80元的情况下，使每天销售毛毯获利14400元，每件毛毯应降价多少元？ 【答案】（1）100；140 （2）每盒应降价30元 【解析】 【分析】（1）根据题意及每盒的利润×数量=总利润求解即可； （2）根据每天销售这种节能材料获利达14400元，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，120-20=100元， 100+2×20=140件， 故答案为：100；140； 【小问2详解】 设每盒应降价x元，根据题意，得(120-x)(100+2x)=14400， 解得x=30或x=40， 120-40=80，120-30=90， ∵每件毛毯获利大于80元的情况 ∴x=30， 答：每盒应降价30元． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 26. 已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练的证明圆的切线是解本题的关键； （1）连接，证明，，再证明即可； （2）设的半径为， 表示，，再利用建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 设的半径为，，则， ∵，， ∴， ∵，， 而， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】 27. 如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： （1）点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ （2）是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； （3）如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 【答案】（1）经过1秒的面积等于平方厘米； （2）经过秒相切； （3）线段的最小值 【解析】 【分析】（1）首先设经过x秒的面积等于平方厘米，然后利用面积列出方程，求解即可； （2）首先假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，然后根据相切的性质和勾股定理，列出方程，求解即可； （3）首先由得出，将其转化为点M在以为直径的圆在内的弧上，则当B，M，O三点共线时最小，即可得解. 【小问1详解】 设经过x秒的面积等于平方厘米，则，，, 由题意，得 ∴ 化简得： ∴． 答：经过1秒的面积等于平方厘米； 【小问2详解】 假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，如图设其切点为H， ∵与圆P相切， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： 由于点P的运动时间最大为2秒，故x2舍去 所以经过秒相切； 【小问3详解】 ∵ ∵， ∴ ∴点M在以为直径圆在内的弧上，如图所示： ∴当B，M，O三点共线时最小 ， ∴ 即线段的最小值． 【点睛】此题主要考查勾股定理、切线的性质、一元二次方程的应用和圆的综合问题，解题关键是利用动点构建方程，求解即可． 28. 【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵， ∴__________， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴△∽△， ∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）2 【解析】 【分析】（1）在上取点E，连接，使，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可证明结论成立； （2）连接和，由圆周角定理结合勾股定理求得，，利用（1）的结论求解即可； （3）先证明，求得，再证明，可求出、，再由（1）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：在上取点E，连接，使． ∵， ∴， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴②， 得， 即； （2）连接和， ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴，， ∵由（1）得， 即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∵，， ∴， ，即， ∴，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要多次相似解决问题，题目比较难． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $