精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

平罗中学2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高三数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 若集合， ， （    ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. － D. － 3. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 二次函数的零点为和 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知，为正实数，且，则的最小值为______． 13. 已知等差数列的前n项和为，且，则______． 14. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求在的最大值与最小值，及取到最大值和最小值时的. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离. 19. 已知函数. （1）若时，求曲线在处切线的斜率； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高三数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 若集合， ， （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出指数函数的值域及函数的定义域，分别确定出集合M和N，找出两集合解集的公共部分即可得到两集合的交集． 【详解】表示函数值域，则. 表示函数定义域，则. 则. 故选：A 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. － D. － 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算求出即可得解. 【详解】由题可得，则虚部为，故D正确. 故选：D. 3. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义先计算，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，利用的性质，即可求解；对B，利用指数函数的性质，即可求解；对C，由幂函数的性质可判断；对D，由指数函数的单调性判断，再由奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】对于A，由的性质知，在定义域内不是单调函数，所以A错误， 对于B，，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以B错误， 对于C，幂函数在定义域内单调递增，故C错误， 对于D，因为，定义域为，在定义域内单调递增，在定义域内单调递减， 所以在定义域内单调递减， 又，所以为奇函数，故D正确， 故选：D. 5. 已知，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性关系的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 6. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质和充分条件以及必要条件的判断分析即可. 【详解】对A，若，则，则充分性成立；若，则，则必要性成立，故A错误； 对B，若，举例，此时，则充分性不成立，故B错误； 对C，若，举例，此时，则充分性不成立，故C错误； 对D，若，则，则，则充分性成立；若，当时，此时，故必要性不成立，故D正确； 故选：D. 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，由结合余弦定理，求得，进而得到且，即可求解. 【详解】由，可得，解得， 因为，所以， 又. 由余弦定理得，所以， 因为，所以，解得，则，可得， 所以，所以为等边三角形. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 二次函数的零点为和 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断A，根据抽象函数的定义域计算并判断B，根据函数零点的定义解方程判断C，根据充分性和必要性的概念判断D即可. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A为假命题； 对于B，若函数的定义域为，即， 则，所以函数的定义域为，故B为真命题； 对于C，令，即， 解得或，所以二次函数的零点为和，故C为假命题； 对于D，若，则或，充分性不成立；若，则，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象可求得，即可判断A；再由函数过点，可求得，根据三角函数的对称性可判断B，C；利用诱导公式得，根据图象的平移法则可判断D. 【详解】因为，即，所以，故A正确； 而，则， 又因为过点，则，即， 所以， 对于B，因为， 所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误； 对于D，， 所以函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以，即 所以关于对称，故A正确； 对于B：因为， 所以， 所以，即周期，故B正确； 对于C：， ， 所以，故C错误； 对于D：因为，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出，的图象与的图象， 又，，所以，即， 如图所示： 所以与有4个交点，故D正确. 故选： ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知，为正实数，且，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解. 【详解】，为正实数，且， ， 当且仅当，即时，等号成立，又， 故时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4 13. 已知等差数列的前n项和为，且，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】设公差为d，化简已知得，再利用等差数列的求和公式计算即得解. 【详解】设公差为d，因为是等差数列，所以， 化简得，即， 所以． 故答案为：70 14. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 【答案】5 【解析】 【分析】先分析出的可能取值，再利用超几何分布求每个取值的概率，再用数学期望公式求出，进而求得. 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求在的最大值与最小值，及取到最大值和最小值时的. 【答案】（1） （2） 当时，取最小值为， 当时，取最大值为2. 【解析】 【分析】（1）使用二倍角公式和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可； （2）利用正弦函数性质，可求出函数的最值. 【小问1详解】 由， 其最小正周期为. 【小问2详解】 由题意，当时，， 当，即时，取最小值为， 当，即时，取最大值为2. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 则，， 可得， 故 . 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离. 【答案】（1） ， 平面为平行四边形，， 平面，平面， 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，得出，再根据线面平行判定定理得出线面平行； （2）设正方体棱长为２，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用法向量求出线面角的正弦值； （3）利用向量法求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 设直线与平面所成角为，则． 【小问3详解】 正方体棱长为2，同（2）中假设， ，平面的法向量， 点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）若时，求曲线在处切线的斜率； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【小问1详解】 当时，，则， ，在处切线的斜率为. 【小问2详解】 由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $