解锁“高考数学学科素养”系列——1集合的情怀专题讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕集合专题，系统梳理集合定义、概念、元素特征及运算等高考核心考点，按“定义-概念-方法-运算”逻辑层次构建知识体系。通过考点解析、多解法指导、探点实例训练等环节，帮助学生突破元素分析、分类讨论等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，创新采用子集思想、补集法等策略，如探点3用补集法求函数非负值参数范围，引导学生逆向思考。设计韦恩图分析、数轴表示等数形结合活动，配合分层探点训练，助力学生高效构建解题框架，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

解锁 “高考数学学科素养”系列——1集合的情怀 解锁一：集合的定义 把一些元素组成的总体叫做集合()(简称为集).可见集合是数学的工具作用——凡是“群体”问题均可用集合表示或集合观点思考、求解、定义数学概念.如：函数的定义，不等式的解集，三角形，向量，几何，概率等；从而形成集合思想. 探点:已知一元二次函数在上至少有一个函数值为非负值，则实数的取值范围为 . 法一(图象法):利用一元二次函数的图象可知，或，所求为. 法二(分离法):令，则，所以，所以一元二次函数在上至少有一个函数值为非负值，在上有解，设，则(略). 法三（求补法）：一元二次函数在上的函数值均为负，则，解得，故所求为. 解锁二：集合的概念 1.空集：求解集合问题的分类讨论；“元素”：元素的三大特征；子集：子集思想. 2.集合中的关系： ①“元素”与集合：对对象与集合，则或. 可见元素是一个相对概念，它本身可以是元素也可以是集合，因此解集合题的关键是高清集合中的元素. 悟惑:若，则,但在填空时，对于，仅能选前者，选后者是错误的. ②集合与集合：对集合与集合，则要么,要么,也可要么，要么. 悟惑.已知，则的关系为 分析：因为,取,则,而，所以 3．利用子集观点处理构成或分类讨论问题(整体与局部的相互转化、一分为二的哲学理念). 悟惑.若 ，则关系为 . 探究：变量的系数存在二倍关系，常数项相同，因此统一变量的系数. 本题是显性的分类问题，即子集问题，隐形子集问题需要子集思想解题. 法一(升倍法): 因为，所以. 法一(降倍法):当，则；若，则 ，所以. ③处理数的分类问题有两种途径: ❶拼凑成相同的结构特征;❷分类讨论变为同一类型. 悟惑.设全集,若，则称为理想配集，记作，这样的理想配集共有 个 个 个 个 分析：由知中必有，至于不能同时属于，因此问题转化为的子集分配问题. 法一（分类讨论）：对集合分类讨论： 法二（韦恩图）：对每一个元素进行对三个区域讨论 变式一：若,则有 法一(分类讨论)：； 法二(子集思想)：韦恩图. 变式二：若,则 法一(分类讨论)：对集合分类讨论： . 法二（子集思想）：. 解锁三：解集合题的原则 第一步，搞清元素（的本质特征和属性）:若是列举法，则需观察每一个元素；若是描述法，则一看代表元的结构特征；二思约束条件;三想元素的三大特征. 第二步，分有、无元素.若无元素直接回答问题；若有元素选择方法.常用的方法有: ①列举法：集合一般用描述法给出，掩盖了元素的本质特征，对于有限集且易于列举的可用列举法代替描述法，直观方便. ②转移法:对于一些带有集合交、并、补、相等、包含等关系的命题，可利用集合概念或运算转化为较简单的关系或通俗的集合语言，从而找出解题方向. 说明：常见的转移有： ❶与元素完全相同； ❷与无公共的元素； ❸或与有公共的元素； ❹、; ❺或. ③数形结合法：从数量关系求解繁琐时，可追溯其几何意义，用几何法求解. 说明：数集用数轴,点集用图象或曲线，即用图形法. ④韦恩图法：对于未知具体元素的非空集合，用韦恩图研究比较直观方便，并能进行有效、合理的分类. 对象：仅给出集合之间的关系；种类的个数问题. ⑤讨论法：集合中的有些元素与集合关系不够充分或在集合运算、集合关系中导致集合的不确定性或集合的逆向问题，当参数的取值不够清楚等均需讨论. ⑥构造法. 有些集合问题的所示形式较为抽象，直接探求显得困难，这时需考虑构造一个与原命题等价的新命题来处理(通常的构造是指“约束条件”或“集合”)，往往比较方便. 说明:构造集合的方式是充分利用全集或空集.即,或 解锁四：集合元素的三大特征及其作用： 1.确定性:设是一个给定的集合，是某一个具体对象，则或者是的元素或者不是的元素，两种情况有且只有一种成立. 2.互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的. 3.无序性:集合与其中元素的排列次序无关. 元素三大特征的作用: (1)确定性的作用 ①判定一个群体能否构成集合; ②判定一个元素是否是集合中的元素(列举法给出的元素用观察法,描述法给出的元素用检验法); ③列式(是集合中元素,应满足集合中的约束条件). (2)互异性的作用 ①用列举法表示集合的正与误; ②用列举法写集合时，相同元素只能写一次; ③求解用列举法给出的含参数的集合问题,要检验互异性; ④求解用列举法给出的集合题时，若条件不够,则隐含元素的互异性. (3)无序性的作用 ①判定集合关系; ②已知集合关系求参数,注意元素的相互交换. 探点1.设函数. (Ⅰ)求证：; (Ⅱ)如果，求； （Ⅲ）若，求满足的条件. 探究:严格遵循解集合题的步骤，本题考查集合中元素的确定性. 探析(Ⅰ):若，则成立. 设，且则由元素的确定性值，从而，所以，所以，综上总有. (Ⅱ)求，即为求中的元素，关键求的值. 法一：由,所以是方程，即的两个实根，由韦达定理知，所以，从而 ，即，亦即，所以. 法二:由(Ⅰ)知 悟惑：本题反映从特殊到一般，由局部到整体以及充分利用“串题”关系的解题理念. (Ⅲ):由题意知且无实根或解集是的解集的子集. ，设 ，则由知无实根或的解集是的解集的子集,所以,或或.解得. 探点2.已知集合，且,则 探究：求的关键是值，依据,列举法给出的集合， 注意元素的互异性. ，所以或，解得或或或，检验互异性知舍去.所以或或. 探点3.在②的探点1中若则 分析：关于的方程，即有两个相等的实根，由一元二次方程根与系数的关系知，又，所以. 探点4.已知集合，问同时满足的实数是否存在？若存在求出所有值，若不存在，请说明理由. 探究：搞清每一个集合的具体元素：，因为，所以 ，即，分有无元素：又，所以关于的方程无实根或有实根为或.即或，解得或，此时，故存在满足条件的实数，且或. 悟惑：集合中约束条件是一元二次方程一般用列举法，但含参数的有以上三种形式.“本质特征”的切入点可分为代数意义和几何意义. 探点5.设集，是否存在使得，若存在求之；若不存在请说明理由. 分析：条件要化简，转化为方程组研究.求解整数有三种渠道：其一，方程法；其二，不等式法；其三，整数分析唯一性. 法一：由知且.由，知方程组，即无解，所以关于有解，所以，即---①，又由知，方程组，即无解，所以关于有解，所以，解得---②，由①②得，代入与得.故存在正整数，使得. 法二：由又或代入检验. 悟惑：由不等式求整数的一般思路是先解出该整数的范围在确定取值;含两个整数的不等式求整数，也是先求整数的取值范围，但需消去一个整数，一般方法有两种：其一，通过放缩得到关于一个整数的一个不等式；其二，通过不等式有解. 探点6.设，，当为何值时? 分析：搞清元素：已知是两个点集，所求是寻找两集无公共元素的充分条件！代数法方程组无解；几何法利用曲线位置关系,选择几何法.方程表示直线除去一点.若，则，此时满足；设，则方程表示一条直线.要使，只需直线平行直线或直线与直线相交于点.即或，解得或，故当或或时. 探点7.已知全集为，集合满足,则下面是空集的是 分析：利用韦恩图可知选. 探点8.向名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多人，其余的不赞成.另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多一人，则对、都赞成的学生和对、都不赞成的学生的人数分别为 ， . 分析：搞清元素：本题是未知具体元素的分类问题，可用韦恩图法. 设对、都赞成的学生有人，则，解得，故都赞同有人，都不赞同有人. 解锁五：集合计算 并、交运算的本质就是给出分类思想，补集运算给出补集思想 探点.已知不等式①，②，③. (Ⅰ)满足①与②的也满足③，则实数的取值范围为 ； (Ⅱ)满足①或②的也满足③，则实数的取值范围为 ； 分析：“①与②”是公共问题即求交集；“①或②”是求并集，“也满足”是从属关系即子集. 解:设则 或，.设，则其对称轴方程为： (Ⅰ) 满足①与②的的集合为，因为满足①与②的也满足③， 所以, 法一（直接法）：或或，解得，故实数的取值范围为 法二(补集法):若，则或或，即，所以若，则，故实数的取值范围为. 法三(分离法): 因为当时，恒成立，所以可变为 ，若，则当时，的最大值为，所以，故实数的取值范围为. (Ⅱ)满足①或②的的集合为或,因为满足①或②的也满足③，所以，由一元二次方程跟的分布知或，解得，故实数的取值范围为. 悟惑: ①本题用求补思想不好！法三最佳,注意只要出现含参数的等式或不等式均要先想分类参数法; ②变式: 已知不等式①，②，③.若满足①、②的至少有一个满足③，则实数的取值范围为 . 探究:由上题的法一知.因为满足①、②的至少有一个满足③的反面是“满足①、②的都不满足③”.设，则 ，解得，故实数的取值范围为. 解锁六：子集思想、求补思想 探点.求集合的所有子集中元素之和. 法一 (子集思想):含数字1的子集有个,同理含有的子集个数均为,故所求元素之和为. 法二(求补思想):每一个子集对应一个相应的补集,一个子集元素等于另一个集合的补集元素,故所求的值为. 感悟：研究补集切记全集. 如:命题:函数的定义域为，命题:不等式对都成立，若命题假，则实数的取值范围是 探究:由得，而,所以命题:；命题:，全集是函数 ，因为命题假，所以至少有一个是假命题，其否命题是都真，此时，所以若至少有一个是假命题，则，故实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $