精品解析：湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考数学试题

湖南省湘东教学联盟2025年11月高三联考 数学试题 总分：150分 时量：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数，则（　　） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数恒成立，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A. 190 B. 360 C. 400 D. 440 6. 若，，，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A. 463 B. 464 C. 465 D. 466 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A. 甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B. 乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C. 丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D. 丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 10. 已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 当时，直线与圆相切 C. 的最小值为 D. 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 11. 如图，三棱台中，平面，则（　　） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 13. 设，若，则___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）判断的单调性； （3）若在上有两个零点，求实数的取值范围． 16. 已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程． 17. 已知的内角的对边分别为． （1）若，求角的值； （2）角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为． （i）当时，求的值； （ii）当为何值时，的面积取最大值． 18. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响． （1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望； （2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求； （3）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘东教学联盟2025年11月高三联考 数学试题 总分：150分 时量：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式和绝对值不等式得到集合，然后由交集的定义求得结果. 【详解】∵，或， ∴． 故选：A. 2. 若复数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 3. 双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的方程，利用双曲线离心率的意义直接求解. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以所求离心率. 故选：D 4. 已知函数恒成立，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，是函数的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】由题意得，是函数的最大值， ,得， ，又． 故选：A 5. 已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A. 190 B. 360 C. 400 D. 440 【答案】C 【解析】 【分析】设出公差后，结合等差数列性质与等差数列求和公式计算即可得解. 【详解】设数列公差为，令得，， 令得，则，即， 解得，． 故选：C. 6. 若，，，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为，， 函数在上为增函数，所以，即， 故． 故选：C. 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】， 又， ，， 又由，得， ，即． 故选：B 8. 已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A. 463 B. 464 C. 465 D. 466 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图象关于直线对称，可得，再根据可转化得为奇函数，从而得函数的周期为4，根据对称性与周期性求值即可得出结论. 【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则， 由，可得， 又，得， 所以， 即，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，函数的周期为4； 由可得， 又因为，所以， 根据函数的性质，得 所以． 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A. 甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B. 乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C. 丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D. 丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项与B选项由相关系数判断；C选项由卡方的检验判断；D选项由决定系数判断. 【详解】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误； B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确； C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误； D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好． 故选：BD． 10. 已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A. 的最小值为 B. 当时，直线与圆相切 C. 的最小值为 D. 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用由求解即可；对于B，利用直线与圆位置关系求解即可；对于C，由的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率，结合斜率公式即可求解；对于D，根据几何关系，得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】已知圆的方程可化为， 故圆心，半径， 对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确； 对于B：当时，直线， 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切，故B错误； 对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率， 设，则直线的方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 解得，所以，故C正确； 对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，三棱台中，平面，则（　　） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，直接由棱台的体积公式求解；对于B，C项，由线面垂直判定定理求解；对于D项，作于点，则平面为与平面所成角，得在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，即可求解． 【详解】A选项：， ，故A正确； B选项：平面 ， 平面 平面 ， 又为的中点， ，平面， 平面，故B正确； C选项：由B选项答案可知平面， 若，而平面， 则平面， ，与条件矛盾，故错误； D选项：如图，在平面中，作于点， 由B选项答案可知，平面， ，平面， 平面为与平面所成角， 依题意，又， 又． 在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆， 轨迹长度为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由得，利用数量积的定义即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又因为为单位向量，与的夹角为， 所以， 故答案为：4． 13. 设，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出与的关系，最后根据三角函数的性质求出的值. 【详解】，化简得，① ，得，② ， 令， ， 在定义域上单调递增， 由①，②可得， 又是奇函数， ，即， ． 故答案为：1 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点作于点，连接， 平面平面，且平面平面平面， 平面. 又平面，， 又平面平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作于点，利用面面垂直证明平面，再通过线线平行推出线面平行； （2）先证明四边形AHDE为矩形，依题意建系，写出相关点和向量的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，计算即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取G为的中点， 由题知底面是以为直角的等腰直角三角形，易得， 又平面，且平面， ，而， ，而， 故平面，因平面， 而由（1）知平面，平面，则，故H与G重合. 又，平面，则平面， 又平面，则，又，故四边形AHDE为矩形. 如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因，则. 平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）判断的单调性； （3）若在上有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得； （2）求导后，分、及讨论即可得； （3）法一：令后参变分离，构造函数，借助导数研究其单调性后，结合零点存在性定理计算即可得解；法二：由题意可得，构造函数，再分类讨论得到该函数单调性后，结合零点存在性定理计算即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 由题意知切点为，切线斜率， 切线方程为：，即； 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，在上单调递增； 当时，时，单调递增， 时，单调递减； 当时，时，单调递减， 时，单调递增； 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 法一：， 令，得，即 ，得， 令，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， ． 又，当时，，当时，， 时，，当且时，， 当时，有2个零点， 实数的取值范围为； 法二：由题意可得，令， ， 当时，恒成立，则在上单调递增， 当时，时，， 只有一个零点，即只有一个零点，不符合题意； 当时，令，解得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， 当时，时，， 故当，即时，有2个零点． 实数的取值范围为. 16. 已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据列出等式，化简即可； （2）设直线，与曲线的方程联立，设，利用，由韦达定理结合面积公式求出即可. 【小问1详解】 设，已知， 由，得， 化简得：， 曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，过点的直线斜率不为0，设直线， 联立得， 设，则. 为的中点，为的中点， ， ， 解得， 直线的方程为：，即. 17. 已知的内角的对边分别为． （1）若，求角的值； （2）角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为． （i）当时，求的值； （ii）当为何值时，的面积取最大值． 【答案】（1） （2）（i）1；（ii） 【解析】 【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出，可得角的值； （2）（i）解法1：连接并延长交于点，连接，在中， ， ，在Rt中，，利用倍角公式求的值； 解法2：连接，在中，得，在中，得，是方程的两根，可求的值； （ii）解法1：连接，设，由余弦定理可得是方程的两根，，有，利用导数求最大值； 解法2：连接并延长交圆于点，连接，设， 利用导数求最大值. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， ，. 【小问2详解】 （i）解法1：为直径且， 如图，连接并延长交于点，连接， 在中，，，， 又平分，，， 在Rt中，， . 解法2：连接， 平分， ，易得， 由正弦定理得， 在中，， 即， 同理在中，， 是方程的两根， . （ii）解法1：如图，连接，设， 又外接圆的半径为，， 在中，由余弦定理可得， ， 得， 同理，在中，， 是方程的两根， . 又， ，. 设，则，， ， 令，则， 令，时，（舍）或， 设， 则当，即时，，函数单调递减， 当时，即时，，函数单调递增 当，即时，取最大值，面积最大. 解法2：如图，连接并延长交圆于点，连接， 在中，，， ，设， 平分，， 连接，在中，， 在Rt中，， ， 由，知，即， 问题转化为求函数的最大值，同解法1． 18. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响． （1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望； （2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求； （3）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义． 【答案】（1）的分布列为 Y 3 4 5 6 4 （2） （3），统计意义为：在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小. 【解析】 【分析】（1）得到比赛得分为Y的所有可能取值为3，4，5，6，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望；（2）利用概率的乘法公式列出，再通过错位相减的方法求出；（3）分别利用概率的乘法公式求出和，再利用做差法比较大小，根据大小情况写出实际意义即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为3，4，5，6， 的分布列为 Y 3 4 5 6 数学期望. 【小问2详解】 依题意，局比赛中，人类队累计得分为分，即局中有2局人类队取胜， 当时，， 当时，也符合上式. ， 设 得： ， ， 【小问3详解】 设“赛满局人类队获胜”为事件，要使事件发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件 ①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局， （i）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜； （ii）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为， . ②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜， ， ， . 在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $