精品解析：广东省深圳市福田区红岭实验学校（新洲）2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

2025年初三年级质量检测 数学（11月） 考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第1卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 已知线段，点是黄金分割点，则 B. 已知，，，，则，，，是成比例线段 C. 方程有两个实数解 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 如果，那么______． 10. 若a为方程的一个解，则的值为______． 11. 如图，菱形的对角线，则菱形的周长为___________． 12. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 13. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，以，已知，在满足，则的值为______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解下列一元二次方程： （1） （2） 15. 2025年11月，深圳将迎来第十五届全国运动会，简称“十五运会”．十五运会是粤港澳三地承办的我国规模最大、水平最高、影响最广的综合性运动会．若某校将承担本次运动会的志愿服务工作，其服务项目有：“后勤保障”“礼仪指引”“裁判辅助”“检录服务”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“裁判辅助”对应的圆心角是___________； （3）本次志愿服务需要后勤保障人员300人，已知该校共有2400名师生，有的师生参加志愿者服务，请预估后勤保障人员是否足够？ 16. 如图，中，． （1）利用尺规作的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的长度． 17. 年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元． （1）当天火箭模型的销售量为_____件； （2）求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元． 18. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 19. 请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 20. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初三年级质量检测 数学（11月） 考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第1卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 2. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 4. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵共4个数，数字为奇数的有2个， ∴指针指向的数字为奇数的概率为． 故选：B． 5. 如图，在中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，根据矩形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是矩形，不符合题意； 、∵， ∴是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形，不符合题意； 、， ∴是菱形，符合题意； 故选：． 6. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 已知线段，点是的黄金分割点，则 B. 已知，，，，则，，，是成比例线段 C. 方程有两个实数解 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的含义，成比例线段，一元二次方程根的判别式的应用，正方形的判定，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵线段，点是的黄金分割点， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，，， ∴， ∴，，，不是成比例线段，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴方程没有实数根；故C不符合题意； ∵对角线相等且垂直的平行四边形是正方形， ∴D不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是黄金分割的含义，成比例线段，一元二次方程根的判别式的应用，正方形的判定，掌握以上基础知识是解本题的关键． 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要作内项就都作内项，要作外项就都作外项．根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数2就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出结果即可． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：． 10. 若a为方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入法是解题关键．根据一元二次方程的解的定义，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：a为方程的一个解， ， ， 则， 故答案为：． 11. 如图，菱形的对角线，则菱形的周长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查求菱形的性质、勾股定理．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的边长，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，， ， ， ∴菱形的周长是：． 故答案为：20． 12. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 【答案】0.72 【解析】 【分析】利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确． 【详解】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72， 故答案为：0.72． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，以，已知，在满足，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先由根的判别式求出k的取值范围，在根据根与系数的关系，即可求出k的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、公式法等常用的解一元二次方程的方法． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 移项，得：， ∴， ∴或， ． 15. 2025年11月，深圳将迎来第十五届全国运动会，简称“十五运会”．十五运会是粤港澳三地承办的我国规模最大、水平最高、影响最广的综合性运动会．若某校将承担本次运动会的志愿服务工作，其服务项目有：“后勤保障”“礼仪指引”“裁判辅助”“检录服务”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“裁判辅助”对应的圆心角是___________； （3）本次志愿服务需要后勤保障人员300人，已知该校共有2400名师生，有的师生参加志愿者服务，请预估后勤保障人员是否足够？ 【答案】（1）200，图见详解 （2） （3）预估后勤保障人员不够 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）根据“检录服务”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“裁判辅助”的人数，进而补全条形统计图； （2）用乘“裁判辅助”所占的百分比即可得出“裁判辅助”对应的圆心角度数； （3）求出参与志愿者的人数，用参加志愿者服务的人数乘以概率求得预估后勤保障人员即可判断． 【小问1详解】 解：本次调查的师生共有（人）， “裁判辅助”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：200； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“裁判辅助”对应的圆心角度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， 答：预估后勤保障人员不够． 16. 如图，在中，． （1）利用尺规作垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的长度． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析，的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂直平分线、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． （1）分别以点为圆心，大于线段长度的一半为半径画弧，连接两交点，与交点即为，与交点即为； （2）根据，证明三角形相似即可，在中，根据勾股定理求出的值，根据求出的值，由三角形相似可得，代入求值即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：∵， ， 在 中，由勾股定理得， ， ， ，即， 解得：， ∴的值为． 17. 年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元． （1）当天火箭模型的销售量为_____件； （2）求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元． 【答案】（1） （2）当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润每件的销售利润当天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：当天火箭模型的销售量为件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，得． 整理得，即， 解得， （元）． 答：当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元． 18. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 19. 请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程等知识，理解“换元法”是解题关键，注意分式方程要进行检验．设得到，解得或，再分别代入，解方程，检验即可求解． 【详解】解：． 设 则， 解得或， 当时，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验，是分式方程的解， 原分式方程的解是，． 20. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $