精品解析：山东省泰安市新泰中学2026届高三上学期期中模拟数学试题

山东省泰安市新泰中学2026届高三上学期期中模拟数学试题 2025.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别是，且，若，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 8. 已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 当时，的最小值是4 C. D. 函数的图象关于点中心对称 10. 设数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当或时，取得最大值 D. 时，n的最大值为32 11. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 外接圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是_________. 13. 已知，，，则______________. 14. 直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最大值及相应的取值集合； （2）设函数，若在区间上单调递增，求的取值范围. 16. 已知函数，. （1）当时，研究的单调性； （2）若，当时，函数有极大值m；当时，有极小值n，求的取值范围. 17. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，为的导函数，讨论的零点个数； （3）若存在，使得不等式对任意成立，求的取值范围. 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市新泰中学2026届高三上学期期中模拟数学试题 2025.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数不等式求出集合，再应用补集及交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，， 所以. 故选：C. 2. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 3. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例. 【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的， 即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件； 反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减. (如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.) 故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件. 故选：A. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解 【详解】，. 因为，所以，解得. 故选：B 5. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数符号，单调性即可判断. 【详解】对于 ，当 时， ，故B错误； ，显然在定义域内 ， 即在 和 都是增函数，C正确，AD错误； 故选：C. 6. 在中，角所对的边分别是，且，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，由得，即得的值. 【详解】中，角，，所对的边分别是，，， 由，得：， 故， 若， 则，即． ，故， 代入，解得． 故选． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，是中档题． 7. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可知，即可得到；对A，，结合正弦函数性质即可判断；对B，由即可判断；对C，即判断两相邻对称轴的距离；对D，按照图象平移原则判断即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，因为，所以， 所以， 对于A，函数，根据正弦函数的奇偶性， 因此函数是奇函数，故A正确； 对于B，由于，， 函数在上不单调，故B错误； 对于C，因为，，又因为， 的周期为，所以的最小值为，故C正确； 对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到，故D错误. 故选：AC. 8. 已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象并利用函数与方程的思想结合图象可知方程有两个不相等的实数根，且，再由二次函数根的分布解不等式可得a的取值范围. 【详解】根据题意对于函数可得； 当时，令，可得， 所以时，，可得在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减； 因此在处取得极小值，也是最小值； 画出函数的图象如下图所示： 令，可得， 若函数有8个不同的零点，可知方程有两个不相等的实数根， 结合图象可知， 所以需满足，解得 故选：D 【点睛】方法点睛：在求解复合函数根的个数问题时，经常利用函数与方程的思想画出函数图象并根据图象之间的交点个数来限定参数所满足的不等关系，解不等式即可得出结论. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 当时，的最小值是4 C. D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用命题否定来判断A，利用函数单调性来判断B，利用正切的和角公式来判断C，利用函数的对称性来判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，当时，，由在区间上单调递减，在上单调递增， 可知在时有最小值，故B错误； 对于C，由， 可得： ，故C正确； 对于D，由函数，可得， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确； 故选：ACD 10. 设数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当或时，取得最大值 D. 时，n的最大值为32 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，为首项为32，公差为的等差数列，从而得到，利用得到，，A正确；B选项，根据等差数列片段和的性质和等差数列定义可知B错误；C选项，配方得到，C正确；D选项，解不等式，求出答案. 【详解】A选项，因为，， 所以为首项为32，公差为的等差数列， 所以， 则， 当时，， 当时，， 显然，即满足上式， 从而， 由于，故为等差数列，A正确； B选项，， ，由于， 由A选项知，的公差为， 故成等差数列，公差为，B错误； C选项，， 又，故当或时，取得最大值，C正确； D选项，，即，解得， 又，故，n的最大值为33，D错误. 故选：AC 11. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 外接圆的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据正弦定理求出，然后可求得的值，然后根据正弦定理求出和外接圆半径，从而得到三角形的周长和外接圆的面积. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以，所以B错误. 根据正弦定理，得,所以A正确. 所以的周长为，所以C正确. 因为，所以外接圆的半径. 所以外接圆的面积为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是_________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数来求函数在某点处的切线，可得，再利用代换法，即可由均值不等式来求最小值. 【详解】设直线与曲线相切的切点横坐标为， 由，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简得：， 根据题意可得：， 因为，所以， 当且仅当时，上式取等号，所以的最小值是, 故答案为： 13. 已知，，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】先由角的范围和题设和的值，求出和的值，再利用拆角变换展开后代入求值即得. 【详解】因，，， 故，， 故，， 则 . 故答案为： 14. 直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系如图， 则，，，， 因为点，为的中点，则，， 可得，，， 又因为点在边上运动(包含端点)，设， 则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最大值及相应的取值集合； （2）设函数，若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1），的取值集合为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即得. （2）求出函数解析式，确定相位的范围，再结正弦函数的单调性列式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 当，即时，， 此时，的取值集合为． 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，由在区间上单调递增， 可得：，解得：， 所以的取值范围是 16. 已知函数，. （1）当时，研究的单调性； （2）若，当时，函数有极大值m；当时，有极小值n，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并结合即可判断出的单调性； （2）根据（1）中结论可得，构造函数并求导得出其单调性即可求得的取值范围. 【小问1详解】 易知函数的定义域为，则， 又因为，所以当时，， 当或时，； 因此可得在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值， 所以， 即； 设函数，则， 所以在上单调递增，所以， 即的取值范围为. 17. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，为的导函数，讨论的零点个数； （3）若存在，使得不等式对任意成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算，再求导得，进而得切线方程； （2）先求，令得，即，令，利用导数研究的单调性，进而作出的图象，利用数形结合即可求解； （3）由已知得，令，即，求导得，利用（2）得的单调性，进而得，即，，令，，即，利用导数研究的单调性求最大值即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，又，则， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，所以， 令，则，即， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增； ，； 当时，；当时，； 作出的图像： 由图可知当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点； 【小问3详解】 由可得，， 设，则，而， 由（2）可知，当时，有唯一零点，满足； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以，； 设，，则； ， 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以，故. 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】（1） 对于函数的定义域内取， 则，，无解， 故不是“依赖函数”. （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）从存在性或唯一性来说明该函数不是“依赖函数”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判断答案； （2）根据函数单调性的性质，可得，代入可求解； （3）分类讨论，当时，明显不符题意；当时，利用函数单调性，可得，解得，代入后，利用不等式恒能成立的性质，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上递增， 故，即，所以. 【小问3详解】 ①当时，取，则，此时不存在，舍去； ②当时，在上单调递减，从而， 由于，故.解得（舍）或， 且，所以. 由于存在实数，使得不等式能成立，故. 从而得到， 由于，所以， 综上，实数的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是：对函数单调性的理解，以及不等式恒能成立的用法，要充分利用数形结合对函数单调性进行充分剖析才可得到答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $