精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年东北师大附中初中部第一学期期中 初二年级数学学科试卷 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本大题共有8道小题，每小题3分，共24分． 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 2025 C. D. 3.14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的概念，熟悉无理数是指不能表示为两个整数之比的实数是解题的关键． 根据题意，选项A、B、D均可写成分数形式，属于有理数；选项C的，由于5不是完全平方数，因此为无理数． 【详解】∵无理数不能表示为分数形式， 选项A：是分数，属于有理数； 选项B：2025是整数，属于有理数； 选项C：5不是完全平方数，则是无理数； 选项D：是分数，属于有理数． 故选：C． 2. “的平方根是”的数学表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方根．根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】“的平方根是”， ． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，检查各选项右边的形式是否为积的形式，且左边是多项式． 【详解】∵ 因式分解需满足从多项式到整式的积的变形， 选项A：右边为多项式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：右边为，是积的形式，且左边为多项式，等式成立，故是因式分解； 选项C：右边为和的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项D：右边为差的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 故选：B． 5. 如图，在中，点是边上一点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边对等角可求出的度数，再利用外角性质，等边对等角即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，在中，，是的角平分线，于点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的角平分线、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由题意可求，从而求出即可求出答案． 【详解】解：由题意得：，， 和中， ， ， ， ，， ， 故选：D． 7. 已知，则估计的值在（） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，无理数的估算；利用非负数的性质求出和的值，再计算的算术平方根，并估计其值所在范围． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴，即， 且，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故在5和6之间． 故选：B． 8. 如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，再由长方形面积计算公式可得长方形的面积，据此可得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴长方形的面积， 故选：D． 二、填空题：本大题共有6道小题，每小题3分，共18分． 9. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 10. 若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为_____． 【答案】36 【解析】 【详解】本题考查完全平方公式，根据乘积二倍项确定常数项的值． 因为多项式是某一个多项式的平方，所以可设为， 比较系数得，解得， 所以． 故答案为：36． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 12. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 如图，以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，边的垂直平分线恰好过点，交于点，若，，则的周长是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，结合即可求解． 【详解】以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ， 又边的垂直平分线恰好过点， （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 则的周长． 故答案：16． 14. 如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边三角形的判定，由三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断④；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴，故①正确； ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 若平分，根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题共有9道小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算及多项式的除法和乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先开算术平方根、去绝对值及零次幂，再加减即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算，即可求解； （3）多项式乘以多项式法则计算，即可求解； （4）根据根式的除法和乘法计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 ． 16. 利用公式简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）900 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）： （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式． （1）直接提公因式法因式分解，即可求解； （2）直接运用平方差公式进行分解因式，即可求解； （3）先提公因式．再运用完全平方公式进行分解因式，即可求解． （4）先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=． 【答案】原式=﹣3x2+4，当x=时，原式=﹣2． 【解析】 【详解】试题分析：原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式=x2+4x+4﹣4x2﹣4x=﹣3x2+4， 当x=时，原式=﹣6+4=﹣2． 考点：整式的化简求值． 19. 已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 【答案】（1）见解析；（2）9 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE垂直平分AB； （2）连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DAB=∠B=30°，接着计算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2AD，从而得到结论． 【详解】（1）如图，DE为所作； （2）连接AD，如图， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵BD=3， ∴AD=3， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠CAD=120°−30°=90°， ∴CD=2AD=6， ∴BC=BD+CD=3+6=9. 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 20. 如图，线段是的角平分线，于点，于点，连结． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，，的面积是，则的长是_____． 【答案】（1）见详解； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出是解答本题的关键． (1)根据角平分线的性质定理直接得出即可证明； (2) 先得出，结合，可得，问题即可得解． 【小问1详解】 证明：连接、， 是的角平分线，于点，， ，， ， 点在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ，， ，， 在(1)中有， ， ， ， ，，的面积是， ， ， 故答案为：． 21. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）．图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为．因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【知识应用】图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：_____，方法2：_____ （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是_____ （3）应用（2）中所得结论回答问题：若，则_____． 【知识迁移】 （4）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图⑤，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积可以写出一个代数恒等式是_____． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）图④中阴影部分是一个边长为的正方形，图④中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，据此用两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设，则，，则，据此可得答案； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，据此用两种方法表示出原几何体的体积即可得到答案． 【详解】解：（1）图④中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图④中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为； （2）由（1）可得； （3）设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，即原几何体的体积为， 原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，即原几何体的体积为， ∴ 22. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）： ①若，则_____； ②若，则_____． 【类比运用】 （2）图①是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加；到如图②所示的大长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（所示的大正方形，此正方形的面积为．试用作差法比较与的大小，并说明理由． 【延伸运用】 （3）已知取任意实数，试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用； （1）①用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断； ②用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （3）用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∴． 故答案为：． ②∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的边长为， ∴新正方形的面积， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： ∵ ∴ ∴． 23. 如图，在长方形中，，，．点在的延长线上，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒（）． （1）用含的代数式表示的长为_____； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）作点关于点的对称点，连结、，当线段将的面积分为两部分时，求的值； （4）在点运动的同时，有一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．过作交于，则由平行线的性质可知．当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、对称性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． （1）先得到，再根据即可； （2）由题知，分和两种情况求解； （3）由线段将分成两部分和，两三角形有相同的高，得到，再分和两种情况求解； （4）作的平分线交于，过作，由角平分线得性质可得，，在中利用勾股定理求得，再可证，得到，接着求，代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 则； 故答案为：； 【小问2详解】 当是以为腰的等腰三角形时， ①当时，即， 解得； ②当时， 又， 为中点， ，即， 解得； 所以当是以为腰的等腰三角形时，或； 【小问3详解】 由（1）知，则， 线段将分成两部分和，两三角形有相同的高， ， 又线段将的面积分为两部分， ①， 即，解得； ②， 即， 解得； 所以线段将的面积分为两部分时，或； 【小问4详解】 作的平分线交于，过作， 则， ∵， ， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ， 又，即， ，， ， ， ∵，， ， 即或， 解得或， 所以当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年东北师大附中初中部第一学期期中 初二年级数学学科试卷 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本大题共有8道小题，每小题3分，共24分． 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 2025 C. D. 3.14 2. “的平方根是”的数学表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在中，点是边上的一点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是的角平分线，于点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知，则估计的值在（） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、填空题：本大题共有6道小题，每小题3分，共18分． 9. 的立方根是___________． 10. 若多项式是某一个多项式平方，则常数项的值为_____． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 13. 如图，以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，边的垂直平分线恰好过点，交于点，若，，则的周长是_____． 14. 如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题：本大题共有9道小题，共78分． 15 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 利用公式简便运算： （1）； （2）． 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）： （4）． 18. 先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=． 19. 已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 20. 如图，线段是的角平分线，于点，于点，连结． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，，的面积是，则的长是_____． 21. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）．图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为．因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【知识应用】图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：_____，方法2：_____ （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是_____ （3）应用（2）中所得结论回答问题：若，则_____． 【知识迁移】 （4）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图⑤，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积可以写出一个代数恒等式是_____． 22. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）： ①若，则_____； ②若，则_____． 【类比运用】 （2）图①是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加；到如图②所示的大长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（所示的大正方形，此正方形的面积为．试用作差法比较与的大小，并说明理由． 延伸运用】 （3）已知取任意实数，试比较代数式与的大小，并说明理由． 23. 如图，在长方形中，，，．点在的延长线上，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒（）． （1）用含的代数式表示的长为_____； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）作点关于点的对称点，连结、，当线段将的面积分为两部分时，求的值； （4）在点运动的同时，有一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．过作交于，则由平行线的性质可知．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $