浙江省浙嘉联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省浙嘉联盟九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列事件中，不可能事件是(    ) A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 2.若是二次函数，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列说法正确的有(    ) A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 直径是同一个圆中最长的弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 弧分为优弧和劣弧 4.如图，AB为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则(    ) A. B. C. D. 6.抛物线，点，，，则a、b、c的大小关系是(    ) A. B. C. D. 无法比较大小 7.如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为(    ) A. B. C. D. 9.已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 10.如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分，则下列各式正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.二次函数的顶点坐标是      . 12.如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是          . 13.如图，在中，，则的度数为      . 14.如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦AB长为4米半径长为3米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是      . 15.二次函数、c是常数，且的图象过点，则方程的根为______. 16.在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦AB的长为，则a的值是      . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 已知二次函数图象经过点和点 求该二次函数的表达式. 指出图象的对称轴和顶点坐标. 18.本小题8分 为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为A，B，C，D的四张卡片如图，除编号和内容外，其余均相同，并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上. 小智随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为______. 小智从4张卡片中随机抽取1张不放回，小慧再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率. 19.本小题8分 如图，的直径AB与弦CD相交于E，已知，，，求： 的弦心距OF的长； 弦CD的长． 20.本小题8分 如图，中的弦，AB与CD相交于点求证： ； 21.本小题8分 某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律： ①销售甲产品所获利润万元与销售万件的关系为； ②销售乙产品所获利润万元与销售万件的关系为；当时，；当时， 求销售乙产品所获利润万元与销售万件的函数关系式； 该公司计划购进甲、乙两种产品共20万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润最大为多少？ 22.本小题10分 一座拱形桥，桥下水面宽度AB是16米，拱高CD是4米. 如图1，若把它看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面上升3米至EF时，则EF的长是多少？ 如图2，若把桥看作是圆的一部分，一艘船的高度是米，那么船的宽度不能超过多少米，才能使船顺利通过拱桥？结果保留根号 23.本小题10分 已知函数为常数的图象经过点， 求这个二次函数表达式； 当时，求y的最大值与最小值之差； 一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是p和q且，求m的取值范围. 24.本小题12分 定义：若函数与x轴的交点A，B的横坐标为，，与y轴的交点C的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足或，则称该函数为“M函数”.如图，函数与x轴的一个交点A的横坐标为，与y轴交点C的纵坐标为，满足，则称为“M函数”. 判断是否为“M函数”，并说明理由； 请探究“M函数”表达式中的b与c之间的关系； 若是“M函数”，且为锐角，求c的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B.从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C.任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选： 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.【答案】A  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选： 利用二次函数定义进行解答即可． 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的二次项系数不为零． 3.【答案】B  【解析】解：A、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误； B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确； C、能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误； D、一条弦把圆分成两条弧，两条弧可能都是半圆，故原命题错误； 故选： 由垂径定理，等弧的定义，圆的弦的定义，即可判断． 本题考查命题与定理，垂径定理，圆的认识，关键是掌握垂径定理，等弧的定义，圆的弦的定义． 4.【答案】C  【解析】解：， ， 的度数是， 点C、D是的三等分点， 的度数是， ， 故选： 先求出，根据点C、D是的三等分点求出的度数是，再求出答案即可． 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，题目比较典型，难度不是很大． 5.【答案】B  【解析】解：绕点A逆时针旋转得到， ， 又， ， 故选： 确定旋转角即可推出结果． 本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 、，， 点离直线最远，离直线最近， 而抛物线开口向上， ； 故选： 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到a、b、c的大小关系． 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7.【答案】B  【解析】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的正半轴相交，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误． 故选： 可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 8.【答案】A  【解析】解：列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ①，② ①，③ ①，④ ①，⑤ ② ②，① ②，③ ②，④ ②，⑤ ③ ③，① ③，② ③，④  ③，⑤ ④ ④，① ④，② ④，③  ④，⑤  ⑤ ⑤，① ⑤，②  ⑤，③  ⑤，④ 共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：①，②，①，③，①，④，①，⑤，②，①，②，③，③，①，③，②，④，①，④，⑤，⑤，①，⑤，④，共12种， 小灯泡发光的概率为 故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：二次函数对称轴为， 由题意得，二次函数经过点，，， 结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5； ②当时，最小值为，最大值为5； ③当时，最小值为，最大值为时y的值； 的取值范围是 故选： 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10.【答案】B  【解析】解：过点O作于点M，交AC于点N，连接OC， 则，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选： 过点O作于点M，交AC于点N，连接OC，根据垂径定理及三角形三边的关系求解判断即可． 此题考查了垂径定理，熟记垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：二次函数的顶点坐标是 故答案为： 根据二次函数的的顶点坐标为，即可． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了几何概率，正确利用概率公式分析是解题关键．直接利用阴影部分总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案． 【解答】 解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总共有10个小扇形， 故飞镖落在阴影区域的概率是： 13.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此即可计算． 本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理． 14.【答案】米  【解析】解：连接OC，交AB于D， 由题意得：米，， 米，， 在中， 米， 米， 即点C到弦AB所在直线的距离是米 故答案为：米． 连接OC，交AB于D，由垂径定理得米，再由勾股定理得米，然后求出CD的长即可． 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 15.【答案】3或  【解析】解：二次函数的对称轴为直线 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等， ， 解得：， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 关于x的一元二次方程的解是3或， 故答案为：3或 求出抛物线的对称轴为，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为，可得，解得x的值，根据关于x的一元二次方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标即可得解． 本题考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程根的关系，关键是掌握抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称． 16.【答案】  【解析】解：作轴于C，交AB于D，作于E，连接PB，如图， 由条件可知，， 把代入得， 点坐标为， ， 为等腰直角三角形， 也为等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为： 作轴于C，交AB于D，作于E，连接PB，由于，，易得D点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理可计算出，则，继而可得答案． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键． 17.【答案】；   顶点坐标为，对称轴为  【解析】二次函数图象经过点和点， ， 解得， 该二次函数的表达式为； ， 抛物线顶点坐标为，对称轴为 把A点和B点坐标代入得关于a、b的方程组，然后解方程组即可； 先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了用待定系数法求抛物线代解析式，掌握待定系数法和顶点坐标的求法是解题的关键． 18.【答案】    【解析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片编号为A的结果有1种， 抽到卡片编号为A的概率为 故答案为： 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的结果有：，，，，，，共6种， 小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为 由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片编号为A的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19.【答案】解：，， ， ， ，， ； 连接OD， 在中，由勾股定理得：， ，   【解析】根据题意求出OE，根据含角的直角三角形的性质求出OF； 连接OD，根据勾股定理求出DF，根据垂径定理解答即可． 本题考查的是垂径定理、直角三角形的性质掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 20.【答案】证明：， ， 即， ， ； ， ， ， ， 即，   【解析】由得到，则，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论； 根据圆周角定理，由得到，则，然后利用得到 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 21.【答案】解：在中，当时，；当时，， ，解得， 销售乙产品所获利润万元与销售万件的函数关系式为； 设总利润为w万元，销售甲m万件，则销售乙万件，根据题意得： ， ， 时，w最大为， 销售甲产品16万件，乙产品4万件，总利润最大为为万元．  【解析】将时，；时，代入，即可求出，从而得到销售乙产品所获利润万元与销售万件的函数关系式为； 设总利润为w万元，销售甲m万件，则销售乙万件，即得，从而可得答案． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是用含m的式子表示w，掌握二次函数性质． 22.【答案】EF的长是8米；   船的宽度不能超过米，才能使船顺利通过拱桥  【解析】米， 抛物线顶点D的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入中得：， 解得：， 设抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ，， 米， 的长是8米； 设的半径为r米， ， 米， 在中，米， ， ， 解得：， ，米， 米， 米， 在中，米， ， 米， 船的宽度不能超过米，才能使船顺利通过拱桥． 根据已知易得：抛物线顶点D的坐标为，然后设抛物线的解析式为，再利用待定系数法进行计算求出抛物线的解析式为，再把代入解析式中进行计算，即可解答； 设的半径为r米，先根据垂径定理可得米，然后在中，利用勾股定理求出r的值，从而可得，米，进而可得米，最后在中，利用勾股定理求出FG的长，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23.【答案】；  ；     【解析】由二次函数的图象经过和两点， 则， 解得， 此二次函数的表达式为； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内，当，函数有最大值为：； 当时函数有最小值：， 的最大值与最小值的差为：； 联立一次函数与二次函数的解析式： ， 消去y得：， 整理为， 交点横坐标，令开口向上，只需满足，即可： ， ， 由二次函数的图象经过和两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式； 求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值4；当时函数有最小值，进而求得它们的差； 联立一次函数与二次函数解析式，转化为一元二次方程，通过构造新函数，利用其开口方向和函数在处的函数值符号，结合零点分布规律确定m的取值范围． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握利用函数性质是解题的关键． 24.【答案】解：是“M函数”，理由如下： 当时，；当时，或3， 与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3， 是“M函数”； 当时，，即与y轴交点的纵坐标为c， 是“M函数”， 时，，即在上， 代入得：， ， 而， ； ①如图1，当C在y轴负半轴上时， 由可得：，即， 显然当时，， 即与x轴的一个交点为， 则， 只需满足，即， ； ②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时， 显然都满足为锐角， ，且； ③当C与原点重合时，不符合题意， 综上所述，或，且  【解析】求出函数与坐标轴的交点，可直接根据“M函数”的定义进行判断； 当时，，即与y轴交点的纵坐标为c，将代入，即可求出b与c之间的关系； 分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为，则，所以只需满足，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意． 本题为二次函数综合题，主要考查了新定义、二次函数与坐标轴的交点等，解题关键是要有较强的理解能力及在第三问中注意分类讨论思想的运用等． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $