精品解析：四川省凉山州民族中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

凉山州民族中学高2027届高二上十月月考暨半期考试热身练 数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A. x－y＋1＝0 B. x－y＝0 C. x＋y－4＝0 D. x＋y＝0 5. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为的正四面体中，侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（ ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，：，若，则_____. 13. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 14. 已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则实数的值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点． （1）若，求a的值； （2）若与的夹角为，求a的值. 16. 已知，，的平分线所在的直线的方程为． （1）求的中垂线的一般方程； （2）求直线的一般方程． 17. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 18. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州民族中学高2027届高二上十月月考暨半期考试热身练 数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为， 故选：A 3. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设两平行线间的距离为，则. 故选：B 4. 已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A. x－y＋1＝0 B. x－y＝0 C. x＋y－4＝0 D. x＋y＝0 【答案】C 【解析】 【详解】中点，直线斜率，所以直线为， 即，故选C． 5. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解. 【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为， 代入点，得， 解得， 则直线方程为，即， 综上所述直线方程为或， 故选：C. 6. 班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》， 记选修了《数学史》的3人为，其余的2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都选修了《数学史》的有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率为. 故选：A. 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 8. 如图，在棱长为的正四面体中，侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知点在平面的射影为正的重心，结合线面角的定义知侧棱与底面所成角为，并求出的长，即可求出. 【详解】如图，因为四面体为正四面体，所以点在平面的射影为正的重心， 延长交于点，则为的中点，且， 易知平面，因为平面，所以， 所以直线与平面所成角为， 由勾股定理可得， 故，故， 因此侧棱与底面所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根据相互独立事件的定义及公式可得. 【详解】对A选项：由，所以，， 因此，，故A正确； 对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以， 再由概率的加法公式，故B正确； 对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，. 因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立， 所以，故C错误； 对D选项：因与相互独立，所以， 再由概率的加法公式，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】由方向向量定义与斜率关系可判断A错误，根据两直线垂直关系可知时也符合题意，因此B错误，利用直线过定点以及垂直关系可判断C正确，由两点间的斜率公式以及斜率的取值范围可得D正确. 【详解】对于A，当方向向量为时直线的斜率等于，因此A错误， 对于B，当时，两直线为和，此时两直线互相垂直，即充分性成立； 若两直线垂直，当时，两直线分别为和，满足互相垂直，因此必要性不成立，即B错误； 对于C，将直线整理可得， 显然直线恒过定点，当与直线垂直时距离最大， 此时满足，即可得，解得，因此C正确； 对于D，如下图所示： 易知，直线与轴平行， 显然直线必须在至之间，以及至之间才满足题意， 所以可知直线的斜率的取值范围是. 故选：CD 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（ ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知建立空间直角坐标系，应用向量模的坐标表示、线线角、点面距离的定义判断B、C、D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A. 【详解】因为平面，平面， 所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，，故为的中点， 从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 则直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为平面，则点到平面的距离为， 故点到平面的距离为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，：，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定列方程，解方程即可. 【详解】由直线：，：， 因为，可得，即，解得. 故答案为： 13. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到直线的距离计算方法求得正确答案. 【详解】因为，， 所以点P到直线的距离为. 故答案为： 14. 已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则实数的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知直线过点，又直线将分割为面积相等的两部分，则直线必需过中点，得到即可求解． 【详解】， ，即时，， 过定点，即点， 又直线将分割为面积相等的两部分， 所以直线必需过中点， ，解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点． （1）若，求a的值； （2）若与的夹角为，求a的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算、数量积的坐标运算列方程即可求解； （2）由向量数量积的坐标运算列方程即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则． 因为，所以， 所以，即，解得或． 【小问2详解】 由（1）可知，则， ． 因为与的夹角为，所以， 即，所以， 解得或． 16. 已知，，的平分线所在的直线的方程为． （1）求的中垂线的一般方程； （2）求直线的一般方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的中点坐标及，故可得到的中垂线斜率，点斜式求出方程； （2）利用关于的对称点在直线AC上，求出，利用两点式求出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 的中点坐标为， 又，故的中垂线斜率为4， 故的中垂线方程为，即． 【小问2详解】 由对称性可知，关于的对称点在直线上， 故，解得，故， 故直线的方程为，即． 17. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 【答案】（1） （2） 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以，则， 所以， 所以 （3） 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； 计算即可证明； 根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题知： 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）， 设直线和MN所成角为， 又 ， ， 则， 所以和所成的角为 18. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点， 又为的中点，则， 又平面，平面，则平面； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，据此可得，可完成证明； （2）如图做，由题可得平面，连接，则为与平面所成的角，据此可得答案； （3）如图建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，， 则. 【小问3详解】 如图，取CD中点为，连接AH，易得. 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则. ,. 设平面法向量为，则. 令，则，故取. 则点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $