精品解析：黑龙江省哈尔滨市萧红中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

萧红中学2025年秋季学期・期中考试・数学试题 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日常出行中，我们会遇到各种各样的交通标志，这些标志不仅传递着交通规则信息，有些还蕴含着图形的对称之美．请你判断下列萧红中学周边常见的交通标志中，是轴对称图形的是（ ） A. （1）（3） B. （2）（4） C. （2）（3） D. （1）（4） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的概念，判断所给交通标志是否为轴对称图形． 【详解】解：（1）：无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形； （2）：可以沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分完全重合，所以是轴对称图形； （3）：无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形； （4）可以沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分完全重合，所以是轴对称图形． 综上所述，（2）（4）正确． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了指数运算规则（包括同底数幂的加法、乘法和幂的乘方），解题的关键是熟练掌握并准确运用这些指数运算规则． 分别对每个选项依据指数运算规则（同底数幂的加法、乘法、幂的乘方）进行计算，然后与选项给出的结果对比，判断对错． 【详解】， A错误． ， B错误． ， C正确． ， D错误． 故选：C 3. 点关于轴对称点的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为 故选：C． 4. 如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A. 直线和直线的交点不一定在上 B. C. 与面积相等 D. 垂直平分， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． 5. 若，则的值为 （ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 故选B． 6. 已知，点P在的内部，点与点P关于OB对称，点与点P关于OA对称，则O，，三点所构成的三角形是　　 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可知：，，即可判断是等边三角形． 【详解】解：根据轴对称的性质可知， ， 又∵， ∴， 是等边三角形． 故选A． 【点睛】主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质轴对称的性质： 对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 对应线段相等，对应角相等． 7. ，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 8. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ） A. 48° B. 36° C. 30° D. 24° 【答案】A 【解析】 【详解】∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=24°， ∴∠ACF=72°﹣24°=48°， 故选A． 9. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ( ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，有两种可能，第一种顶角是钝角时，第二种，顶角是锐角时，根据题意画出图形，分别讨论即可求解． 【详解】解：如图，有两种可能，第一种顶角是钝角时，因为等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 所以，，， 第二种，顶角是锐角时，因为等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 所以，． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键． 10. 如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ② ③为等边三角形 ④ ⑤平分，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】由，，，可证，可判断①的正误；由，可判断②的正误；证明，则，可证是等边三角形，可判断③的正误；由，可得，可判断④的正误；如图，作于，于，由，，，可得，则平分，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，③正确，故符合要求； ∴， ∴，④正确，故符合要求； 如图，作于，于， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平分，⑤正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 顶角为的等腰三角形的底角______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为36°， ∴两个底角的度数为； 故答案为：． 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式除单项式，先计算积的乘方，然后进行整式除法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为______． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数，由四边形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°． ∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BDE＝∠AFD＝90°． ∵∠AED是△BDE的外角， ∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°， ∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 15. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：6． 16. 如果与的乘积中不含的一次项，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解答本题的关键是明确多项式乘多项式的计算方法．根据多项式乘多项式可以写出题目中两个多项式的乘积，然后根据与的乘积中不含x的一次项，从而可以求得m的值． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ， 解得，， 故答案为：4． 17. 如图，为等腰直角三角形，，以为边向外作等边，则_________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，得到，，进而求出的度数，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵以为边向外作等边， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 18. 如图，已知， 平分，为上任意一点，∥，交OB于D，于E．如果，则PE的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长． 【详解】解：过作于， ，平分， ， ∥， ， ， ， ，∥， ， 在中，， 为角平分线，，， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查：（1）含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握相关性质是解题的关键． 19. 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为___． 【答案】6或4 【解析】 【详解】解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系； 当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系； 故答案为：6或4． 20. 如图，中，，于点，若，，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，在上截取，连接，则垂直平分，得到，进而得到，推出，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练掌握这两种运算法则． （1）根据单项式乘多项式法则，用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加． （2）根据多项式乘多项式法则，用多项式的每一项分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加并合并同类项． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 综上，（1）的结果为；（2）的结果为． 22. 先化简，再求值： (x＋2)(x－2)＋x(4－x)，其中x＝. 【答案】－3. 【解析】 【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式，然后再合并同类项即可对题目中的式子化简，然后将x=代入化简后的式子，即可求得原式的值． 【详解】解：原式＝x2－4＋4x－x2 ＝4x－4. 当x＝时， 原式＝4×－4＝－3. 故答案为－3. 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值. 23. 如图：在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）S△ABC＝　 　． （2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）． （3）写出点A1、B1、C1的坐标．A1　 　，B1　 　，C1　 　． 【答案】(1)7.5 （2）△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1如图所示；     (3) A1（1，5）B1（1，0）C1 （4，3）． 【解析】 【分析】（1）利用△ABC等于底边AB乘以点C到AB的距离列式计算即可得解； （2）根据网格结构找出点A、B、C 关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （3）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【详解】解：（1）S△ABC＝×5×3＝7.5； （2） 略 （3）根据平面直角坐标系可得：A1（1，5）,B1（1，0）,C1（4，3）． 故答案为(1)7.5；(2)见解析；(3) A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）． 【点睛】本题考查利用轴对称变换作图，解题的关键是熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置． 24. 在中，，点是的中点，连接，点在上.连接，. （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，直接写出图中所有等腰三角形. 【答案】 （1）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠CAE， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE； （2）、、、 【解析】 【分析】（1）由条件证明△ABE≌△ACE即可； 【详解】（1） 略 （2）∵∠BEC=2∠BAC，BE=CE， ∴∠BED=2∠BAE， ∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE，∴AE=BE=EC 等腰三角形有：△ABE，△AEC，△ABC，△BEC． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应角、对应边相等）是解题的关键． 25. 为响应哈尔滨市“城市更新行动”及“提升居民生活品质，打造宜居社区”的民生政策，萧红社区积极推进社区广场升级改造工程，对广场阴影区域重新铺砖，规划图的尺寸标注如下（单位：米）． （1）求阴影部分的铺砖面积． （2）若铺每平方米砖的费用是100元，当、时，求所需总费用是多少元？ 【答案】（1）阴影部分的铺砖面积是平方米 （2）490000元 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）通过大长方形面积减去小长方形面积来表示阴影部分面积； （2）将给定的a、b值代入（1）中所得的代数式求出阴影部分面积，再根据每平方米的费用求出总费用． 【小问1详解】 解：（平方米）， 即阴影部分的铺砖面积是平方米． 【小问2详解】 解：当，时，， （元）， 即所需总费用是490000元． 26. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，求划出的的面积是多少？ 【答案】[类比解答]； [拓展延伸]，证明如下： 如图3，延长、交于点，   则， ， ， ， ， 又， ， ， 由[问题情境]可知，，， ； [实际应用]的面积是10 【解析】 【分析】[类比解答]延长交于点，由[问题情境]可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]延长、交于点，证，得，再由[问题情境]可知，，即可得出结论； [实际应用]延长交于，由[问题情境]可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】解：[类比解答] 如图2，延长交于点，    ∵平分，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：； [拓展延伸]略 [实际应用] 如图4，延长交于， 由[问题情境]可知，， ∴，， ， ∵， ， ， 答：的面积是10． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，点B在第一象限，为等边三角形，点P在线段上，且点P不与点B重合，，作于点H，点C在线段上，． （1）求点B的横坐标； （2）过点C作的垂线交线段于点Q，求的长，并直接写出相应的t的取值范围： （3）在（2）的条件下，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，当时，求t的值． 【答案】（1）3 （2）， （3）或2 【解析】 【分析】（1）是等边三角形，过点B作轴于点D，根据等边三角形三线合一可知点D为中点，由可知的长度，即为点B的横坐标； （2）根据题意画出对应的图象，由是等边三角形得出，，再由，，根据直角三角形中对边是斜边一半得到，根据，，得到的长度，同理根据直角三角形中对边是斜边一半得到的长度，由于P不与B重合，，得出t的取值范围； （3）根据题意分情况讨论：当点Q在点P上方时和点Q在点P下方时，根据题意作出对应的图象，利用全等三角形的判定与性质及平行线的性质得出t的值． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∵点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点B的横坐标为3． 【小问2详解】 解：由题意知，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，当Q在P上方时，作交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴； ②如图，当点Q在点P的下方时，作交于点F， 同理可证得：， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或2． 【点睛】本题以等边三角形为核心，综合直角三角形性质、全等三角形、旋转及分类讨论，考查几何图形中线段关系的推导与计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学2025年秋季学期・期中考试・数学试题 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日常出行中，我们会遇到各种各样的交通标志，这些标志不仅传递着交通规则信息，有些还蕴含着图形的对称之美．请你判断下列萧红中学周边常见的交通标志中，是轴对称图形的是（ ） A. （1）（3） B. （2）（4） C. （2）（3） D. （1）（4） 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称点的坐标是(　　) A. B. C. D. 4. 如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A. 直线和直线的交点不一定在上 B. C. 与面积相等 D. 垂直平分， 5. 若，则的值为 （ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 6. 已知，点P在的内部，点与点P关于OB对称，点与点P关于OA对称，则O，，三点所构成的三角形是　　 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 7. ，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ） A. 48° B. 36° C. 30° D. 24° 9. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ( ) A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ② ③为等边三角形 ④ ⑤平分，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算：_____． 12. 顶角为的等腰三角形的底角______． 13. 计算：_____． 14. 如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为______． 15. 若，则_______． 16. 如果与的乘积中不含的一次项，则的值为________． 17. 如图，为等腰直角三角形，，以为边向外作等边，则_________． 18. 如图，已知， 平分，为上任意一点，∥，交OB于D，于E．如果，则PE的长为______cm． 19. 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为___． 20. 如图，中，，于点，若，，则________． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值： (x＋2)(x－2)＋x(4－x)，其中x＝. 23. 如图：在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）S△ABC＝　 　． （2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）． （3）写出点A1、B1、C1的坐标．A1　 　，B1　 　，C1　 　． 24. 在中，，点是的中点，连接，点在上.连接，. （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，直接写出图中所有等腰三角形. 25. 为响应哈尔滨市“城市更新行动”及“提升居民生活品质，打造宜居社区”的民生政策，萧红社区积极推进社区广场升级改造工程，对广场阴影区域重新铺砖，规划图的尺寸标注如下（单位：米）． （1）求阴影部分的铺砖面积． （2）若铺每平方米砖的费用是100元，当、时，求所需总费用是多少元？ 26. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，求划出的的面积是多少？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，点B在第一象限，为等边三角形，点P在线段上，且点P不与点B重合，，作于点H，点C在线段上，． （1）求点B的横坐标； （2）过点C作的垂线交线段于点Q，求的长，并直接写出相应的t的取值范围： （3）在（2）的条件下，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，当时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $