期中考前满分冲刺之基础常考题-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、无理数的认识与个数(选、填) 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D．3.14 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 根据无理数的定义，逐一判断各选项． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式。 A. 0是整数，可写为，是有理数； B. 是分数，是有理数； C. 是开方开不尽的数，其小数形式无限不循环，是无理数； D. 3.14是有限小数，可写为，是有理数． 故选：C． 2．实数，，0，，1.010010001…中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 根据无理数的定义，判断所给实数中哪些是无理数，统计个数后选择答案． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．是开方开不尽的数，是无理数；中是无限不循环小数，所以是无理数；是无限不循环小数，是无理数；是整数，是有理数；是分数，是有理数． 所以无理数有，，，共个． 故选：C． 3．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0.12122 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，注意有理数包括整数、有限小数和循环小数．根据无理数的定义（无限不循环小数或不能表示为两个整数之比的数），逐一判断各选项． 【详解】∵ 无理数是指无限不循环小数或不能表示为分数的数； A．，为整数，是有理数； B．是分数形式，是有理数； C．0.12122是有限小数，是有理数； D．π是无理数，除以3后仍为无理数； 故选：D． 4．在1，，，0，，，，，中，是无理数的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的定义，根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，对每个数字逐一分析判断即可． 【详解】解：无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 5．在3.14，，，（圆周率），1.2222，中，是无理数的是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．先分别判断每个数是有理数还是无理数，有理数包括整数、有限小数、无限循环小数以及分数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：，，是有限小数，是有限小数，是分数，这些都是有理数；是无限不循环小数，是无理数． 故答案为： 6．写出两个无理数，使它们的和为0， ． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．写出互为相反数的两个无理数即可满足题意． 【详解】解： 为无理数，也为无理数， 且， 故答案为：和（答案不唯一） 类型二、关于对称的点的坐标(选、填) 1．点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质．关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：C 2．与点关于y轴对称的点是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直接应用关于y轴对称的点的坐标变化规律，掌握知识点是解题的关键．关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点为． 故选：A． 3．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”的坐标为，“马”的坐标为，则“帅”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据坐标建立平面直角坐标系，求坐标． 根据“兵”的坐标为，“马”的坐标为建立平面直角坐标系，即可得到“帅”的坐标． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 可知“帅”的坐标为． 故选：A． 4．已知点和点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n的值，再代入代数式求值，即可作答． 【详解】∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为： 6．已知平面直角坐标系中的点和点关于轴对称，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，求得a、b的值是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的横坐标相等、纵坐标互为相反数确定a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为12． 类型三、勾股数与直角三角形的条件(选、填) 1．下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A项：，， ∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B项：，， ∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C项：，， ∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故符合题意； D项：，， ∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 3．满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题关键． 分别根据直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理进行逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则， 由三角形内角和得， ∴，则为直角三角形，不符合题意； B、若，则最大的角，则为不是直角三角形，符合题意； C、若， 设，，， ∵，则为直角三角形，不符合题意； D、若，则，则为直角三角形，不符合题意； 故选：B． 4．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 5．在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件能判断是直角三角形的是 ． ①；②；③；④，， 【答案】①②③ 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④． 【详解】解：①，结合内角和得， 由，解得， ∴为直角三角形； ②，则最大角， ∴为直角三角形； ③，展开得，即， ∴为直角三角形； ④，，，∵， ∴， ∴不能构成三角形； 综上，能判断是直角三角形的是①②③． 故答案为：①②③． 6．若的三条边a，b，c满足，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义与非负数的性质． 根据非负数的性质求出，且，进而判断出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 类型四、最简(同类)二次根式(选、填) 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有分母或能开得尽方的因数，选项A和B的被开方数含有分数或小数，选项D能够化简，只有选项C满足条件． 【详解】解：∵ 最简二次根式要求被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数． A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，准确判断是解题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数），逐一判断各选项． 【详解】选项中， = ，被开方数含分母，不是最简； 选项中，，可化简为整数，不是最简； 选项中，，可化简，不是最简； 选项中，，被开方数7是质数，无平方因数，是最简二次根式； 故选． 3．已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简，解题的关键在于正确掌握同类二次根式定义． 根据同类二次根式需化简后根号内部分相同．先将化简为，则需可化为（k为正整数）形式，即m需为3乘以一个完全平方数．求m的最小值，即取最小完全平方数1，进而即可得到m的最小值． 【详解】解：∵， ∴ 化简后根号内部分为3． ∵ 与是同类二次根式， ∴ 可化为（k为正整数），即． 当时，为最小值． ∴ m的最小值为3． 故选：B． 4．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，得出，解方程即可得解，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 解得：， 故答案为． 5．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 6．若最简二次方根式与可以合并，则 ， ，的值为 ． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 类型五、位置描述(选、填) 1．根据下列表述，能够确定位置的是（   ） A．某市位于北纬，东经 B．一只风筝飞到距A处15米处 C．甲地在乙地的正北方向上 D．影院座位位于一楼三排 【答案】A 【分析】题目主要考查坐标位置的确定，理解题意，明确一个位置需要两个条件是解题关键． 根据平面内确定位置需要两个有序数据（如坐标或距离和方向）的原则，判断各选项是否满足条件． 【详解】解：A、提供纬度和经度两个数据，∴ 能唯一确定位置； B、只有距离无方向，∴ 不能确定位置； C、只有方向无距离，∴ 不能确定位置； D、只有排无具体座位号，∴ 不能确定位置， 故选：A． 2．明明在教室里坐在第4列第3行，他的位置用数对表示．笑笑坐在明明的正后方，她的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数对和位置的表示．根据题意可知用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可解答． 【详解】解：明明在教室里坐在第4列第3行，他的位置用数对表示， 笑笑坐在明明的正后方，她的位置用数对表示． 故选：B． 3．根据下列表述，能确定具体位置的是 （   ） A．东岗东路北侧 B．甘肃省兰州市 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【详解】解：、东岗东路北侧，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 、甘肃省兰州市，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 、北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； 、南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意， 故选：． 4．2025年春节期间，动画电影《哪吒2》在各大影院热映．某影院规定，座位的位置采用“排数，座数”的形式来记录，例如5排7座记作为．按照这个规则，10排2座应记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．根据题意即可求解． 【详解】解：由题意得，10排2座应记为． 故答案为：． 5．如图，长方形，点和点的位置用数对表示分别是、，那么点的位置用数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有序数对．根据有序数对的表示方法解答即可． 【详解】解：∵点和点的位置用数对表示分别是、， ∴点的位置用数对表示为． 故答案为：． 6．如果用有序数对表示第一单元号的住户，那么第二单元号的住户用有序数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有序数对表示位置；由题意知第个数字表示单元，第个数字表示号数，据此可得． 【详解】解：若用有序数对表示第一单元号的住户，那么第二单元号的住户用有序数对表示为， 故答案为：． 类型六、二次根式的非负性与有意义(选、填) 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：D． 2．若，则的值是（   ） A．5 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出的值，是解答本题的关键． 利用二次根式有意义的条件，得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．若x、y均为实数，且，求的平方根（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的定义．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，代入原方程中求出y的值，再代入求出其值，最后根据平方根的定义求出的平方根． 【详解】解：由题意知，要使和存在有意义，需满足： ， ∴， 将代入原方程：， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 故选：A． 4．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数必须大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 5．如果都是二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性． 根据二次根式有意义的条件得到，再代入计算即可． 【详解】解：都是二次根式， ， 解得：， ． 故答案为：． 6．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和代数式求值，先根据二次根式的被开方数为非负数求出的值，再代入求出，最后求即可． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数， ， ， 将代入中，得， ∴． 故答案为：． 类型七、正比例、一次函数的图象与性质(选、填、解) 1．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上，则，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点在函数图象上， ∴， ∴． 故选：D． 2．下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征.理解一次函数图像上的点的坐标一定满足关系式是解答关键． 通过将各点的坐标代入直线方程 ，计算对应的值，并与点的坐标比较，判断点是否在直线上． 【详解】解： A、时，，在直线上，故此项符合题意； B、时，，不在直线上，故此项不符合题意； C、时，，不在直线上，故此项不符合题意； D、时，，不在直线上，故此项不符合题意. 故选：A． 3．已知函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为（其中），因此指数必须为 1 且系数不为零，由此计算即可得解，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， 解得， 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系是解题的关键． 把代入即可得到，代入即可求解． 【详解】解：∵直线过点 ∴      则： ∴ 故答案为：. 5．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 6．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，求一次函数的函数值和自变量的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中，求出y的值即可得到答案； （3）把代入（1）所求的函数解析式中，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，； （3）解：在中，当时，， 解得． 类型八、二次根式的运算(选、填、解) 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的运算规则，包括乘除、加法和乘方，需根据基本性质判断各选项是否正确． 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，计算，故C错误； 对于选项D： ，故D正确． 故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知运算法则是解题的关键．根据算术平方根的定义和二次根式的运算法则，逐一计算或比较各选项，判断其正确性即可． 【详解】对于A：∵，∴ A错误； 对于B：∵不可合并，且，∴ B错误； 对于C：∵，∴ C错误； 对于D：∵，∴D正确． 故选：D． 3．计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．利用平方差公式可得原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 4． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法． 直接根据二次根式的减法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：． 5．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用乘法分配律求解即可； （2）先利用二次根式的性质化简各项，再加减求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 6．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先由二次根式乘除运算计算，再由二次根式性质化简，最后根据有理数减法运算计算即可得到答案； （3）先由完全平方差公式、平方差公式计算，再由二次根式加减运算法则计算即可得到答案； （4）先由二次根式性质化简、、绝对值运算计算，再计算二次根式乘法，最后由二次根式加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则、有理数减法运算、完全平方差公式、平方差公式、、计算绝对值等知识，熟练掌握二次根式相关运算法则是解决问题的关键． 类型九、(算术)平方根与立方根(选、填、解) 1．下列说法正确的是（   ） A．9的立方根为3 B．9开平方后的结果是3 C．是9的平方根 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根．正数的立方根是正数，正数的平方根有两个，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、9的立方根为，故该选项不符合题意； B、9开平方后的结果是，故该选项不符合题意； C、是9的平方根，故该选项符合题意； D、0有平方根，且为0，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列结论正确的是（   ） A． B．立方根等于本身的数只有0 C．4的立方根是 D．9的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，根据平方根和立方根的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A、 ，故 A错误； B 、立方根等于本身的数有0、1和，故B错误； C、4的立方根是，不是，故C错误； D、，，则9的平方根是，故D正确． 故选：D． 3．的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 4．已知：9的平方根是a，27的立方根是，则 ． 【答案】0或6 【分析】此题考查了平方根和立方根，代数式求值， 根据平方根和立方根的定义，分别求出a和b，再计算． 【详解】∵9的平方根是a，27的立方根是， ∴， ∴或． 故答案为：6或0． 5．已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）当，时，， ∴的立方根为3． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ∴， 解得：． 类型十、网格作图(解) 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点． (1)在图中画一个三角形，使其三边长分别为，，． (2)计算（1）中三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确应用勾股定理是解题的关键． （1）利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）解：，， 如图，，，即为所求； （2）解： ． 2．如图所示，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是1． (1)请在网格图1中画出一个斜边为的直角三角形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出它的面积________． (2)请在网格图2画出一个边长为无理数的正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出它的面积__________． (3)请在网格图3中画出一个三边长分别为的三角形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出它的面积_________． 【答案】(1)见解析，1 (2)见解析，5 (3)见解析，6 【分析】本题主要考查了勾股定理，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）画一个直角三角形，使其两直角边的长分别为1和2即可满足题意，再求出该直角三角形的面积即可； （2）结合勾股定理的证明方法，用四个全等的直角三角形（两直角边的长分别为1和2）和1个边长为1的正方形可围成一个边长为的正方形，再利用网格的特点求出对应的面积即可； （3）画一个底边为4，底边上的高为3的三角形即可满足题意，再求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由网格的特点可知，该直角三角形的两直角边的长分别为1和2，则斜边长为，且面积为； （2）解：如图所示，即为所求； 正方形的边长为， 正方形的面积为； （3）解：如图所示，即为所求，其面积为． 3．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 【答案】(1)； (2)①；②见详解． 【分析】该题考查了勾股定理． （1）利用勾股定理，求解即可． （2）①利用勾股定理求解即可． ②利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 因为，所以． （2）解：①，所以． ②如图2中，线段即为所求作． 4．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴成轴对称的，三个顶点坐标分别为 ， ， (2)点在轴上，且，点的坐标为 (3)在轴上求一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析， (2)或 (3) 【分析】本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、一次函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作出、、关于轴的对称点、、即可得到坐标； （2）存在．设，分两种情况进行讨论当点在直线的下方时或当点在直线的上方时，利用作为等量关系构建方程即可解决问题； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，求出直线解析式，然后求其与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示； 故答案为：，，； （2）解：存在，设， ①如图，当点在直线的上方时， ， ， 解得， ； ②如图，当点在直线的下方时， ， ， 解得， ． 综上所述，点的坐标为或． （3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，此时点的坐标是， 设解析式为，代入，， ， 解得， ∴解析式为， 令得，， 解得， ∴． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点C关于轴的对称点的坐标______； (3)点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出答案； （2）根据关于轴对称点的性质得出关于点C关于轴的对称点的坐标； （3）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：点C关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图所示：连接交轴于点，此时的周长最小． 点的坐标为． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)，，； (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，割补法求三角形面积，熟悉掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象写出坐标即可； （3）利用割补法运算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：由（1）图象可得：，，； （3）解：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、无理数的认识与个数(选、填) 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D．3.14 2．实数，，0，，1.010010001…中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0.12122 D． 4．在1，，，0，，，，，中，是无理数的有 个． 5．在3.14，，，（圆周率），1.2222，中，是无理数的是 ； 6．写出两个无理数，使它们的和为0， ． 类型二、关于对称的点的坐标(选、填) 1．点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．与点关于y轴对称的点是(　　) A． B． C． D． 3．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”的坐标为，“马”的坐标为，则“帅”的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知点和点关于轴对称，则的值为 ． 5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 6．已知平面直角坐标系中的点和点关于轴对称，则 ． 类型三、勾股数与直角三角形的条件(选、填) 1．下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 5．在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件能判断是直角三角形的是 ． ①；②；③；④，， 6．若的三条边a，b，c满足，则是 三角形． 类型四、最简(同类)二次根式(选、填) 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A．​ B．​ C．​ D．​ 3．已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 4．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 5．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 6．若最简二次方根式与可以合并，则 ， ，的值为 ． 类型五、位置描述(选、填) 1．根据下列表述，能够确定位置的是（   ） A．某市位于北纬，东经 B．一只风筝飞到距A处15米处 C．甲地在乙地的正北方向上 D．影院座位位于一楼三排 2．明明在教室里坐在第4列第3行，他的位置用数对表示．笑笑坐在明明的正后方，她的位置是（   ） A． B． C． D． 3．根据下列表述，能确定具体位置的是 （   ） A．东岗东路北侧 B．甘肃省兰州市 C．北纬，东经 D．南偏西 4．2025年春节期间，动画电影《哪吒2》在各大影院热映．某影院规定，座位的位置采用“排数，座数”的形式来记录，例如5排7座记作为．按照这个规则，10排2座应记为 ． 5．如图，长方形，点和点的位置用数对表示分别是、，那么点的位置用数对表示为 ． 6．如果用有序数对表示第一单元号的住户，那么第二单元号的住户用有序数对表示为 ． 类型六、二次根式的非负性与有意义(选、填) 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（   ） A．5 B．1 C． D．2 3．若x、y均为实数，且，求的平方根（   ）． A． B． C． D． 4．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 5．如果都是二次根式，则 ． 6．如果，那么 ． 类型七、正比例、一次函数的图象与性质(选、填、解) 1．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B． C．3 D．5 2．下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是正比例函数，则 ． 4．在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为 ． 5．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 6．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 类型八、二次根式的运算(选、填、解) 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果为 ． 4． ． 5．计算 (1) (2) 6．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型九、(算术)平方根与立方根(选、填、解) 1．下列说法正确的是（   ） A．9的立方根为3 B．9开平方后的结果是3 C．是9的平方根 D．0没有平方根 2．下列结论正确的是（   ） A． B．立方根等于本身的数只有0 C．4的立方根是 D．9的平方根是 3．的立方根是 ． 4．已知：9的平方根是a，27的立方根是，则 ． 5．已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 6．解方程： (1)； (2)． 类型十、网格作图(解) 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点． (1)在图中画一个三角形，使其三边长分别为，，． (2)计算（1）中三角形的面积． 2．如图所示，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是1． (1)请在网格图1中画出一个斜边为的直角三角形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出它的面积________． (2)请在网格图2画出一个边长为无理数的正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出它的面积__________． (3)请在网格图3中画出一个三边长分别为的三角形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出它的面积_________． 3．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 4．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴成轴对称的，三个顶点坐标分别为 ， ， (2)点在轴上，且，点的坐标为 (3)在轴上求一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点C关于轴的对称点的坐标______； (3)点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 6．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $