第十五章 轴对称单元复习（全章知识点总结+15种题型举一反三）2025-2026学年人教版数学八年级上册专题复习

第十五章 轴对称 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.轴对称与轴对称图形 轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这条直线叫对称轴（一个图形）。 轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够重合，这条直线叫对称轴，对应点的连线被对称轴垂直平分（两个图形的关系）。 性质：对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分对应点的连线。 2.线段垂直平分线 定义：经过线段中点且垂直于线段的直线。 性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等()。 判定：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形(相等的边为腰，第三边为底)。 性质：①等边对等角()；②三线合一(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合)；③轴对称图形(1条对称轴)。 判定：①定义法(两边相等)；②等角对等边()。 4.等边三角形 定义：三边都相等的三角形。 性质：①三边相等、三角均为；②三线合一(每条边都满足)；③3条对称轴。 判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角是的等腰三角形。 5.含角的直角三角形 性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半(，)。 6.坐标与轴对称 点关于轴对称：(横不变，纵变号)。 点关于轴对称：(纵不变，横变号)。 7.最短路径问题 将军饮马：同侧两点→作对称点→转化为异侧两点连线(线段最短)。 造桥选址：平移点→使桥长固定→转化为两点连线。 二、重难点突破 1.重点 等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”的应用。 线段垂直平分线的性质与判定。 最短路径问题的建模(对称、平移转化)。 2.难点 等腰三角形的分类讨论(边、角、高的位置)。 手拉手模型中全等的证明与角度、线段关系推导。 最短路径问题中对称点的选取与转化思想应用。 三、高频易错点警示 1.概念混淆：误将“轴对称图形”(一个图形)与“轴对称”(两个图形)等同。 2.分类遗漏：等腰三角形未考虑腰与底、顶角与底角的不同情况，导致漏解。 3.性质误用：①非直角三角形套用“含角的直角三角形性质”；②线段垂直平分线未验证“垂直平分”条件直接套用。 4.坐标记错：混淆轴、轴对称的坐标变化规律。 5.建模错误：最短路径问题中对称点选取错误(如同侧两点未找对称点)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】轴对称图形的识别 1.核心知识点总结 关键：判断图形是否沿某条直线折叠后两侧重合，对称轴为直线。 常见图形：等腰三角形(1条)、等边三角形(3条)、正方形(4条)、圆(无数条)。 2.高频考点梳理 识别给定图形是否为轴对称图形。 确定轴对称图形的对称轴条数。 3.易错点警示 误将对称轴当作“线段/射线”；遗漏多对称轴图形的部分对称轴。 4.解题技巧拆解 折叠验证法：想象沿直线折叠，观察两侧是否完全重合。 特征记忆法：牢记常见图形的对称轴数量与位置。 【例题1】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在以下四个标志中，轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·北京·期中）近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】轴对称的性质应用 1.核心知识点总结 核心性质：对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分对应点连线。 2.高频考点梳理 利用对应边、角相等求未知边/角。 作两个成轴对称图形的对称轴。 3.易错点警示 误认为“全等”一定“成轴对称”；作对称轴时未连接对应点。 4.解题技巧拆解 找对应点：先确定对应顶点，再推导边、角关系。 对称轴作法：连接一组对应点，作其垂直平分线。 【例题2】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，与关于直线成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 【变式题2-1】．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，与关于直线对称，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为 【变式题2-3】．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与面积相等 D．直线的交点不一定在上 【题型3】线段垂直平分线的性质与判定 1.核心知识点总结 性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等()。 判定：到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上。 2.高频考点梳理 利用性质求线段长度、角度；利用判定证明直线为垂直平分线。 3.易错点警示 忽略“垂直平分”条件直接套用性质；仅一个点到两端距离相等就判定垂直平分线。 4.解题技巧拆解 性质应用：先找“垂直平分线”，再得“距离相等”。 判定应用：找两个满足条件的点，两点连线即为垂直平分线。 【例题3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点．，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式题3-1】．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·天津河东·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点、，连接．若，，则的长为 ． 【题型4】等腰三角形的角度计算 1.核心知识点总结 关键性质：等边对等角、三角形内角和。 2.高频考点梳理 已知顶角求底角：底角。 已知底角求顶角：顶角底角。 3.易错点警示 计算后未验证内角和是否为。 4.解题技巧拆解 标等量关系：先标出相等的边，再对应标出相等的角。 方程法：设未知角为，列方程求解。 【例题4】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）已知：如图，，． (1)求证：； (2)连接，若，，则______． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是 ． 【变式题4-2】．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如果等腰三角形的其中一个角为，那么它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型5】等腰三角形的边长计算 1.核心知识点总结 核心：两腰相等，且满足三角形三边关系(两边之和>第三边)。 2.高频考点梳理 已知两边求第三边；已知周长和一边求另外两边。 3.易错点警示 未分类讨论腰与底的情况；未验证三边关系导致无效解。 4.解题技巧拆解 分类讨论：分已知边为腰或底两种情况。 验证取舍：每种情况均需满足三边关系，不满足则舍去。 【例题5】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，垂直平分垂直平分，若，则 ． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．18 【变式题5-3】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，为内一点，连接，且平分，连接，延长交于点，若，则的长为（） A．4 B． C．5 D．7 【题型6】坐标与轴对称 1.核心知识点总结 轴对称：；轴对称：。 2.高频考点梳理 求已知点的对称点坐标；已知对称点坐标求原坐标。 3.易错点警示 混淆轴、轴对称的坐标变化规律；符号错误。 4.解题技巧拆解 口诀记忆：“轴对称横不变纵变号，轴对称纵不变横变号”。 反向推导：已知对称点，反向应用规律求原坐标。 【例题6】．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知和直线（直线上各点的横坐标都为2）． (1)画出关于直线的对称图形； (2)若点在内部，、关于轴对称，则的坐标是______； (3)请通过画图直接在直线上找一点，使得最小，标出点位置，不写作法； (4)在得到（3）中结论的基础上，直接写出点的坐标． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于轴对称的图形（点A、B、C的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下写出点、的坐标． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的并写出的坐标为______； (2)画出的中线； (3)在上找一点，使得； (4)已知点是轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的点有______个． 【题型7】等腰三角形的分类讨论(提升) 1.核心知识点总结 分类维度：边(腰/底)、角(顶角/底角)、高的位置(形内/形外)。 2.高频考点梳理 已知一边/一角，求另外两边/两角；涉及高的长度计算。 3.易错点警示 分类不完整(如已知锐角未考虑顶角/底角)；未验证三边关系/内角和。 4.解题技巧拆解 明确分类标准：先确定维度，再逐一讨论。 验证步骤：每种情况均需满足“内角和”“三边关系”。 【例题7】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，能围成有一边长为的等腰三角形吗？若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）等腰三角形的一个内角为，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（    ）． A． B． C．或 D．或 【变式题7-2】．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图，已知，P是射线上的一动点，则当 ．时，为等腰三角形． 【变式题7-3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为 °． 【题型8】线段垂直平分线与等腰三角形综合(提升) 1.核心知识点总结 关键联系：垂直平分线→→为等腰三角形；等腰三角形底边的垂直平分线过顶角顶点。 2.高频考点梳理 证明等腰三角形；综合性质求线段长度、角度。 3.易错点警示 循环论证；混淆“等腰三角形的腰/底”对应的垂直平分线。 4.解题技巧拆解 构造辅助线：连接垂直平分线上的点与线段两端，构造等腰三角形。 转化思想：将线段关系转化为等腰三角形的边、角关系。 【例题8】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长为 ． 【变式题8-1】．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【变式题8-2】．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则______； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条特异线． 【变式题8-3】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： (1)如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：，， ___________① ，， ， 为底边的中点， ___________② 在和中 （___________④） ． 【题型9】最短路径问题(基础型)(提升) 1.核心知识点总结 模型：将军饮马(直线同侧两点)；转化思想：同侧→异侧(找对称点)。 2.高频考点梳理 求同侧两点到直线上一点的距离和最小值；确定饮马点位置。 3.易错点警示 未找对称点直接连接同侧两点；对称点找错。 4.解题技巧拆解 步骤：①找一个点关于直线的对称点；②连接对称点与另一点，交直线于；③为所求，线段长度为最小值。 【例题9】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分，，点P，Q分别为边，上的动点，连接，，则的最小值为 ．    【变式题9-1】．（25-26八年级上·北京·阶段练习）如图所示，在等边中，E是边的中点，于点D，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是 cm． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在等腰中，，垂直平分，为上的动点，为上一动点，若．等腰的面积为8．则的最小值为 ． 【题型10】镜面对称问题(提升) 1.核心知识点总结 本质：竖直直线的轴对称(左右相反，上下不变)；时钟镜面：实际时间镜面时间。 2.高频考点梳理 求数字/字母的镜面对称图形；求时钟镜面显示的实际时间。 3.易错点警示 时钟计算忽略分钟进位(如镜面→实际)；数字对称混淆(如“2”对应“5”)。 4.解题技巧拆解 数字/字母：画竖直对称轴，左右翻转找对称图形。 时钟：①画对称时钟读取；②减镜面时间(借位计算)。 【例题10】．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【变式题10-1】．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式题10-2】．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【题型11】手拉手模型综合应用(培优) 1.核心知识点总结 模型：两个等腰(等边)三角形共顶点→构造全等三角形(SAS)。 常见结论：①对应边相等()；②夹角顶角()；③角平分线(平分)。 2.高频考点梳理 证明线段/角度相等；推导线段夹角、角平分线。 3.易错点警示 全等条件找错(未利用“共顶点+顶角相等”)；夹角推导遗漏“8字模型”。 4.解题技巧拆解 找共顶点：确定公共顶点，识别相等的腰与顶角。 证全等：用证明(腰相等，夹角公共角+顶角相等)。 推结论：由全等得对应边、角，结合内角和推导。 【例题11】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【变式题11-1】．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且 ，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，， ，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题发现】 （1）如图1，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，，则与之间的数量关系为_____________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，当是等边三角形时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，小王在屋外空地规划一个四边形花园，为一条小路（路宽忽略不计），为一条灌溉水渠，其中，，米，米，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，根据设计要求，要使灌溉水渠尽可能的长，求出的最大长度及此时的度数． 【题型12】最短路径问题(拓展型)(培优) 1.核心知识点总结 拓展模型：①两直线+一点()；②造桥选址；③三角形内最短周长。 转化思想：平移、多次对称，将折线转化为直线。 2.高频考点梳理 两直线+一点：作两次对称；造桥选址：平移点；三角形内最短周长：作对称点。 3.易错点警示 造桥选址平移方向错误；多直线问题未作多次对称。 4.解题技巧拆解 两直线+一点：作关于的对称点、关于的对称点，连接交于、于。 造桥选址：平移到(桥长)，连接交河岸于，作河岸。 【例题12】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【变式题12-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【变式题12-3】．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【题型13】等腰三角形与全等三角形综合(培优) 1.核心知识点总结 综合逻辑：等腰性质→边/角相等→全等判定→全等结论→进一步推导。 2.高频考点梳理 证明线段/角度相等；求线段长度、三角形周长；折叠问题。 3.易错点警示 构造辅助线错误；全等条件不足(仅凭等腰边、角相等)。 4.解题技巧拆解 辅助线：等腰三角形作底边高(三线合一)；延长线段构造全等(倍长中线)。 逻辑链：先利用等腰性质得边/角相等，再验证全等条件，最后推导结论。 【例题13】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M．求证∶ (1)； (2)M是的中点． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【变式题13-2】．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，P，F分别是边，边上的点，作于点D，于点E，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点，的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等．点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，两点都按顺时针方向沿的三边运动．经过30秒，点与点第一次相遇，求点的运动速度． 【题型14】含角的直角三角形综合应用(培优) 1.核心知识点总结 核心性质：直角三角形中，角对的直角边斜边；逆定理：直角边斜边→对角。 2.高频考点梳理 求线段长度(倍分关系)；证明线段倍分；角度计算。 3.易错点警示 非直角三角形套用该性质；混淆“对边/邻边”。 4.解题技巧拆解 识别模型：先判断直角三角形，再找角或倍分边。 构造直角：已知角作高；已知倍分边证明直角。 【例题14】．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在 中， 过点A作射线，使 作点C关于直线的对称点E， 连接交射线于点 F， 连接． (1)求证：； (2)求证： 【变式题14-1】．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，平分，，，于点． (1)求证：； (2)若，求的长 ． 【变式题14-2】．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，平分于，连接，交于点． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，求的长． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·青海海东·期中）如图（1），点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点，同时从顶点，出发向点、运动，且它们的速度都为． (1)【思考研究】连接，交于点，求证：； (2)【解决问题】连接，何时是直角三角形？ (3)【拓展延伸】如图（2），若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为，则的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，直接写出它的度数． 【题型15】等腰三角形折叠问题综合（培优） 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后全等（对应边、角相等）；对称轴为对应点连线的垂直平分线。 2.高频考点梳理 求线段长度、角度；证明线段相等、垂直；判断三角形形状。 3.易错点警示 对应边/角找错；忽略折叠后点的位置（形内/形外）。 4.解题技巧拆解 标对应关系：折叠后用相同符号标注对应边、角。 辅助线：连接对应点，作对称轴；列方程：设未知边为，结合勾股定理求解。 【例题15】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）折纸，常常能为证明提供思路和方法． (1)如图①，在△ABC中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB边的点D处，如图②所示，然后把纸展平，连接DE，可以推出 （填“>”或“<”或“=”） (2)如图3，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，连接HD，得到． ①求证：是等边三角形．②求的度数． (3)如图4，在中，，，D是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【变式题15-1】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则 度，若，则 度，直接写出与的关系式 （用含有的式子表示） 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 度． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·北京西城·期中）2000多年前，古希腊几何提出“仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角”的著名问题，该问题直到1837年才由法国数学家旺策尔证明为不可能．尽管尺规无法实现，但借助折纸可以完成，以下为用正方形纸片三等分锐角的操作步骤． ①如图1，在上任取一点，过，两点折叠，折痕为，得到锐角，下面三等分这个锐角； ②如图2，在上任取一点，将向上翻折，使点与点重合．此时将点的对应点记为点，折痕记为，然后展开纸片； ③如图3，折叠纸片，使点，点分别落在，上，点，点，点的对应点分别记为点，点，点，折痕记为，与交于点； ④展开纸片，作射线，；则，即为的三等分线． 证明过程如下： (1)先证．请把下面的证明过程补充完整． 由题知，垂直平分． ， ________． 垂直平分， ________．（________） ．（________） ． (2)再证．请完成证明． 综上所述，，即，为的三等分线． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图所示，下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（   ） A．4 B．6 C．4或12 D．6或12 3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，则 ． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰三角形中，，是边上一点，，连接，那么的大小是 8．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为 ． 9．（25-26八年级上·北京·期中）在中，，，点D是射线上不与A，B重合的点，连接，若，则的度数是 ． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，于，且，若，则 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形顶点上． (1)在图中画出与关于直线MN成轴对称的． (2)在直线上画一点P．使．（在图中标出点P，保留画图痕迹，不写画法） 12．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知D是等边三角形中边上一点（不与点A重合，且满足），点B关于直线的对称点为点E．连接，延长交直线于点F． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，连接，当点D在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）八年级1班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图（1），是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：______； 【理解与应用】 （2）如图（2），是的中线，若，，设，则x的取值范围是______； （3）如图（3），在中，是的中线，点F在中线上，连接并延长交于点E，且．求证：． 15．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）利用轴对称的性质可以方便地解决一些数学问题，如图，在中，，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点，则 由此，我们可以得到，在一个三角形中，大边所对的角较大．类似的，应用这种方法，解决下面的问题： 在四边形中，点是边的中点． (1)如图，若平分，则线段，，的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． (2)如图，平分，平分，若，则线段，，，的长度满足怎样的数量关系？（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.轴对称与轴对称图形 轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这条直线叫对称轴（一个图形）。 轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够重合，这条直线叫对称轴，对应点的连线被对称轴垂直平分（两个图形的关系）。 性质：对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分对应点的连线。 2.线段垂直平分线 定义：经过线段中点且垂直于线段的直线。 性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等()。 判定：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形(相等的边为腰，第三边为底)。 性质：①等边对等角()；②三线合一(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合)；③轴对称图形(1条对称轴)。 判定：①定义法(两边相等)；②等角对等边()。 4.等边三角形 定义：三边都相等的三角形。 性质：①三边相等、三角均为；②三线合一(每条边都满足)；③3条对称轴。 判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角是的等腰三角形。 5.含角的直角三角形 性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半(，)。 6.坐标与轴对称 点关于轴对称：(横不变，纵变号)。 点关于轴对称：(纵不变，横变号)。 7.最短路径问题 将军饮马：同侧两点→作对称点→转化为异侧两点连线(线段最短)。 造桥选址：平移点→使桥长固定→转化为两点连线。 二、重难点突破 1.重点 等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”的应用。 线段垂直平分线的性质与判定。 最短路径问题的建模(对称、平移转化)。 2.难点 等腰三角形的分类讨论(边、角、高的位置)。 手拉手模型中全等的证明与角度、线段关系推导。 最短路径问题中对称点的选取与转化思想应用。 三、高频易错点警示 1.概念混淆：误将“轴对称图形”(一个图形)与“轴对称”(两个图形)等同。 2.分类遗漏：等腰三角形未考虑腰与底、顶角与底角的不同情况，导致漏解。 3.性质误用：①非直角三角形套用“含角的直角三角形性质”；②线段垂直平分线未验证“垂直平分”条件直接套用。 4.坐标记错：混淆轴、轴对称的坐标变化规律。 5.建模错误：最短路径问题中对称点选取错误(如同侧两点未找对称点)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】轴对称图形的识别 1.核心知识点总结 关键：判断图形是否沿某条直线折叠后两侧重合，对称轴为直线。 常见图形：等腰三角形(1条)、等边三角形(3条)、正方形(4条)、圆(无数条)。 2.高频考点梳理 识别给定图形是否为轴对称图形。 确定轴对称图形的对称轴条数。 3.易错点警示 误将对称轴当作“线段/射线”；遗漏多对称轴图形的部分对称轴。 4.解题技巧拆解 折叠验证法：想象沿直线折叠，观察两侧是否完全重合。 特征记忆法：牢记常见图形的对称轴数量与位置。 【例题1】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，据此判断选项即可. 【详解】解：A、是轴对称图形，故A符合题意； B、不是轴对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，故D不符合题意. 故选：A. 【变式题1-1】．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，因此本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，因此本选项符合题意； C、是轴对称图形，因此本选项不符合题意； D、是轴对称图形，因此本选项不符合题意； 故选：B． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在以下四个标志中，轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟知定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C. 是轴对称图形，故本选项正确； D. 不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：C． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·北京·期中）近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判定，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可； 【详解】解：根据已知选项可知、、不是轴对称图形，是轴对称图形； 故选：． 【题型2】轴对称的性质应用 1.核心知识点总结 核心性质：对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分对应点连线。 2.高频考点梳理 利用对应边、角相等求未知边/角。 作两个成轴对称图形的对称轴。 3.易错点警示 误认为“全等”一定“成轴对称”；作对称轴时未连接对应点。 4.解题技巧拆解 找对应点：先确定对应顶点，再推导边、角关系。 对称轴作法：连接一组对应点，作其垂直平分线。 【例题2】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，与关于直线成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，被垂直平分，不一定互相平行，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得：，，被垂直平分， 故A、B、D选项不符合题意， 则不一定互相平行 故C选项符合题意， 故选：C． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，与关于直线对称，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据与关于直线l对称，即可求出的度数． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 故选：A． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由轴对称的性质可得，则可推出，进而得到，再由轴对称的性质可得，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵与关于射线对称， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与关于射线对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，轴对称的性质，根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴垂直平分，与面积相等，直线的交点一定在上，， ∴是等腰三角形， 故选：D． 【题型3】线段垂直平分线的性质与判定 1.核心知识点总结 性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等()。 判定：到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上。 2.高频考点梳理 利用性质求线段长度、角度；利用判定证明直线为垂直平分线。 3.易错点警示 忽略“垂直平分”条件直接套用性质；仅一个点到两端距离相等就判定垂直平分线。 4.解题技巧拆解 性质应用：先找“垂直平分线”，再得“距离相等”。 判定应用：找两个满足条件的点，两点连线即为垂直平分线。 【例题3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点．，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则， 根据代入计算即可得解． 【详解】（1）连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中， ， ， ． （2）在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 【变式题3-1】．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·天津河东·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即； 接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数；再根据三角形外角的性质以及可求得的度数，然后根据列式计算即可得到答案．本题考查线段垂直平分线的画法及应用、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等． 【详解】解：∵由作图可知，垂直平分， 故选：D． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点、，连接．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点、， ∴． ∵， ∴． 故答案为：5． 【题型4】等腰三角形的角度计算 1.核心知识点总结 关键性质：等边对等角、三角形内角和。 2.高频考点梳理 已知顶角求底角：底角。 已知底角求顶角：顶角底角。 3.易错点警示 计算后未验证内角和是否为。 4.解题技巧拆解 标等量关系：先标出相等的边，再对应标出相等的角。 方程法：设未知角为，列方程求解。 【例题4】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）已知：如图，，． (1)求证：； (2)连接，若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键， （1）根据判定，即可得证； （2）由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是 ． 【答案】125 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据周角的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴，即， ∴， ∵在中，I是三角形三条角平分线的交点 ∴平分平分， ∴，∠， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【变式题4-2】．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如果等腰三角形的其中一个角为，那么它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分角为顶角和底角两种情况解答即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当角为顶角时，底角为； 当为底角时，底角为； ∴底角为或， 故选：． 【题型5】等腰三角形的边长计算 1.核心知识点总结 核心：两腰相等，且满足三角形三边关系(两边之和>第三边)。 2.高频考点梳理 已知两边求第三边；已知周长和一边求另外两边。 3.易错点警示 未分类讨论腰与底的情况；未验证三边关系导致无效解。 4.解题技巧拆解 分类讨论：分已知边为腰或底两种情况。 验证取舍：每种情况均需满足三边关系，不满足则舍去。 【变式题5-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，垂直平分垂直平分，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：垂直平分垂直平分，， ， ， 故答案为：8． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断是等腰三角形，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而由全等性质得到，再由等腰三角形性质得到即可得到答案． 【详解】解：在中，，则, ， ，解得， ， 则， ， ， ， 在和中， ， ， 在等腰中，，，则由等腰三角形性质可得， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等的判定与性质是解决问题的关键． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握的角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键． 先求出，由角平分线的定义可求，进而求出，，然后利用角的性质依次求解即可． 【详解】解：， ∴ ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，为内一点，连接，且平分，连接，延长交于点，若，则的长为（） A．4 B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，证明是等腰三角形，得到，由角平分线的性质得到，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 是等腰三角形， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型6】坐标与轴对称 1.核心知识点总结 轴对称：；轴对称：。 2.高频考点梳理 求已知点的对称点坐标；已知对称点坐标求原坐标。 3.易错点警示 混淆轴、轴对称的坐标变化规律；符号错误。 4.解题技巧拆解 口诀记忆：“轴对称横不变纵变号，轴对称纵不变横变号”。 反向推导：已知对称点，反向应用规律求原坐标。 【例题6】．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，由题意可知点和点关于轴对称，再根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点和点关于轴对称， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知和直线（直线上各点的横坐标都为2）． (1)画出关于直线的对称图形； (2)若点在内部，、关于轴对称，则的坐标是______； (3)请通过画图直接在直线上找一点，使得最小，标出点位置，不写作法； (4)在得到（3）中结论的基础上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此求解即可； （3）连接交直线m于点Q，由轴对称的性质可得，则，故当三点共线时有最小值，则点Q即为所求； （4）取，连接，设点Q的坐标为，根据可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵点在内部，、关于轴对称， ∴的坐标是； （3）解：如图所示，点Q即为所求； （4）解：如图，取，连接，设点Q的坐标为， 由（1）可知， ∴， ∴； 由（3）可得三点共线， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于轴对称的图形（点A、B、C的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下写出点、的坐标． 【答案】(1)图象见解析 (2)， 【分析】本题考查轴对称． （1）（2）点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：，． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的并写出的坐标为______； (2)画出的中线； (3)在上找一点，使得； (4)已知点是轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的点有______个． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，顺次连接即可； （2）根据矩形的对角线互相平分作出的中线； （3）易知，，故作出，利用三角形的内角和定理即可得证，取点，连接并延长与的交点即为点； （4）分，，三种情况讨论，作出满足条件的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 取点，，连接，与的交点即为点，根据矩形的对角线互相平分即可得证； （3）解：如图，点即为所求； 取点，连接并延长与的交点即为点， 过点作于点，则，故， 延长与轴相交于点，连接，可知，，则， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即； （4）解：如图，当时，以为圆心，为半径画弧与轴交于两点，，点，均满足条件，使得为等腰三角形； 当时，以为圆心，为半径画弧与轴交于两点，，由于、、三点共线，不构成三角形，点满足条件，使得为等腰三角形； 当时，使得为等腰三角形； 综上所述，满足条件的点有、、、，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格作图，轴对称变换，中线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型7】等腰三角形的分类讨论(提升) 1.核心知识点总结 分类维度：边(腰/底)、角(顶角/底角)、高的位置(形内/形外)。 2.高频考点梳理 已知一边/一角，求另外两边/两角；涉及高的长度计算。 3.易错点警示 分类不完整(如已知锐角未考虑顶角/底角)；未验证三边关系/内角和。 4.解题技巧拆解 明确分类标准：先确定维度，再逐一讨论。 验证步骤：每种情况均需满足“内角和”“三边关系”。 【例题7】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，能围成有一边长为的等腰三角形吗？若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由． 【答案】能围成有一边长的长是的等腰三角形，它的另外两条边长都是 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证． 分腰长为和底边长为两种情况讨论即可． 【详解】解：能围成有一边长为的等腰三角形．理由如下： ①如果长的边为底边，设腰长为，则． 解得． ②如果长的边为腰，则另两边长为，． ∵，不符合三角形两边之和大于第三边， 故不能围成腰长为的等腰三角形， 综上所述，能围成有一边长为的等腰三角形，它的另外两条边长都是． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）等腰三角形的一个内角为，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余的性质，分类讨论是解题关键．等腰三角形的一个内角为，可能为顶角或底角，分两种情况讨论，作一腰上的高，求该高与底边的夹角，利用三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余的性质计算即可得答案． 【详解】解：设等腰中，， ①如图，当顶角时， ∵， ∴ ， ∵是边上的高， ∴， ∴ ． ②如图，当底角时， ∵是边上的高， ∴， ∴ ． 综上，高与底边的夹角为或． 故选：C． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图，已知，P是射线上的一动点，则当 ．时，为等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．分三种情况：①时；②时；③时． 【详解】解：分三种情况： ①时， 则； ②时， 则， ∴； ③时， 则； 综上所述，若为等腰三角形，则的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式题7-3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为 °． 【答案】或或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．设，由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：设， 将沿翻折至处，如图１， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ； 如图2， 由折叠可知，，，， 显然此时为钝角，， 若是等腰三角形，则只能，即， ， ． 综上所述，的度数或或． 故答案为：或或． 【题型8】线段垂直平分线与等腰三角形综合(提升) 1.核心知识点总结 关键联系：垂直平分线→→为等腰三角形；等腰三角形底边的垂直平分线过顶角顶点。 2.高频考点梳理 证明等腰三角形；综合性质求线段长度、角度。 3.易错点警示 循环论证；混淆“等腰三角形的腰/底”对应的垂直平分线。 4.解题技巧拆解 构造辅助线：连接垂直平分线上的点与线段两端，构造等腰三角形。 转化思想：将线段关系转化为等腰三角形的边、角关系。 【例题8】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：11 【变式题8-1】．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题8-2】．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则______； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条特异线． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，新定义问题，角平分线的性质，垂直平分线定理，理解特异三角形，特异线的含义是解题关键． （1）由角平分线的性质得，由是的一条特异线得，，再利用三角形内角和即可求解． （2）用垂直平分线定理得是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质证明，即可得证． 【详解】（1）解：是的一条特异线， ，是等腰三角形， ， ， 的角平分线是， ， 是等腰锐角三角形， ， 内角和为， ． （2）垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的一条特异线． 【变式题8-3】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： (1)如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：，， ___________① ，， ， 为底边的中点， ___________② 在和中 （___________④） ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，， （2）证明：， ① ，， ， 为底边的中点， ② 在和中 ， ． 故答案为：①；②；③；④． 【题型9】最短路径问题(基础型)(提升) 1.核心知识点总结 模型：将军饮马(直线同侧两点)；转化思想：同侧→异侧(找对称点)。 2.高频考点梳理 求同侧两点到直线上一点的距离和最小值；确定饮马点位置。 3.易错点警示 未找对称点直接连接同侧两点；对称点找错。 4.解题技巧拆解 步骤：①找一个点关于直线的对称点；②连接对称点与另一点，交直线于；③为所求，线段长度为最小值。 【例题9】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分，，点P，Q分别为边，上的动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短及直角三角形的性质，先利用角平分线的性质进行转化，再分析何时取得最小值，最终求得最小值为的长度即可． 【详解】解：如图，过点B作交于点E，交于点P，过点P作于Q，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点B，P，E三点共线时，，此时的值最小， ∵，， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·北京·阶段练习）如图所示，在等边中，E是边的中点，于点D，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】题考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】 是等边三角形，， ， 是的垂直平分线， 点E关于的对称点为F， 如图所示，作点E关于的对称点F，连接， 就是的最小值， 是等边三角形，E是边的中点， F是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为3， 故答案为：3． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是 cm． 【答案】 【分析】因为是的垂直平分线，所以，则，连接交于点，连接，此时值最小，即周长最小，最小值为，根据等腰三角形三线合一可知是的高，利用三角形面积可求出长，则题目可解． 【详解】解：∵，为边的中点， ∴， 若周长最小，只需最小， 是的垂直平分线， ， ， ∴连接交于点，连接，此时值最小等于， 为边的中点，， ， ，面积是， ， 周长最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解题的关键． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在等腰中，，垂直平分，为上的动点，为上一动点，若．等腰的面积为8．则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键．连接，交于点，连接，结合垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，进一步可求的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵垂线段最短， ∴的最小值为线段，且此时， ∴点为的中点，而， ∴， ∴， 即：，解得， ∴的最小值为. 故答案为：4． 【题型10】镜面对称问题(提升) 1.核心知识点总结 本质：竖直直线的轴对称(左右相反，上下不变)；时钟镜面：实际时间镜面时间。 2.高频考点梳理 求数字/字母的镜面对称图形；求时钟镜面显示的实际时间。 3.易错点警示 时钟计算忽略分钟进位(如镜面→实际)；数字对称混淆(如“2”对应“5”)。 4.解题技巧拆解 数字/字母：画竖直对称轴，左右翻转找对称图形。 时钟：①画对称时钟读取；②减镜面时间(借位计算)。 【例题10】．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 【变式题10-1】．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 【变式题10-2】．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)三次反射时；四次反射时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质、反射定律以及三角形内角和等知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． （1）利用反射定律得到角的关系，再结合平行线的性质和三角形内角和等知识求解； （2）通过设角，根据反射定律和平行线的性质建立方程求解； （3）分三次反射和四次反射的情况，结合反射定律和平行线性质分析． 【详解】（1）解：∵反射定律， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． 故答案为：；． （2）解：设，． ∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． （3）解：能． 由（2）得, 当三次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，， ， ∴， 解得， ； 当四次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，，， ， ， ， 解得， ． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）4 【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形三边关系等相关知识，等边三角形的判定和性质等知识． （1）利用三角形三边关系及轴对称性质证明反射路径最短即可． （2）通过作对称点确定反射光线在挡板上的最高和最低位置； （3）过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D，通过轴对称的性质得出，过点P作于F， 进而可得出，由光入射角等于反射角的规律可得出进一步得出是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）． ，， ． 故答案为∶三角形两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． （2）如图所示，作A关于的对称点，连接并延长交于点Q，连接并延长交为P，则点P和点Q即为所求； （3）如图，过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D， ∴， 则 过点P作于F， ∵， ∴， ∴， ∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点， ∴，     又∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为∶4． 【题型11】手拉手模型综合应用(培优) 1.核心知识点总结 模型：两个等腰(等边)三角形共顶点→构造全等三角形(SAS)。 常见结论：①对应边相等()；②夹角顶角()；③角平分线(平分)。 2.高频考点梳理 证明线段/角度相等；推导线段夹角、角平分线。 3.易错点警示 全等条件找错(未利用“共顶点+顶角相等”)；夹角推导遗漏“8字模型”。 4.解题技巧拆解 找共顶点：确定公共顶点，识别相等的腰与顶角。 证全等：用证明(腰相等，夹角公共角+顶角相等)。 推结论：由全等得对应边、角，结合内角和推导。 【例题11】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【变式题11-1】．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，掌握“手拉手”的全等模型是解题关键； （1）由题意得且平分，即可求解； （2）证即可； （3）分类讨论①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的中线． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， 同理可得； ③当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 综上所述，是定值，； 【变式题11-2】．（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且 ，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，， ，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】(1) (2)与的数量关系是，位置关系是；见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题发现】 （1）如图1，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，，则与之间的数量关系为_____________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，当是等边三角形时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，小王在屋外空地规划一个四边形花园，为一条小路（路宽忽略不计），为一条灌溉水渠，其中，，米，米，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，根据设计要求，要使灌溉水渠尽可能的长，求出的最大长度及此时的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形三边关系等． （1）通过和中满足“边角边”条件，即，，，得出，进而得出； （2）延长到点，使，连接，证明和满足“边角边”条件，即，，，得出，所以，即证； （3）以为一边，在的右侧作等边，连接，证明和满足“边角边”，即，，，得出，根据全等三角形的对应边相等，，根据“两点之间线段最短”得，当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为，此时，的最大值为，． 【详解】（1）与之间的数量关系是：，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）线段，，之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， 是等边三角形， ，， 在四边形中， ， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 即； （3）如图，以为一边，在的右侧作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 当最大时，为最大， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为， 的最大值为，此时，，在同一条直线上，如下图所示， ， 的最大值为，． 【题型12】最短路径问题(拓展型)(培优) 1.核心知识点总结 拓展模型：①两直线+一点()；②造桥选址；③三角形内最短周长。 转化思想：平移、多次对称，将折线转化为直线。 2.高频考点梳理 两直线+一点：作两次对称；造桥选址：平移点；三角形内最短周长：作对称点。 3.易错点警示 造桥选址平移方向错误；多直线问题未作多次对称。 4.解题技巧拆解 两直线+一点：作关于的对称点、关于的对称点，连接交于、于。 造桥选址：平移到(桥长)，连接交河岸于，作河岸。 【例题12】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 【变式题12-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称−最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键． 分别作出点关于的对称点，连接与的交点即为点，再顺次连接即可，根据两点之间线段最短即可得到最小，继而四边形的周长最小． 【详解】解：如图，四边形即为所求： 【变式题12-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 【题型13】等腰三角形与全等三角形综合(培优) 1.核心知识点总结 综合逻辑：等腰性质→边/角相等→全等判定→全等结论→进一步推导。 2.高频考点梳理 证明线段/角度相等；求线段长度、三角形周长；折叠问题。 3.易错点警示 构造辅助线错误；全等条件不足(仅凭等腰边、角相等)。 4.解题技巧拆解 辅助线：等腰三角形作底边高(三线合一)；延长线段构造全等(倍长中线)。 逻辑链：先利用等腰性质得边/角相等，再验证全等条件，最后推导结论。 【例题13】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M．求证∶ (1)； (2)M是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，从而根据三角形外角的性质求得，再根据含角的直角三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，从而，得到是等腰三角形，再由“三线合一”即可证明． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． （2）证明：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M是的中点． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定以及三角形内角和定理的应用： （1）证明后得到对应边相等，再根据等腰三角形的定义判定； （2）利用得到，三角形内角和定理求出，在中利用三角形内角和定理进行转化，求出的和； （3）利用和三角形内角和定理，推导出，再结合是等边三角形，得到的度数，最后在中求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ，， ， ， ， ； （3）解：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题13-2】．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，P，F分别是边，边上的点，作于点D，于点E，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】（1）利用证明和全等，利用三角形全等的性质，即可得证； （2）利用等腰三角形三线合一，结合三角形全等，先证明为的中线，那么，接着证明，推出，那么为中线，那么，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴为等腰三角形， 由（1）知， ∴， 即为的平分线， ∴为的中线， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为中线， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点，的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等．点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，两点都按顺时针方向沿的三边运动．经过30秒，点与点第一次相遇，求点的运动速度． 【答案】(1)①，理由见解析；②秒或秒 (2)厘米/秒或厘米秒 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，根据题意建立正确的方程是解题的关键． （1）①分别根据运动速度和时间计算出的值，易得，，再根据等边三角形的性质可得即可证得；②分别根据和两种情况进行讨论，根据角对应的直角边是斜边的一半建立方程求解即可； （2）设点的运动速度为厘米/秒，然后分点的运动速度更快和点的运动速度更快两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：①．理由如下： 点的运动速度与点的运动速度相等， 当时，厘米． 厘米． 是等边三角形， ， ． ②设运动时间为秒时，是一个直角三角形． a．当时， ， ，解得：秒； b．当时 ，解得：秒． 综上所述，当为秒或秒时，是一个直角三角形． （2）解：设点的运动速度为． ①．若点的运动速度更快，则，解得：； ②若点的运动速度更快，则，解得． 综上，点的运动速度为厘米/秒或厘米秒． 【题型14】含角的直角三角形综合应用(培优) 1.核心知识点总结 核心性质：直角三角形中，角对的直角边斜边；逆定理：直角边斜边→对角。 2.高频考点梳理 求线段长度(倍分关系)；证明线段倍分；角度计算。 3.易错点警示 非直角三角形套用该性质；混淆“对边/邻边”。 4.解题技巧拆解 识别模型：先判断直角三角形，再找角或倍分边。 构造直角：已知角作高；已知倍分边证明直角。 【例题14】．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在 中， 过点A作射线，使 作点C关于直线的对称点E， 连接交射线于点 F， 连接． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题关键在于熟练掌握其相关知识点； （1）根据对称垂直定义即可求证； （2）根据是等腰直角三角形，得，，在证 ，然后 ，可得在中，，即可求解. 【详解】（1）证明：∵点C关于直线的对称点是E ∴垂直平分 ∴ （2）证明：如图；连接， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴由勾股定理得： ， ∵点C关于的对称点是E ∴， ∴是等边三角形          ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴      ∴在中， ∴ ∴. 【变式题14-1】．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，平分，，，于点． (1)求证：； (2)若，求的长 ． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角的平分线定义与性质，平行线的性质，三角形外角和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线，直角三角形的性质是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得到，再由得到，最后等量代换，结合等角对等边即可求解； （2）作于点，由角平分线的性质可知，再由外角的性质求出，在中，根据所对的直角边等于斜边的一半即可求解，最后求出的长． 【详解】（1）证明：平分，， ． ， ， ， ； （2）解： 作于点，如图， 平分，，， ，． ， ． ， ， ． 【变式题14-2】．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，平分于，连接，交于点． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和直角三角形中角所对直角边的性质． （1）先利用角平分线的性质证明，再证明，得到，从而根据垂直平分线的判定证明是线段的垂直平分线； （2）先根据直角三角形的内角和求出的度数，再结合角平分线的定义得出，然后利用直角三角形中角所对直角边的性质求出的长，最后求出，即可求出的长． 【详解】（1）证明： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 点都在的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线； （2）解：∵在中，， ， 平分， ， ∵在中，， ， 由（1）知垂直平分， ， ∵在中，， ， ． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·青海海东·期中）如图（1），点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点，同时从顶点，出发向点、运动，且它们的速度都为． (1)【思考研究】连接，交于点，求证：； (2)【解决问题】连接，何时是直角三角形？ (3)【拓展延伸】如图（2），若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为，则的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，直接写出它的度数． 【答案】(1)见解析 (2)第秒或第秒时，为直角三角形 (3)不变， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （3）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：设时间为t秒，则 ）， ， ①当时， ∵， ∴，得， ∴； ②当时， ∵， ∴，得， ∴； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． （3）解：在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴． 【题型15】等腰三角形折叠问题综合（培优） 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后全等（对应边、角相等）；对称轴为对应点连线的垂直平分线。 2.高频考点梳理 求线段长度、角度；证明线段相等、垂直；判断三角形形状。 3.易错点警示 对应边/角找错；忽略折叠后点的位置（形内/形外）。 4.解题技巧拆解 标对应关系：折叠后用相同符号标注对应边、角。 辅助线：连接对应点，作对称轴；列方程：设未知边为，结合勾股定理求解。 【例题15】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）折纸，常常能为证明提供思路和方法． (1)如图①，在△ABC中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB边的点D处，如图②所示，然后把纸展平，连接DE，可以推出 （填“>”或“<”或“=”） (2)如图3，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，连接HD，得到． ①求证：是等边三角形．②求的度数． (3)如图4，在中，，，D是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3)、和 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，由三角形外角和定理得到与的关系，进而得出和的关系； （2）①根据折叠的性质可以得到，结合题意可以得出是等边三角形； ②根据等边三角形的中线也是角平分线的性质得到，由三角形的外角和定理进行求解即可； （3）设，根据折叠的性质得到角之间的关系，分情况讨论是等腰三角形的条件进行求解的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 点落在AB边的点D处 是的外角 ． （2）①证明：正方形纸片ABCD对折 ， 点B落在MN上的点H处 在正方形纸片中， 是等边三角形； ②解：点B落在上的点H处 ， 在等边中，是中线 是的外角 即 ． （3）解：， 沿折叠得到 ， 将向下折叠，使与重合 设，则 当是等腰三角形时，有三种情况： 当时，， ，解得； 当时，， ，解得； 当时，， ，解得； 综上所述，的度数为、和． 【变式题15-1】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则 度，若，则 度，直接写出与的关系式 （用含有的式子表示） 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质，折叠的性质，掌握以上知识，图形几何分析，构造合理的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，代入计算即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，角平分线的性质可得，由此可得； （3）根据上述计算可得，根据折叠的性质可得，根据平角的性质可得，由此可得，结合三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴ 当时， ， 当时， ， 故答案为：，，； （2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴； （3）∵的平分线交于点， ∴由（1）可得，， ∵将沿折叠，使得点与点重合， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【变式题15-2】．（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 【详解】（1）①由题可知， ， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ． 【变式题15-3】．（25-26八年级上·北京西城·期中）2000多年前，古希腊几何提出“仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角”的著名问题，该问题直到1837年才由法国数学家旺策尔证明为不可能．尽管尺规无法实现，但借助折纸可以完成，以下为用正方形纸片三等分锐角的操作步骤． ①如图1，在上任取一点，过，两点折叠，折痕为，得到锐角，下面三等分这个锐角； ②如图2，在上任取一点，将向上翻折，使点与点重合．此时将点的对应点记为点，折痕记为，然后展开纸片； ③如图3，折叠纸片，使点，点分别落在，上，点，点，点的对应点分别记为点，点，点，折痕记为，与交于点； ④展开纸片，作射线，；则，即为的三等分线． 证明过程如下： (1)先证．请把下面的证明过程补充完整． 由题知，垂直平分． ， ________． 垂直平分， ________．（________） ．（________） ． (2)再证．请完成证明． 综上所述，，即，为的三等分线． 【答案】(1)；；垂直平分线的性质；等边对等角 (2)见解析 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质； （1）根据折叠结合（1）中的部分过程上下步骤之间的逻辑关系填空即可； （2）由两次折叠得到，，则垂直平分，得到，根据等腰三角形的性质得到． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ．（垂直平分线的性质） ．（等边对等角） ； 故答案为：；；垂直平分线的性质；等边对等角； （2）证明：∵将向上翻折，使点与点重合．折痕记为， ∴，，即 ∵折叠纸片，使点，点分别落在，上，点，点，点的对应点分别记为点，点，点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图所示，下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（   ） A．4 B．6 C．4或12 D．6或12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．先求出，再分两种情况：①当点在上运动时，则要使钝角是等腰三角形，只能是，建立方程，解方程即可得；②当点在上运动时，此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形，只需，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴． 由题意得：，， ①当点在上运动时，，此时是钝角三角形， 则要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∴； ②当点在上运动时，， ∵， ∴此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形， ∴只需， ∴， ∴； 综上，的值为4或12， 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标变化规律． 先确定点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的坐标，最后结合选项得出答案． 【详解】解：观察平面直角坐标系，确定点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 所以点关于轴对称点的坐标为，纵坐标为7， 即的坐标为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，连接，由，都是等边三角形，则有，，，证明，所以，从而可得，，点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，证明是等边三角形，从而可得，故有周长的最小值为，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是上中线， ∴，，， ∴，，点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值：， 故选：． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及角平分线，对选项依次判断即可． 【详解】垂直平分， ， ， ， ， 故选项A正确； ， ， 故选项D正确； ， 平分， 故选项C正确； 由题目的条件无法判断出， 故选项B不成立． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．先求出，再得出平分，垂直平分，则，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰三角形中，，是边上一点，，连接，那么的大小是 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理；以为一边在外侧作等边，连接，证出，得到，即可计算求解． 【详解】解：以为一边在外侧作等边，连接，如下图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再根据三角形内角和定理可知，由 平分 ， 平分 即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 沿折叠， ，， ，， ， ， ， 平分， 平分  ， ，， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京·期中）在中，，，点D是射线上不与A，B重合的点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，分两种情况讨论：当点D在线段上时；当点D在的延长线上时，根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 情况一：点D在线段上（顺序），如图， ∵， ∴． ∴． 情况二：点D在的延长线上（顺序），如图， ∵， ∴， 又， ∴． ∴， 综上，的度数是或 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，于，且，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形顶点上． (1)在图中画出与关于直线MN成轴对称的． (2)在直线上画一点P．使．（在图中标出点P，保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的画法以及利用轴对称性质解决角相等问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，即对称点的连线被对称轴垂直平分． （1）根据轴对称性质，找到、、关于直线的对称点、、，再连接成三角形； （2）利用轴对称性质，找到点关于直线的对称点，连接与的交点即为． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2） 解：如图，连接交于点，连接，点即为所求， 理由：∵关于对称， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知D是等边三角形中边上一点（不与点A重合，且满足），点B关于直线的对称点为点E．连接，延长交直线于点F． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，连接，当点D在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)8 (3))，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可； （2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，连接，如图1，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可； （3）由（2）可得，证明过程同（2）． 【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， 如图，在上截取，使，连接， 由题意知， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8； （3）解：； 证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值， 如图，在上截取，使，连接， ∴同理（2）可知是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）八年级1班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图（1），是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：______； 【理解与应用】 （2）如图（2），是的中线，若，，设，则x的取值范围是______； （3）如图（3），在中，是的中线，点F在中线上，连接并延长交于点E，且．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据定理证明即可； （2）延长至点Q，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系得，即可得到结论； （3）延长至点M，使得，连接，先证明，根据全等三角形的性质得，，再由得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，是的中线，，，设，延长至点Q，使，连接， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴x的取值范围是； 故答案为：； （3）证明：如图，延长至点M，使得，连接， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）利用轴对称的性质可以方便地解决一些数学问题，如图，在中，，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点，则 由此，我们可以得到，在一个三角形中，大边所对的角较大．类似的，应用这种方法，解决下面的问题： 在四边形中，点是边的中点． (1)如图，若平分，则线段，，的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． (2)如图，平分，平分，若，则线段，，，的长度满足怎样的数量关系？（直接写出答案） 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，证明三角形全等是关键． （1）在上取一点，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点，使，连接，在上取点，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论． 【详解】（1）． 证明：在上取一点，使． 平分， ． 在和中，， ， ，． 是边的中点． ， ． ， ，． ． 在和中， ， ()， ． ， ． （2） 证明：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接． 是边的中点， ． 平分， ． 在和中， ， ()， ， ． 同理可证：， ． ， ， ， ． ． ． 是等边三角形． ． ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $