精品解析：浙江省宁波六校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

2025学年第一学期宁波六校联盟高一高二期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 7. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（ ） A B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 图象关于点成中心对称 C. 若函数，则 D. 若函数，则对任意，有 10. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 最小值为 D. 的最小值为 11. 已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（ ） A. B. 函数奇函数 C 对，有 D. 若，则 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 13. 若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 18. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 19. 已知函数. （1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期宁波六校联盟高一高二期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得. 【详解】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是 故选：A 6. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求的解析式，作函数图象，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 又，， 作出函数的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 7. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得函数，的最大值，由题意可得，进而可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为，所以， 令，解得或（舍去）， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，， 所以， 又因为，，使得，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围. 故选：A. 8. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当且时，都有成立， 不妨设，则， 则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 图象关于点成中心对称 C 若函数，则 D. 若函数，则对任意，有 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，先根据抽象函数定义域的求法可得的定义域，再求的定义域即可；选项B，分离常数可得，结合函数图象的中心对称性与函数图象的平移法则，即可得解；选项C，采用换元法求函数的解析式即可，注意函数的定义域；选项D，根据幂函数图象的凹凸性，即可作出判断． 【解答】选项A，因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 所以函数的定义域是，即选项A正确； 选项B，， 因为的图象关于点对称，而的图象是由的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位， 所以的图象关于点对称，即选项B正确； 选项C，令，则， 所以，其中， 所以，即选项C正确； 选项D，因为是上凸函数， 所以对任意，有，即选项D错误． 故选：ABC. 10. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式，结合已知条件求解的取值范围；对于B：利用不等式可判断；对于C：变形，然后利用基本不等式求解其最小值；对于D：令，且，于是，然后利用基本不等式求解其最小值． 【详解】因为，所以有． 对于A：因为， 所以，可得， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：令，所以，且， 于是 ， 当且仅当，即时取等号，故D错误， 故选：AB． 11. 已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（ ） A B. 函数是奇函数 C. 对，有 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，当时，令得到，再结合奇偶性判断B，结合B选项及特殊值判断C，推导出，即可判断D. 【详解】对于A，因对任意，都有， 令，得 ，A正确． 对于B，当时，令，则有， ，， 又，，为奇函数，B正确． 对于C，由B知，不恒等于，即时，C错误． 对于D，， 由知，， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是得到，D选项关键是推导出. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为：3 13. 若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，， 则，解得； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，（不同时取等号），解得. 所以实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是奇函数，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； 小问2详解】 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【小问1详解】 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 18. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 【答案】（1）答案见解析 （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【解析】 分析】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. 【小问2详解】 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 19. 已知函数. （1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）定义域：，是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，值域为，作图见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）将函数表示为分段函数，利用基本初等函数的基本性质可得出函数的定义域、奇偶性、单调性和值域，并结合解析式作出该函数的图象； （2）令，可得出不等式在恒成立，然后利用参变量分离法得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）令，结合题意可得知关于的方程的两根，，然后利用二次函数的零点分布列出关于、的不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1），，函数是偶函数， 在区间和上单调递增，在区间和上单调递减， 函数的最大值是，无最小值，值域为. 作图如下： （2）因为关于的不等式恒成立， 令，则，即不等式在恒成立. 当时，因为，所以. 又，所以； （3）关于的方程恰有个不同的实数解即有个不同的解，如下图所示： 当时，方程有四个根；当时，方程有两个根； 当或时， 方程无解. 设方程的两根分别为、，则，. 令，则. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查函数基本性质的求得、函数不等式恒成立以及复合型二次函数的零点个数问题，一般利用换元法转化为内层函数和外层函数的零点问题，同时也考查了二次函数的零点分布问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $