精品解析：浙江省宁波市第七中学2025-2026学年上学期 八年级期中数学卷

宁波七中教育集团2025学年第一学期初二数学学习效果自我评估试卷（2025．11） 考生注意： 1． 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写 在试题卷和答题纸规定的位置上． 2． 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作 答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一 ．仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长为和，则第三边的长可能是（ ） A B. C. D. 3. 若a＞b，则下列不等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 4. 要说明命题“若 > ，则 >”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线l是过点且垂直于x轴的直线，直线m是过点且垂直于y轴的直线，P点的坐标为．根据图中P点的位置下列正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 7. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（　　） A. B. C. D. 10. 如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二 ．认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分） 11. 与3的和是负数，用不等式表示为__． 12. 在平面直角坐标系中点在第_________象限． 13. 若点向上平移 3 个单位后得到点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 14. 定理“等腰三角形的两腰相等”的逆命题______. 15. 如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是______． 16. 如图，点D、 E分别在ABC的AB、AC边上，沿DE将ADE翻折，点A的对应点为点，∠EC=α，∠DB=β，且α<β，则∠A等于________（用含α、β表示）． 17. 已知在中，，高．则的长为___________． 18. 如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为______． 三 ．全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22、23题8分，第24题12分，共46分） 19. 解不等式（组）∶ （1） ； （2）． 20. 如图，将放置在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均为格点，在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹，标出字母）． （1）作边上的中线； （2）在上找一格点，使得线段平分； （3）找一格点，连接，使 ． 21. 如图， 中 ，D 是延长线上一点，满足，过点C作 且，连接并延长，分别交、于点F 、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，在和中，，E，F分别是对角线 ，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长 ． 23 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 24. 如图，在中，，．点，分别为，的中点，点为线段上一动点（不与点 重合），过点 作线段垂直且 ，连接，交 于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）在点 运动过程中，能否使为等腰三角形?若能，请直接写出 的长； 若不能，请说明理由． 四 ． 附加题（本题有2个小题，25题4分，第26题6分，共10分） 25. 如图，在中，D 是斜边的中点．E，F分别在，边上，且． 若，，，则的长为______． 26. 如图，在中，，，，是 的中点，是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波七中教育集团2025学年第一学期初二数学学习效果自我评估试卷（2025．11） 考生注意： 1． 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写 在试题卷和答题纸规定的位置上． 2． 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作 答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一 ．仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 若一个三角形的两边长为和，则第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理，解决此题的关键是理解三边关系的本质；任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：设第三边长为． ∵ 两边之和大于第三边， ∴，即， ∵两边之差小于第三边， ∴，， ∴． 选项中只有满足此条件； 故选：C． 3. 若a＞b，则下列不等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐一进行分析即可得. 【详解】由a＞b，得到a+3＞b+3，-2a＜-2b，＞，a-3＞b-3， 所以A、C、D选项正确，选项B不正确， 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 4. 要说明命题“若 > ，则 >”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、a=3，b=2，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误； B、a=4，b=-1，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误； C、a=1，b=0；满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误； D、a=-1，b=-2，满足a＞b，但不满足|a|＞|b|，∴a=-1，b=-2能作为证明原命题是假命题的反例， 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以． 5. 如图，直线l是过点且垂直于x轴直线，直线m是过点且垂直于y轴的直线，P点的坐标为．根据图中P点的位置下列正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考点的坐标，熟练掌握点的坐标的定义是解题关键． 由点P在直线l的左侧，可知P点的横坐标小于5，由点P在直线m的上方，可知点P的纵坐标大于，据此可得答案． 【详解】解：由题意可知，点P在直线l的左侧，故； 点P在直线m的上方，故． 故选：B． 6. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理计算和证明，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题的关键．根据勾股定理求得，再由，得到，，再次利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 8. 如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出BC=4，再利用等积法求得AE=，再利用勾股定理结合垂直平分线的性质得到DB的值，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】解:在△ABC中，∠BAC=90°， ∴BC= ， 又∵AE垂直平分DC， ∴ ， ∴AE= ， ∴CE= , ∴CD=2CE= ， ∴DB=CB-CD= ， ∴, 故选择C. 【点睛】本题考查勾股定理的应用：①在直角三角形中已知两边求出第三边；②利用勾股定理作为等量关系列方程. 10. 如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，连接，由，都是等边三角形，则有，，，证明，所以，从而可得，，点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，证明是等边三角形，从而可得，故有周长的最小值为，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是上中线， ∴，，， ∴，，点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值：， 故选：． 非选择题部分 二 ．认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分） 11. 与3的和是负数，用不等式表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】“与3的和”，则；“负数”，则＜0； 【详解】解：根据题意，得． 故答案是：． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准关键字，把文字语言转换为数学语言． 12. 在平面直角坐标系中点在第_________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标所在的象限，根据点P的横纵坐标的符号和各个象限的符号特点判断其所在的象限． 【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，因此在第四象限． 故答案为：四． 13. 若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，熟练掌握坐标平移的特征是解题的关键． 点向上平移后纵坐标增加3，平移后的点在x轴上，纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】解：已知点向上平移3个单位后，． 点在x轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 14. 定理“等腰三角形的两腰相等”的逆命题______. 【答案】有两边相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是：两边相等的三角形是等腰三角形. 故答案为两边相等的三角形是等腰三角形． 【点睛】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 15. 如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，过作于点，根据角平分线性质可得，然后利用三角形面积公式即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 16. 如图，点D、 E分别在ABC的AB、AC边上，沿DE将ADE翻折，点A的对应点为点，∠EC=α，∠DB=β，且α<β，则∠A等于________（用含α、β表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质得到，，根据三角形的外角的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴由折叠的性质可知，，， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，三角形的外角的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17. 已知在中，，高．则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的运用，根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解： 如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 当在点右侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：或． 18. 如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理解和可求出，进而求出，再证是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为边上的中线，， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线间的距离，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 三 ．全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22、23题8分，第24题12分，共46分） 19. 解不等式（组）∶ （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的解法和不等式组的解法，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据不等式解法步骤移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先解不等式，再根据“同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间”得到答案即可； 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴此不等式组的解集为． 20. 如图，将放置在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均为格点，在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹，标出字母）． （1）作边上的中线； （2）在上找一格点，使得线段平分； （3）找一格点，连接，使 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了仅用无刻度的直尺作图问题，三角形的中线，角平分线和高线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （）取格点，连接交于点，线段即为所求； （）取格点，连接，线段即为所求； （）取格点，连接，线段即为所求． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接交于点，线段即为所求， 理由：由网格可知， ∴线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，取格点，连接，线段即为所求， 理由：，， ∴， ∴线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，取格点，连接，线段即为所求． 21. 如图， 中 ，D 是延长线上一点，满足，过点C作 且，连接并延长，分别交、于点F 、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质和平行线的性质，解决此题的关键是熟练掌握判定三角形全等方法； （1）根据平行线的性质得到角相等，即可判定三角形全等； （2）根据三角形全等性质得到相关角度，再根据三角形的内角和和外角即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的度数为． 22. 如图，在和中，，E，F分别是对角线 ，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长 ． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质． （1）连接，，利用直角三角形斜边中线定理得到，，由上述结论可知，得到是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一性质得到； （2）根据，先求出和的长度，由根据三角形两内角之和等于另一个角的外角，得到，随即判断出的形状，最后可求得的长度． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ∵，E是对角线的中点， ∴，， ∴， ∵F是对角线的中点， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵，E是对角线的中点，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 【答案】任务一：地上充电桩需要万元，地下充电桩需要万元 任务二：共有2种建造方案，方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元”列二元一次方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，根据“用不超过13万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过”列一元一次不等式组，求出的取值范围，即可得解． 【详解】任务一：解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得， 解得， 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 万元和万元； 任务二：解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴整数的值为，， 方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 24. 如图，在中，，．点，分别为，的中点，点为线段上一动点（不与点 重合），过点 作线段垂直且 ，连接，交 于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）在点 运动过程中，能否使为等腰三角形?若能，请直接写出 的长； 若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）的长为或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可得，，故有，再证明即可； （）连接，证明，所以，，又，则有，即，然后通过勾股定理即可求解； （）分当，当，当三种情况分析即可． 【小问1详解】 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明: 连接， ∵，点，分别为，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，，在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵点，分别为，的中点，，， ∴， ∴， 当，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，如图，此时三点共线， 此时； 当，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴, ∴， 综上可得：为等腰三角形时，的长为或或． 四 ． 附加题（本题有2个小题，25题4分，第26题6分，共10分） 25. 如图，在中，D 是斜边的中点．E，F分别在，边上，且． 若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质和勾股定理，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据垂直平分线的性质得到，判断三角形全等，得到相关角相等进而得到直角，运用两次勾股定理即可得到答案； 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵D 是斜边的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，，， ∴， ∵， 设为x，则为， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∴， ∴， 故答案：． 26. 如图，在中，，，，是 的中点，是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，求的长度． 【答案】的长度为或． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，取中点，连接，先通过直角三角形性质，等边三角形的判定与性质求出，然后分如图，当，如图，当两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，当， ∵是的中点， ∴， 由折叠性质可知，，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图，当，过作交延长线于点， 由折叠性质可知，，， ∵是 的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴，解得：， 综上可得：的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $