精品解析：吉林省四平市双辽市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025--2026学年度上学期质量检测九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 1，，6 B. ，2，6 C. 1，2， D. 1，2，6 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A B. C. D. 3. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A B. C D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_________． 8. 已知拋物线的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 9. 已知点与点是关于原点O的对称点，则长为_________． 10. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则________． 11. 如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______． 三、解答题（共87分） 12. 解方程：x2+2x+1＝4． 13. 某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 14. 如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线解析式． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中作一个面积为6的轴对称四边形； （2）在图②中作一个面积为6的中心对称四边形； （3）在图③中，作一个面积为7且有一组邻边相等的四边形． 16. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm． （1）求⊙O的直径． （2）求的长． 17. 如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）． （1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少． 18. 下表是二次函数的部分取值情况： … 0 1 2 3 … … 0 4 3 … 根据表中信息，回答下列问题： （1）求该二次函数的图象的对称轴， （2）二次函数的图象的顶点坐标是______，表中的值为______，的值为______． （3）在下图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图象 （4）观察图象，直接写出时，的取值范围是______． 19. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 20. 某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）在横线上直接写出y与x之间的函数关系式； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 21. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 22. 如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． （1）求值； （2）求点的坐标； （3）该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； （4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年度上学期质量检测九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 1，，6 B. ，2，6 C. 1，2， D. 1，2，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，把方程化成一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据定义解答即可． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是． 故选C． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．把代入方程得，解出的值即可求解． 【详解】解：把代入方程得， 解得：， 故选：C． 3. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：选项A、B、D中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 4. 如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的概念辨析，垂径定理，根据点的位置，为半径时，最长，时，最短，求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：当点与点或点重合时，为半径，长度最长为5； 当时，由垂线段最短，可知此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长可能是； 故选C． 5. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 6. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】解：将小路平移到边上，如图所示： 图中空白部分即是种植面积为的地方，则， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案：． 8. 已知拋物线的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称轴是直线，得到，设另一根为m，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 设另一根为m， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 9. 已知点与点是关于原点O的对称点，则长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征以及两点间距离公式，解题的关键是先根据原点对称性质求出点坐标，再利用距离公式计算长度． 先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，再代入两点间距离公式计算的长度． 【详解】因为点与点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：横，纵坐标都互为相反数，可得，即． 根据两点间距离公式，其中，则： ， 所以长为10． 故答案为：10． 10. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，先求出，再根据是的直径，求得，最后根据圆周角定理即得答案． 【详解】解：， ， 是的直径， ， ． 故答案为：25． 11. 如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴,， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：1． 三、解答题（共87分） 12. 解方程：x2+2x+1＝4． 【答案】x＝1或x＝﹣3 【解析】 【分析】根据配方法解方程的步骤计算可得． 【详解】解：∵x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， 则x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得：x＝1或x＝﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13. 某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 【答案】共有8个队参赛 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个队参赛，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【详解】解：设共有x个队参赛，则 解得：（舍去）． 答：共有8个队参赛． 14. 如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式． 【答案】y＝﹣x2 【解析】 【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y=ax2，再结合图象，只需把（10，-4）代入求出a的值即可． 【详解】解：设该抛物线的解析式是y＝ax2， 由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得： 100a＝﹣4， 解得：a＝﹣． 故该抛物线的解析式是y＝﹣x2． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解. 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中作一个面积为6的轴对称四边形； （2）在图②中作一个面积为6的中心对称四边形； （3）在图③中，作一个面积为7且有一组邻边相等的四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查图形设计，解题关键是熟知网格的特点及相关知识的灵活运用． （1）图1中取格点C、D，根据网格的特点及等腰梯形的特点，结合勾股定理即可作图； （2）图2中取格点C、D，根据网格的特点和平行四边形的判定与性质即可作图； （3）根据网格特点和割补法求面积即可作图； 【小问1详解】 解：如图①，，， ， 四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②，∵，， ∴四边形是平行四边形，则四边形是中心对称图形， ， 四边形即为所求作； 【小问3详解】 解：如图③，， 四边形的面积为， 故四边形即为所求． 16. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm． （1）求⊙O的直径． （2）求的长． 【答案】（1）⊙O的直径为8cm．（2） 【解析】 【分析】(1)根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB. (2)连接OD,先算出∠AOD,再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°． ∵AD＝4， ∴AB＝8． ∴⊙O的直径为8cm． （2）连结OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°． ∴的长为． 【点睛】本题考查圆相关的计算,关键在于熟记圆的性质及弧长公式. 17. 如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）． （1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少． 【答案】（1）（0＜x＜8） （2）当x=4时，阴影部分面积最大值为32cm2． 【解析】 【分析】（1）由AE=BF=CG=DH=x（cm）得出BE=CF=DG=AH=（8-x）（cm），然后根据三角形面积求解． （2）将二次函数的解析式化为顶点式再求解． 【小问1详解】 解：由正方形的性质可得：cm， ∵AE=BF=CG=DH=x cm， ∴BE=CF=DG=AH=（8-x）cm， ∴（0＜x＜8）， 【小问2详解】 ， ∵a=-2＜0， ∴当x=4时，y有最大值为32， 故当x=4时，阴影部分面积最大值为32cm2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握正方形的性质，掌握二次函数求函数最值的方法． 18. 下表是二次函数的部分取值情况： … 0 1 2 3 … … 0 4 3 … 根据表中信息，回答下列问题： （1）求该二次函数的图象的对称轴， （2）二次函数的图象的顶点坐标是______，表中的值为______，的值为______． （3）在下图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图象 （4）观察图象，直接写出时，的取值范围是______． 【答案】（1）直线 （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，画二次函数图象． （1）根据解析式化为顶点式得出对称轴，即可求解； （2）把一组已知的对应值代入中可求出c的值，然后利用配方法把抛物线解析式配成顶点，从而得到抛物线的顶点坐标； （3）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，再利用描点法画出二次函数图象； （4）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：根据表格，当时，，则顶点坐标为 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，，即 故答案为：；；； 【小问3详解】 解：根据表格画图如下， 【小问4详解】 解：由函数图象可得：当时，， 故答案为：． 19. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 【答案】（1） （2）8640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可， （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：由题意，得（元）． 答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元． 20. 某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）在横线上直接写出y与x之间的函数关系式； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元 （3）将纪念品销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售量×（售价进价）=2400，解方程求出在自编量范围内的解即可； （3）根据销售利润=销售量×（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 根据题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元； 【小问3详解】 根据题意得：， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为2640， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 21. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论． 【小问1详解】 解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 成立．理由如下： 如图②，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以（1）中的结论仍然成立； 【小问3详解】 当点在线段上时，如图③，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点在线段上时，如图④，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 22. 如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； （4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 （4）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． 【小问2详解】 由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． 【小问3详解】 在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； 【小问4详解】 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $