精品解析：海南省部分学校2026届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题

海南省部分学校2026届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A 2 B. C. 1 D. 0 3. 已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数且在区间上的值域为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 已知正数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意，都满足，则正数最大值为（ ） A. B. e C. D. 2e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 的夹角为 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为1 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 存在函数，使得的值域为 D. 存在函数，使得是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则xy最大值为_____________. 13. 若，则____________. 14. 已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司为提升员工对人工智能模型应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛. （1）初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率； （2）复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求； （2）若的平分线与BC交于点，求AD. 17. 如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆离心率为，上的点到两个焦点的距离之和为4. （1）求的方程. （2）过的右焦点且不与轴重合的直线与交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为D，O为坐标原点. （i）证明：直线恒过点； （ii）求的面积的最大值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设为正数，证明：中至少有一个小于； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省部分学校2026届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合补集的定义求，再结合交集的定义求结论. 【详解】因为，所以，又， 所以. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出，再根据复数模的计算公式可得答案. 【详解】由于，得到. 故选：C 3. 已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 详解】. 故选：A. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】由不等式可得，且，所以. 不等式的解集为. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据二倍角公式求得答案. 【详解】因为， 所以， 故， 故选：D. 6. 若函数且在区间上的值域为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 7. 已知正数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数与的图象即可得. 【详解】由题意知a，b，c分别是方程的正根， 即函数的图象与的图象的交点的横坐标， 作出相应图象如图，由图可知. 故选：A. 8. 已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（ ） A. B. e C. D. 2e 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，进而结合题意得函数在上单调递增，进而得恒成立，只要，求解函数的最大值即可得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 由条件可得， 所以. 设， 则在上单调递增. 求导得， 则在上恒成立，所以，即恒成立， 易知在上单调递增，故只需，即在时恒成立即可. 设，则，可知在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即的最大值为e. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 的夹角为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由条件根据向量数量积的坐标运算公式列方程求，即可判断，对于B，根据向量平行的坐标表示检验即可，对于C，根据向量的夹角的坐标公式计算向量的夹角余弦，由此即可判断，对于D，求，再计算，根据向量垂直的坐标表示判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，又， 所以，故，A正确； 对于B，由选项A的解析可得，因为， 所以与不共线，故B错误； 对于C，设的夹角为，则，又， 所以，故C正确； 对于D，，所以，所以，故D正确 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为1 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】借助辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质逐项判断即可得. 【详解】， 对于A，，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，的最大值为2，故B错误； 对于C，当时，，所以直线不是图象的对称轴，故C错误； 对于D，，为奇函数，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 存在函数，使得的值域为 D. 存在函数，使得是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，得或．对于A，若，代入已知条件式，可推出矛盾；对于B，若，代入已知条件式，可得；对于CD，举例说明即可判断. 【详解】令，得，所以或. 对于A，若，则对任意， 左边，右边，矛盾，故A错误； 对于B，若，则对任意， 可得，经检验，符合题意，易知在上单调递增，故B正确； 对于C，的值域为，只要满足定义域为，值域为即可， 如，，符合题意，故C正确； 对于D，令，得， 而定义域为，，故即为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则xy的最大值为_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可. 【详解】因，则，所以， 当且仅当时等号成立， 则xy的最大值为. 故答案为： 13. 若，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数式与指数式的转化及指数幂的运算性质求解. 【详解】由得，则， 所以. 故答案：. 14. 已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】设过点的直线与的图象相切于点， 则切线斜率，由切线过点，得， 因此，整理得. 令，则， 原问题等价于有三个不同零点. 当时，单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为，极小值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，极大值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司为提升员工对人工智能模型的应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛. （1）初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率； （2）复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式可计算出答案； （2）解法一：的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，可得的分布列，利用期望与方差公式求出期望与方差. 解法一：的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，可得的分布列，利用二项分布的期望与方差公式求出期望与方差. 【小问1详解】 甲进入复赛的概率为. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， ， 分布列如下： X 0 1 2 P 解法一：， 解法二：因为，所以. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求； （2）若的平分线与BC交于点，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式即可求解； （2）根据余弦定理求出三边长，再利用即可求解. 【小问1详解】 由条件及正弦定理可得， 则， 又因为，所以，故； 【小问2详解】 由余弦定理得， 将代入，得，所以， 因为为的平分线，， 得， 解得. 17. 如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明平面，再由可得答案； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量计算公式计算可得答案. 【小问1详解】 如图，连接. 为的中点，， 又且四边形为菱形，. ，又平面. 与四边形为菱形同理，可知四边形为菱形， 平面 【小问2详解】 由（1）可知即是边长为2的等边三角形，又平面， 所以两两互相垂直，以为坐标原点， 以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 已知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取. 设平面的一个法向量为， 则取. 故二面角的正弦值为. . 18. 已知椭圆的离心率为，上的点到两个焦点的距离之和为4. （1）求的方程. （2）过的右焦点且不与轴重合的直线与交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为D，O为坐标原点. （i）证明：直线恒过点； （ii）求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可得，由离心率求得，从而可得的方程； （2）（i）设，将与方程联立可得，直线，令可得，结合韦达定理证其值为0即可； （ii）设，则，记，则，设，利用导数求其最大值即可. 【小问1详解】 设的半焦距为. 由椭圆的定义可知，所以. 又，得，所以， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）由的方程可得， 设，点. 将与的方程联立可得， 所以. 直线， 令，可得， 其中， 所以直线BD恒过点. （ii）设， 则 . 记，则，， 设，，则， 当时，单调递减， 所以， 故的面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设为正数，证明：中至少有一个小于； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负判断函数的单调性； （2）分为与两种情况，结合的单调性及作差法证明； （3）当时，不等式成立；当时，等价于①，令，①式等价于，令，利用导数研究的单调性与最值即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可知的定义域为. 令，得， 故当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减. 若，则，符合题意； 若，则，则， 又，即， 所以. 综上，中至少有一个小于. 【小问3详解】 当时，，不等式成立. 当时，，即，等价于①. 令，则， ①式等价于，即. 令，则. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以. 当，即时，. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $