精品解析：湖南省名校联盟联考2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

2026届高三11月质量检测 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】由集合， 因为，可得，则满足，解得， 即实数的取值范围. 故选：B. 2. ，若，则复数（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对复数进行分母有理化，再根据利用共轭复数性质求出，进而求解复数． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：A． 3. 若，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对式子进行变形，构造出可以使用基本不等式的形式，再根据基本不等式的条件求出最小值. 【详解】，，对进行变形可得， 根据基本不等式，得， 当且仅当时即等号成立， 当时，取得最小值为. 故选：. 4. 若，，，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，再结合特殊值即可比较大小. 【详解】根据对数函数的单调性可知：， ，， 根据指数函数的单调性可知：， 所以有， 故选：D. 5. 某校对全校1000名学生的物理成绩进行统计，分成，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生的物理成绩最低分数为（ ） A. 86分 B. 87.5分 C. 88分 D. 88.5分 【答案】B 【解析】 【分析】根据分位数的定义求解即可. 【详解】因为的频率为，的频率为， 设被表彰的学生的物理成绩最低分数为， 由题意可得，解得. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得 . 故选：B 7. 函数（，），若在上恒成立，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合导数计算可得与有公共零点，再结合韦达定理与对数运算性质计算即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，当时，， 故有两个零点、； 由在上恒成立， 则时，需，时，需， 又在上单调递减，在上单调递增， 则当、为与的公共零点时，有在上恒成立， 则有，且有， 则. 故选：C. 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果. 【详解】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二项分布的概率计算公式计算可判断AB；由二项分布的期望计算公式计算可判断C；由二项分布的方差计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，， 若，则，即， 因为，， 所以，解得，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，有最大值为，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的增区间为，减区间为 C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用偶函数的定义；B利用复合函数的单调性求出在上的单调性，再利用对称性即可；C先求出当时，即可得出的范围，再结合对称性即可；D利用以及对称性和单调性即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 由，有， 可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 由函数在上单调递增，在上单调递增， 可得函数在上单调递增（复合函数的单调性）， 又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为， 故B选项正确； 对于C选项，当时，由，得，有， 可得， 又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误； 对于D选项，由及函数是偶函数， 且函数的增区间为，减区间为， ，可得，故D选项正确． 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造辅助函数，求导判断单调性，然后逐项判断即可. 【详解】构造辅助函数，求导得， 因为，所以， 所以在上单调递增. 所以，所以，即，所以A正确； 根据单调性有，所以，即，所以B错误； 因为，所以， 则有，即，所以C正确； 根据单调性有，，即，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量，的夹角为，其中，且满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，将代入求出答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为为非零向量，所以， 所以，所以， 故答案为： 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，，且，则双曲线C的离心率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由双曲线定义依次求出、和，接着在中，由余弦定理求得，再在中由余弦定理即可求解. 【详解】 设，则有， 又由，有， 在中，由余弦定理有，可得， 在中，由余弦定理有，可得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差． （1）求解析式，并求的单调递减区间； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据正弦函数性质求出单调递减区间； （2）先根据已知条件求出的范围，再通过换元法利用正弦函数性质求出值域． 【小问1详解】 函数的图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差， ，解得，，， ， 的单调递减区间为：， ，解得， 的单调递减区间为：． 【小问2详解】 ，， 令，则，在上，由正弦函数的性质可知： 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为． 在区间上的值域为． 16. 已知所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理化简，再用两角和的正弦公式展开即可求出； （2）先根据三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值即可. 【小问1详解】 根据正弦定理，由可得， ，， 故上式化为， 又，，， 故化为，即， 提公因式，得， 又，，，， . 【小问2详解】 的面积为，， 由（1）可知，， 再根据余弦定理可得，， 又，，即，解得. 17. 数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2），求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用构造法来证明即可； （2）利用分组求和，错位相减法求和即可 【小问1详解】 由可得：， 因为，所以数列是等比数列，首项和公比均为； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，所以， 设， 则， 两式相减得：， 所以， 则 . 18. 如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. （1）求的长； （2）若平面，请确定点的位置； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】（1）2； （2）点的位置为靠近的4等分点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据台体体积公式得到方程，求出； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出平面的法向量，根据得到方程，求出答案； （3）求出平面的法向量，在（2）基础上，设出面面角，利用向量夹角余弦公式得到，结合自变量取值范围，求出最大值. 【小问1详解】 底面是边长为2的正方形，， 故底面是边长为1的正方形， 所以底面的面积为，底面的面积为， 底面，故为棱台的高， 故棱台的体积为，解得； 【小问2详解】 因为底面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知， 则， 设，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以， 因为平面，所以， 解得，此时，点的位置为靠近的4等分点； 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 由（2）知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 令， 则， 因为，故当，即时，取得最大值， 最大值为. 19. 已知函数. （1）若单调递增，求的取值范围； （2）已知，且. （i）若，证明：； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用参数分离法，构造函数，将问题转化为，再利用导数求得，从而得解； （2）（i）利用换元法将等式化为，构造函数，利用导数分析得其单调性，从而得证； （ii）利用（1）结论，取，得到，进而得到，从而化简得证. 【小问1详解】 由题意得定义域，， 即恒成立. 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值，， 所以. 【小问2详解】 （i）不妨设，则， 则由，知，所以， 设， 所以单调递增，， 所以，即. （ii）由（1）可知，当时，， 所以，即当时，， 由，得，所以， 又，所以，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：第（2）（i）关键点是通过换元令，从而可构造函数，求导得出函数单调性，从而利用最值证明原命题； 第（2）（ii）关键点是通过观察找到合适的值代入运算，使得证明过程更简便，再结合，代入结论式即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三11月质量检测 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. ，若，则复数为（ ） A 2 B. C. 2或 D. 4 3. 若，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 10 D. 4. 若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某校对全校1000名学生的物理成绩进行统计，分成，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生的物理成绩最低分数为（ ） A. 86分 B. 87.5分 C. 88分 D. 88.5分 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数（，），若在上恒成立，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的增区间为，减区间为 C. 函数的值域为 D. 若，则实数取值范围为 11. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量，夹角为，其中，且满足，则______. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，，且，则双曲线C的离心率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差． （1）求的解析式，并求的单调递减区间； （2）求在区间上值域． 16. 已知所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求. 17. 数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2），求数列的前项和. 18. 如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. （1）求的长； （2）若平面，请确定点的位置； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 19. 已知函数. （1）若单调递增，求的取值范围； （2）已知，且. （i）若，证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $