精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

望城二中高一期中考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分，，三种情况进行讨论，分别求得的值，即可求出实数a的取值构成的集合. 【详解】对于集合， 当时，，满足，符合题意； 当时，，因为集合，且，所以，或，解得：，或. 当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 所以实数a的取值构成的集合为. 故选：D . 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：B 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：A 4. 已知，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 大小不定 【答案】B 【解析】 【分析】 两式平方差均为1，分子有理化即可得出结论. 【详解】， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查比较数的大小，有理化是解题的关键，属于基础题. 5. 已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的复合函数的单调性求参即可. 【详解】若，则在上恒成立，不符合条件． 若，则在上单调递增，得解得. 故选：D. 6. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，令可得的值，令，可得，进而可得.令，可得，，即可求解. 【详解】∵对任意的正数，，都有， ∴令可得，解得； 令，可得，∴. ∴，即. 令，可得，∴. 故选：D. 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用作差法比较代数式的大小判断A、B；由放缩及基本不等式判断C；应用特殊值举反例判断D. 【详解】A：由，则，则，对； B：由，则， 所以，则，对； C：由，则，对； D：若，则，错. 故选：ABC 10. 设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数可求得的单调性，由此可得的大致图象；分别在和的情况下，根据复合函数单调性可确定的单调性，结合的图象可构造不等式组求得的范围. 【详解】令，， ， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 令，解得：或， 的大致图象如下图所示， 当时，若在上单调递减，则在上单调递减， ，解得：； 当时，若在上单调递减，则在上单调递增， 或，解得：； 综上所述：实数的取值范围为，可能的取值为和. 故选：AC. 11. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确． 【详解】对于A中，当时，函数，则满足， 所以为奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则， 则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确； 对于B中，当时， ，可得，所以为增函数； 由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，由，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，解得， 故，可得， 令，解得或， 当内，，单调递增； 当内，，单调递减； 当内，，单调递增， 所以的极小值为，所以C正确． 对于D中，由，因为是方程的两个不同的根， 所以，即，且， 由，可得，所以，即， 联立方程组，可得，解得或，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】列举法表示M，由交集的定义求. 【详解】因为， 又，所以． 故答案为： （2025·天津） 13. 若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则， 所以，则， 所以 所以，故，即， 是以6为周期的周期函数， 所以. 故答案为：． 四、解答题 15. 已知集合，集合，非空集合． （1）“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； （2）命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解. （2）由全称量词命题为真及集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. 【小问2详解】 由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 16. 已知定义在上的函数满足：． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 将的替换为得， 联立 解得 【小问2详解】 不等式为，化简得， 要使其在上恒成立，则， ， 当且仅当取等，所以． 17. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元. （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元/年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？ 【答案】（1） （2）15年. 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可求得年平均使用费用y关于x的表达式； （2）由，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，电梯安装费用是25万元，使用年时，管理支出为万元，电梯的保养修费用为万元， 所以关于的表达式为. 【小问2详解】 . 当且仅当，即时等号成立. 则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少. 18. 已知为奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求得，然后检验满足即可得解； （2）根据，结合不等式性质求解函数的值域； （3）先判断为增函数，令，然后将函数有两个零点转化为在上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为， 因为为奇函数，所以 当时，，所以，故， 则，经检验，满足条件，故． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即，所以， 所以函数的值域． 【小问3详解】 因为为增函数，所以为增函数，为减函数， 所以为增函数．令，则． 由（2）可知，当时，仅一根， 所以在上有两不等根， 所以，解得，所以． 19. 设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”． （1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由； （2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为； （3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，理由： 当时，，则，解得，即， 函数的零点，因此， 所以与是“零点近距函数”. （2） 函数，由，得或， 函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增， 依题意，函数有唯一零点，则， 函数与是“零点近距函数”等价于， 所以与是“零点近距函数”的充要条件为. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数与的零点，再利用给定定义验证即得. （2）求出函数的零点，利用单调性结合设出的唯一零点，再利用充要条件的定义推理得证. （3）借助复合函数单调性确定函数与的单调性，并求出零点，再由定义列出不等式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上都单调递增， 函数在上单调递增，而，因此； 函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而，因此，由与是“零点近距函数”，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城二中高一期中考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 4. 已知，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 大小不定 5. 已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且，则或 三、填空题 12. 已知集合，则__________． （2025·天津） 13. 若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 14. 已知函数的定义域为，且，，则______. 四、解答题 15. 已知集合，集合，非空集合． （1）“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； （2）命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 16. 已知定义在上的函数满足：． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 17. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元. （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元/年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？ 18. 已知为奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 19. 设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”． （1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由； （2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为； （3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $