精品解析：云南省红河哈尼族彝族自治州2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2025-2026学年上学期期中考试（联考） 九年级数学 试题卷 （全卷三个大题，27个小题，共6页；考试用时120分钟，满分100分） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列描述错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线 C. y有最小值1 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 关于x的一元二次方程 （k为实数）根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 不能确定 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，是抛物线上两点，则，大小关系为（　　）． A. B. C. D. 8. 如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线y＝2（x－5）2－2；可以由抛物线y＝2x2平移得到，则平移方法是（ ） A. 向左平移5个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移5个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移5个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移5个单位，再向下平移2个单位 11. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 13. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 14. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 15. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 已知方程是关于的一元二次方程，则的值是____． 17. 俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 18. 如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为________． 19. 已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为___________． 三、解答题（共62分） 20. 解方程 （1）； （2） 21. 在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的，并写出的坐标； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和 （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 23. 如图，二次函数的图象经过，，三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足 时，随x的增大而减小． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当时，y的取值范围 ． 24. 某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 25. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 27. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为点M． （1）求点A， B， C， M的坐标； （2）对称轴上有一点P，当最小时，求点P的坐标； （3）二次函数图象上是否存在点 Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中考试（联考） 九年级数学 试题卷 （全卷三个大题，27个小题，共6页；考试用时120分钟，满分100分） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，一个图形绕某一点旋转180度后，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外，则；点P在圆上，则；点P在圆内，则．直接根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径是5，线段的长为4，即点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 4. 对于抛物线，下列描述错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线 C. y有最小值1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：对于， ∵，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，y有最大值为，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x的增大而增大， 观察四个选项，A、B、D均正确，C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 5. 关于x的一元二次方程 （k为实数）根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】 ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 7. 若，是抛物线上两点，则，大小关系为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质可得函数开口方向向下，对称轴的右侧y随x的增大而减小即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求得函数的对称轴、开口方向以及增减性是解答本题的关键． 8. 如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，根据勾股定理求出的长度是解本题的关键． 【详解】连接， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 9. 某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，共有个队参加比赛，列式，即可作答． 【详解】解：赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，且设有个队参加比赛， ∴． 故选：C． 10. 抛物线y＝2（x－5）2－2；可以由抛物线y＝2x2平移得到，则平移方法是（ ） A. 向左平移5个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移5个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移5个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移5个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线y＝2（x－5）2－2；可以由抛物线y＝2x2平移得到， y＝2x2的顶点坐标为，而平移后抛物线y＝2（x－5）2－2的顶点坐标为（5，-2） ∴向右平移5个单位，再向下平移2个单位． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 11. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 12. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的定义可得，再根据角的和差即可得． 【详解】解：由旋转的定义得：和均为旋转角， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的概念是解题关键． 13. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数图象上点的坐标特征，利用图象解不等式，根据抛物线与直线的两个交点分别为，，当抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集求解即可． 【详解】解：抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集，，， 或， 故选：C． 15. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故①正确， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②错误， ∵， ∴，故③正确， ∵时，， ∴，故④错误， ∵，且对称轴为直线， ∴抛物线与横轴另一个交点坐标为， 通过图象可得，当时，，故⑤错误， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 已知方程是关于的一元二次方程，则的值是____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：1． 17. 俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 18. 如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 19. 已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． 三、解答题（共62分） 20. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， ， 解得． 21. 在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的，并写出的坐标； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）根据关于原点对称的点的特征得到点A、B、C关于原点的对称点、、的位置，然后连线即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点、即可得到． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和 （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∵， ∴， 解得，(舍去)． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，二次函数的图象经过，，三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足 时，随x的增大而减小． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当时，y的取值范围 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）直接观察图象即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）图象法求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，随x的增大而减小； 故答案为：； 【小问2详解】 设抛物线的解析式为， 把，，代入，得 ，解得， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，； 由图象可知：当时，． 24. 某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 【答案】人行通道的宽度为米 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为米，根据矩形绿地的面积和为平方米，列出关于的一元二次方程，求解即可．本题主要考查一元二次方程的实际应用的面积问题，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设人行通道的宽度为米，根据题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为米． 25. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，利润最大，最大值为12250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列出关系式即可求解； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：． 【小问2详解】 解：根据题意得： ． ∴当元时，取最大值元． 26. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 27. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为点M． （1）求点A， B， C， M的坐标； （2）对称轴上有一点P，当最小时，求点P的坐标； （3）二次函数图象上是否存在点 Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1），，， （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）对于，当时，，可求出点C的坐标；令，则或3，可求出A和B的坐标；化为顶点式可求出点M的坐标； （2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）由，则，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴． 令，则 解得：或3， ∴，． ∵， ∴ 【小问2详解】 解：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点， 由（1）点， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由（1）可知点， ∵，则， ∴，即， 解得：或， ∴点Q的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $