1.4.2 一元二次不等式及其解法&1.4.3 一元二次不等式的应用(课时训练)-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

班级 姓名 第一章 01 §4一元二次函数与一元二次不等式 4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的应用 A级|必备知识基础练 5.(探究点三)（多选题）已知一元二次函数y= 1.(探究点一)不等式x一x2>0的解集是( ax2+bx十c,且不等式y>-2x的解集为 (1,3),则() A.(0,1) A.a<0 B.(-c∞，-1)U(0,+∞) B.方程a.x2十bx十c=0的两根为1,3 C.(-1,0) C.b=-4a-2 D.(-∞，0)U(1,+∞) D.若方程y十6a=0有两个相等的根，则实 2.(探究点一)若集合A={x|(2x十1)(x一 3)<0},B={x|x∈N+,x≤5}，则A∩B等 数a=-吉 于() 6.(探究点一)设x∈R,使不等式3x2十x一 A.{1,2,3} 2<0成立的x的取值范围为 B.{1,2} 7.(探究点三)若关于x的不等式(m一1)x2十 C.{4,5} (m一1)x十2>0的解集为R,则实数m的取 D.{1,2,3,4,5》 值范围是 3.(探究点二)若关于x的不等式ax一b>0的 8.(探究点三)解关于x的不等式：ax2十 解集为(1，十∞)，则关于x的不等式 (2-4a)x-8>0. az+b>0的解集为( x-2 A.{x|x<-2或x>1} B.{x|1<x<2 C.{xx<-1或x>2} D.{x|-1<x<2} 4.(探究点四)某商场若将进货单价为8元的商 品按每件10元出售，每天可销售100件，现 准备采用提高售价来增加利润，已知这种商 品每件销售价提高1元，销售量就要减少 10件.那么要保证每天所赚的利润在320元 以上，销售价每件应定为() A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 -244 9.(探究点三)已知函数y=x2一2x十a,且不 B级丨关键能力提升练 等式y<0的解集为{x|一1<x<t. 10.(多选题)(2025云南曲靖高一期末)已知 (1)求实数a,t的值； x>0,y>0,若x+y=xy-3,则() (2)实数c为何值时，一元二次不等式(c十 A.xy≥9 a)x2十2(c十a)x-1<0的解集为R. B.xy≥12 C.y>1 D.0<y<1 11.在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab十2a十b, 则满足x⊙(x一2)<0的实数x的取值范 围为( A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 12.一元二次不等式x2+a.x+b≤0(a,b∈R) 的解集为{xx1≤x≤x2},且|x1|十 |x2≤2，下列结论正确的是() A.|a+2bl≥2 B.|a+2b1≤2 C.al≥1 D.b≤1 13.(2025广西南宁高一开学考试)若关于x的 一元二次不等式(1一a)x2-4x+6>0的 解集是{x|-一3<x<1},那么若ax2+bx+ 3≥0的解集为R,则实数b的取值范围是 14.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹 果，假设每箱售价不得低于50元且不得高 于55元.市场调查发现，若每箱以50元的 价格销售，平均每天销售90箱.价格每提高 1元，平均每天少销售3箱 (1)求平均每天的销售量y(单位：箱)与销售 单价x(单位：元/箱)之间的函数关系 (2)求该批发商平均每天的销售利润（单 位：元)与销售单价x(单位：元/箱)之间 的函数关系 -245 (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获 C级|学科素养创新练 得最大利润？最大利润是多少？ 15在R上定义运算：8日=ad-c,若不 等式一2≥1对任意实数：恒成 立，则实数a的最大值为 16.已知关于x的不等式(kx一2一4)(x一 4)>0的解集为A,其中k∈R (1)若5∈A,求实数k的取值范围. (2)求不等式的解集A. (3)是否存在实数，使得上述不等式的解 集A中只有有限个整数？若存在，求出 使得A中整数个数最少的k的值：若不 存在，请说明理由， -2463,故A正确：方程（红一2）(x一3)=m化为x2一5z十6一m=0, 由方程有两个不等实根得△=25一4(6-m)=1+4m>0, m>-子，故B正确：当n>0时，画出函数y=(c 2)(x一3)和函数y=m的图象如图，由(x一2)(x一3)=m得， 函数y=(红x一2)(x一3)和函数y=m的交点横坐标分别为x1, xg,由图可知，x1<2<3<x2,故C错误，D正确.故选ABD. 5 4 y=-2-3 一y=m 外》文 11.30由题意，△=36一4(4m+1)>0,即m<2, 且x1十x2=6,x1x3=4m十1， 因为|x1一x2=√(x1十x)一4x1x2=4, 则√36-4(4m+1)=4,解得m=1,即x1x:=5, 所以xx2十x1x号=x1x2(x1十x:)=5X6=30. 2.解起点（一2,2）代入y-合+号x+e中，得 -子-子十c=2,解得c= 3" ,此函数图象开口向下，当x=1时，函数有最大值5， 13.解设方程的两根为x1,x2: 4=(2k-1)2-4X(-k+1)=4k2-3>0, (1)由题意得 解得 xx2=-k+1<0, k>1.所以实数。的取值范围为(1，十∞). △=4k2一3≥0， (2)由题意得x十工，=2k一1>0，解得分≤k<1. x1x2=-k+1>0, 所以实数的取值花周为[停)小。 (3)设y=x2-(2k-1)x一+1， 由题意得，当x=1时，y<0, 即12-(2k-1)-k十1-3-3<0，所以k>1. 所以实数k的取值范国为(1，十∞)。 4.2一元二次不等式及其解法 4.3一元二次不等式的应用 1.A一元二次不等式对应方程的两根为0和1，且抛物线 开口向下，所以解集为{x|0<x<1}. 2B2z+1-0<0i-号<<3又xeN,且 x≤5，则x=1,2.故遮B 3.C:ax-b>0的解集为(1，十o∞)，.a>0,ax-b>0 可化为>治治-1中a-6营0可化为 a…a x-2 0,a(x+1)(x-2)>0,x>2或x<-1.故选C 4.C设铺售价定为每件x元，利润为y,则y一(x 8)[100-10(x-10)],依题意，得(x-8)[100-10(x-10)]> 320,即x2一28.x+1920,解得12<x<16,所以每件铺售价应 定为12元到16元之间. 5.ACD由于y>-2x的解集为(1,3)，即ax2+(b+ 2)x十c>0的解集为(1,3)，则a<0,且1,3为方程ax2+ 6+2x+c=0的振1+3=-生，1×3=台b= 一4a一2，c■3a,故A,C正确，B错误：对于D项，y十6a■0有两 个相等的根，即a.x2一(4a十2)x十9a=0有两个相等的根，∴，△= [-（a+2-36a2=0,a<0a=-号专故D正确 6(-1,号) 由3x2+x-20,得(x十1D(3x-20, 解得-1<号满足题意的x的取值花调是(-1，号）】 7.[1,9)美于x的不等式(m-1)x2十(m-1)x十2>0的解 集为R,当m一1=0，即m=1时，不等式化为2>0，显然饭成立，符 m-1D0, 合题意；当m一1≠0，即m≠1时，则 4=(m-1)2-8(m-10<0, 解得1<m<9.综上，实数m的取值范国是[1,9). 8.解若a=0,不等式可化为2x一8>0， 所以x>4,不等式的解集为{xx>4). 若a≠0，不等式可化为(ax十2)(x一4)>0， 令ax+2x-)-0,得x-吕或x=4 若2>0，则-2<4， a 所以不等式的解集为>4或x<一} 若a<0,当-二<4，即a<-2时，不等式的解集为 当-吕>4：即-合<a<0时，不等式的解集为{：4< 当一吕-4，即a=一时，不等式的解集为空集 a 综上，当a=0时，不等式的解集为(x|x>4}: 当a>0时，不等式的解集为{女>4或x<一吕}： 当a<时，不等式的解集为{✉-吕<红<4： 当一之<a<0时，不等式的解集为{工4<红<一}： 当a一时，不等式的解桑为空集 9.解(1)：x2-2x十a<0的解集为{x|-1<x<t}, .-1+t=2,-1×t=a, 解得t=3,a=-3. (2)由(1)可知a=一3，代入得(c-3)x2十2(c-3)x-1<0, c-3<0, 其解集为R, 或c=3,解得2<c≤3. a<0, 故实数c的取值范国为(2,3]。 10.AC图为x>0,y>0,所以x+y=xy-3>0,即xy> 3,周为x≤红+y 42,即xy≤y-3) 4 整理可得(xy)2-10xy十9≥0，解得xy≥9或xy≤1（舍 去)，当且仅当x=y=3时，等号成立，故A正确，B错误： 由x十y=xy-3可得y十3=x(y-1)>0,可得y>1,故 C正确，D错误. 故选AC 11.B根据给出的定义，得x⊙(x一2)=x(x一2)十2x十 (x-2)=x2十x-2=(x+2)(x-1).因为x⊙(x-2)<0,所 以(x+2)(x-1)<0,所以不等式的解集是{x|-2<x<1. 12.D由题意得 x1十x=-a, 又|x1|+|x2|≤2，不妨 z1x:=b, 令x1=-1,x1=0,则a=1,b=0,则1a+2b|-1,A不成立，令 x1=x:=-1,则a=2,b=1,则|a+2b|=4,B不成立，令 x1=-1,x2=1,则a=0,b=-1,则a=0,C不成立；b= <(色产到'<（西生）'，当仅喜= 1时，等号成立，D正确。 13.[一6,6]由-元二次不等式(1-a)x2一4x+6>0的 解集是(x|-3<x<1},得1-a<0,且-3,1是方程(1- 4 =一2， 1-a a)x2一4x十6=0的两个实根，即 因此a=3, 6 1-a =一3， 不等式ax2+bx+30,即3x2+bx+30的解集为R,则 △=b2-36≤0，解得一6≤b≤6， 所以实数b的取值范国是[一6,6门. 14.解(1)根据题意，得y=90-3(x一50)， 化简，得y=-3x+240(50x≤55，x∈ND. (2)因为该就发商平均每天的销售利涧=平均每天的销售 量X每精销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x- 9600(50≤x≤55，x∈N). (3)因为w=一3.x2+360x-9600=一3(x-60)2十1200， 所以当工<60时，心随x的增大而增大. 又50x≤55，x∈N,所以当x=55时，0有最大值，最大 值为1125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且 最大利润为1125元. 15.2 基福格出的定义，得干：引-红 1)-(a-2)(a+1)≥1，即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x a2-。-2,解得-合<a≤号，故a的最大值为受 16.解(1)由题意(5k一k2-4)(5一4)>0，解得1<k<4, 所以k的取值范围是{k1<k<4}. (2)当k=0时，不等式化为一4(x一4)>0， 所以x4,A={xx<4}: 当>0时，不等式化为(x一为-是)x-40>0, 令(x一-)ú-0=0，得x=k+冬，或x=4 当>0且k≠2时，k+>4, 所以A={女<4，浅>+}： 当及-2时，k+套=4，所以A-红x4: 当及<0时，不等式化为(x一-年)（红一4）<0，易知十 冬<0<，所以A-{k+是<<小， 熔上，当>0且长≠2时A={<4,或x>+是}： 当k=2时，A={xx≠4)： 当k=0时，A={xx<4): 当表<0时A=+<<4小 (3)存在，当k=一2时A中整数个数最少， 由(2)知，当k≥0时，A中整数的个数为无限个： 当k<0时，A中整数的个数为有限个 要使A中整数的个载兼少，则十冬取最大值 国为十冬一4，当且仅当点=一2时，等号减立， 所以当k=一2时，A中整数的个数最少，