1.5　等腰三角形 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质，通过基础辨析、综合应用到素养探究的三层题目，构建从定义到性质再到拓展的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是融入中考及各地期中期末真题，设置新定义题型和规律探究题，培养推理能力与创新意识。采用问题驱动分层教学，解析步骤清晰，助力学生形成逻辑思维，也为教师提供丰富素材，提升教学效率。

第1章　三角形 第1课时　等腰三角形的性质 1.5　等腰三角形  　等边对等角 1.(2023四川眉山中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则 ∠ACD的度数为 ( ) A.70°　    B.100°　    C.110°　    D.140° C 解析　∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠A=40°, ∴∠ABC=∠ACB= = =70°. ∵∠ACD是△ABC的一个外角, ∴∠ACD=∠A+∠ABC=40°+70°=110°.故选C. 2.(2025江苏南通海门开学考)如图,△ABC中,以B为圆心,BC长 为半径画弧,分别交AC,AB于D,E两点,并连接BD,DE.若∠A= 30°,AB=AC,则∠BDE的度数为 ( ) A.67.5°　　B.52.5°　　C.45°　　D.75°     A     解析　　∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB= ×(180°-30°)=75°, ∵以B为圆心,BC长为半径画弧, ∴BE=BD=BC, ∴∠BDC=∠ACB=75°, ∴∠CBD=180°-75°-75°=30°, ∴∠DBE=75°-30°=45°, ∴∠BED=∠BDE= ×(180°-45°)=67.5°.故选A. 3.(2025江苏无锡江阴期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相交并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=78°,则∠CDE的度数是 ( ) C A.52°　　B.66°　　C.76°　　D.78° 解析　∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC, ∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC, ∴∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=78°,∴∠ODC=26°, ∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=102°, ∴∠CDE=102°-∠ODC=76°.故选C. 4.(2025江苏无锡梁溪期中)如图,△ABC中,D是BC上一点,AC= AD=DB,∠BAC=108°,则∠ADC=_____°. 48 解析　∵AC=AD=DB,∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C,设∠B= ∠BAD=α,则∠ADC=∠C=2α, ∵∠BAC=108°,∴∠B+∠C=72°, ∴α+2α=72°,∴α=24°,∴∠ADC=2α=48°. 5.(2025江苏徐州新沂月考)如图,∠AOB=70°,点C是边OB上的 一个定点,点P在角的另一边OA上运动,当△COP是等腰三角 形时,∠OCP的度数是_________________. 55°或40°或70° 解析　有三种情况: ①OC=OP1,∵∠AOB=70°,∴∠OCP1= =55°; ②CO=CP2,∵∠AOB=70°,∴∠OCP2=180°-70°×2=40°; ③P3O=P3C,∵∠AOB=70°,∴∠OCP3=70°. 综上所述,∠OCP=55°或40°或70°. 6.在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的4倍,我们称这 个三角形为“4倍角三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍 角三角形”,那么其底角的度数为__________. 30°或80° 解析　①设这个三角形的底角的度数为x,则另外两个角的度 数分别为x,4x,根据三角形内角和定理,得x+x+4x=180°,解得 x=30°; ②设这个三角形的顶角的度数为x,则两个底角的度数分别为 4x,4x,根据三角形内角和定理,得x+4x+4x=180°,解得x=20°, 则4x=80°. 综上,底角的度数为30°或80°.  　三线合一 7.(2025江苏无锡滨湖期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, 垂足为D,BD=4,则BC= ( ) A.2　　B.4　　C.6　　D.8 D 解析　根据等腰三角形三线合一的性质即可求得BC的长. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=4, ∴BC=BD+CD=8.故选D. 8.(2023吉林中考)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点B和点C 为圆心,大于 BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交 BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为______度. 55 解析　∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.由作图易得AE垂直平分BC,∴AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE= ∠BAC=55°.故答案为55. 9.在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E是AD上任意一点. (1)如图1,连接BE,CE,BE=CE成立吗?说明理由. (2)如图2,当∠BAC=45°,BE的延长线与AC相交于点F,且BF⊥ AC时,EF=CF成立吗?说明理由. 解析    (1)成立.理由:∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE. 在△ABE和△ACE中,  ∴△ABE≌△ACE(SAS),∴BE=CE. (2)成立.理由如下: ∵∠BAC=45°,BF⊥AF,∴△ABF为等腰直角三角形, ∴AF=BF.∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC, ∴∠CBF+∠BED=90°,∵BF⊥AC,∴∠EAF+∠AEF=90°, ∵∠BED=∠AEF,∴∠ EAF=∠CBF. 在△AEF和△BCF中,  ∴△AEF≌△BCF(ASA),∴EF=CF.   10.(2025江苏南京建邺月考,★★☆)如图,在等腰△EBC中,EB =EC,AB=BC,∠E=40°,∠ACD的度数为 ( ) A.10°　　B.15° C.25°　　D.30°  B 解析　∵BE=EC,∠E=40°, ∴∠B=∠BCE=(180°-40°)÷2=70°, ∵AB=BC,∴∠ACB=(180°-70°)÷2=55°, ∴∠ACD=∠BCE-∠ACB=70°-55°=15°,故选B. 11.(2025广东佛山禅城期中,★★☆)如图,在第1个三角形A1 BC中,∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使 A1A2=A1D,得到第2个三角形A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长 A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个三角形A2A3E;……按此作法 继续下去,则第2 025个三角形的底角的度数是 ( ) A. ×75°　　B. ×65° C. ×75°　　D. ×65°     A     解析　∵∠B=30°,A1B=CB, ∴∠BA1C=∠C= (180°-∠B)= ×150°=75°. ∵A1A2=A1D,∴∠DA2A1=∠A1DA2, ∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A1DA2=2∠DA2A1, ∴∠DA2A1= ∠BA1C= ×75°, 同理可得∠EA3A2= ∠DA2A1= ×75°, 以此类推,第n个三角形的底角度数是 ×75°, ∴第2 025个三角形的底角度数是 ×75°.故选A. 12.(2025江苏徐州睢宁期中,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=BD.设∠ABC=α,则∠ADC=_________(用含α的代数式表示). 180°- 解析　∵AB=BD=BC, ∴∠DAB=∠ADB,∠BDC=∠BCD, ∵四边形内角和为360°, ∴∠ABC+∠DAB+∠ADB+∠BDC+∠BCD=360°, ∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC=360°, 即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC=360°, ∵∠ABC=α,∠ADB+∠BDC=∠ADC, ∴2∠ADC=360°-α,∴∠ADC=180°- . 13.(2023青海西宁中考,★★☆)在△ABC中,AB=AC,∠BAC= 100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则 ∠ADB的度数是________. 90°或50° 解析　∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°, ∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)=40°. ∵△ABD为直角三角形,∴有以下两种情况: ①∠ADB=90°;②∠BAD=90°,此时∠ADB=180°-∠BAD- ∠B=180°-90°-40°=50°. 故答案为90°或50°. 14.(2022浙江温州中考,★★☆)如图,BD是△ABC的角平分线, DE∥BC,交AB于点E. (1)求证:∠EBD=∠EDB. (2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由. 解析    (1)证明:∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠CBD=∠EBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB, ∴∠EBD=∠EDB. (2)CD=ED.理由:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC. ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, ∴∠ADE=∠AED, 过点A作AF⊥ED于F(图略), 在△AFD与△AFE中,  ∴△AFD≌△AFE(AAS),∴AD=AE, ∴CD=BE.由(1)得∠EBD=∠EDB, ∴BE=DE,∴CD=ED.   15.【新课标·推理能力】(2025江苏南京鼓楼月考)【问题】 如图,已知在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平 分AC,交AC于点E,交BC于点F,连接AF.当∠B=30°,∠BAF= 90°时,求∠DAC的度数. 【探究】 若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那 么∠DAC的度数会改变吗?请说明理由. 【拓展】 若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉,再将“∠BAF= 90°”改为“∠BAF=α”,其余条件不变,则∠DAC=_____. 解析　【问题】 如图,连接AD, ∵AB=BD,∠B=30°,∴∠BAD=∠BDA= =75°, ∵EF垂直平分AC,∴∠CAF=∠C, ∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°,∠BAF=90°, ∴∠AFB=90°-30°=60°, ∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴∠C=∠CAF=30°, ∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°. 【探究】 ∠DAC的度数不变,理由:如图,连接AD, ∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA= =90°- ∠B, ∵EF垂直平分AC,∴∠CAF=∠C, ∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°,∠BAF=90°, ∴∠AFB=90°-∠B, ∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C, ∴∠C=∠CAF=45°- ∠B,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°-  ∠B- =45°. 【拓展】 如图,连接AD, ∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA= =90°- ∠B, ∵EF垂直平分AC,∴∠CAF=∠C, ∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°,∠BAF=α, ∴∠AFB=180°-α-∠B, ∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C, ∴∠C=∠CAF=90°- α- ∠B, ∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°- ∠B- = α. 故答案为 α. $第1章　三角形 第2课时　等腰三角形的判定 1.5　等腰三角形  　等腰三角形的判定 1.(2024江苏南京联合体期中)在△ABC中,其两个内角如下,则 能判定△ABC为等腰三角形的是 ( ) A.∠A=40°,∠B=50°　    B.∠A=40°,∠B=60° C.∠A=40°,∠B=70°　    D.∠A=40°,∠B=80°     C     解析    A.180°-40°-50°=90°,故选项A不符合题意; B.180°-40°-60°=80°,故选项B不符合题意; C.180°-40°-70°=70°,故选项C符合题意; D.180°-40°-80°=60°,故选项D不符合题意.故选C. 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,点D是AC上一点,连接 BD,∠DBC=60°,BD=4,则AD的长是 ( ) A.4　    B.5　    C.6　    D.8     A     解析　　∵∠C=90°,∠DBC=60°,∴∠BDC=90°-∠DBC= 30°.∵∠A=15°,∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°,∴∠A=∠ABD, ∴AD=BD=4.故选A. 3.(2025江苏南京鼓楼月考)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC 和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F.若FG=5,ED=8,则EB+ DC的值为______. 13 解析　∵ED∥BC,∴∠EGB=∠GBC,∠DFC=∠FCB, ∵BG平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠ABG=∠GBC,∠ACF= ∠FCB,∴∠EBG=∠EGB,∠DFC=∠ACF,∴EB=EG,DC=DF, ∵FG=5,ED=8,∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+5=13, 故答案为13. 4.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6 cm,CB= 5 cm,则AC=_________cm.       6     解析　如图,延长原长方形的边. ∵长方形的对边平行,∴∠1=∠ACB.由折叠的性质得,∠1= ∠ABC,∴∠ABC=∠ACB, ∴AC=AB.∵AB=6 cm, ∴AC=6 cm.故答案为6. 5.【学科特色·教材变式】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°, BE平分∠ABC交AC于E,CD平分∠ACB交BE于D,则图中有_ 个等腰三角形.   5 解析　∵AB=AC,∠A=36°,∴△ABC是等腰三角形,∴∠ACB=∠ABC=72°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=36°, ∴∠A=∠ABE,∴△ABE是等腰三角形.∵∠BEC=∠A+∠ABE=72°=∠ACB,∴△BEC是等腰三角形.∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=36°=∠EBC,∴△BCD是等腰三角形. ∵∠EDC=∠DBC+∠DCB=72°=∠DEC,∴△CDE是等腰三角形.综上,题图中共有5个等腰三角形. 6.如图,在△ABC中,AB=BC,点D在边AB的延长线上,过点D作 DF⊥AC于F,交BC于E.求证:BD=BE. 证明　∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°.∵AB=BC, ∴∠A=∠C,∵∠D=90°-∠A,∠CEF=90°-∠C, ∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF,∴∠D=∠BED, ∴BD=BE. 7.(2025江苏常州工业园月考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°, AD⊥BC,BE平分∠ABC,G为EF的中点,求证:AG⊥EF. 证明　∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE, ∵∠BAC=90°,∴∠AEF=90°-∠ABE, 又∵∠AFE=∠DFB=90°-∠CBE, ∴∠AFE=∠AEF, ∴△AFE为等腰三角形, 又∵G为EF的中点,∴AG⊥EF.   8.(2025江苏苏州常熟实验学校月考,★★☆)如图,△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=∠DBC=36°,则图中等腰三角形 的个数是 ( ) A.4　　B.5　　C.3　　D.2     B     解析　根据三角形的外角的性质,得∠AOB=∠COD=72°, 根据三角形内角和定理,得∠ABO=∠DCO=36°,∴∠ABC= ∠DCB=36°+36°=72°,由等角对等边得等腰三角形有 △AOB,△COD,△ABC,△CBD和△BOC.故选B. 9.(2024北京朝阳期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C= 36°,D,E分别是线段BC,AC上的点,根据下列条件,不能判 定△ADE是等腰三角形的是 ( ) A.∠1=2∠2　     B.∠1+∠2=72° C.∠1+2∠2=90°　    D.2∠1=∠2+72°     C     解析　当∠1+2∠2=90°时,∠1=90°-2∠2, ∴∠DAE=180°-∠B-∠C-∠1=108°-∠1=108°-(90°-2∠2)= 18°+2∠2,∠AED=36°+∠2,∠ADE=36°+∠1-∠2=36°+90°-2∠2-∠2=126°-3∠2, ∴∠DAE,∠AED,∠ADE之间的大小关系无法确定.故根据选 项C的条件不能判定△ADE是等腰三角形.故选C. 10.(2025江苏南京联合体期中,★★☆)如图,l是一段平直的铁 轨,若某天小明站在距离铁轨100米的A处,他发现一列火车从 左向右自远方驶来,已知火车长200米,设火车的车头为B点,车 尾为C点,小明站着不动,则从小明发现火车到火车远离他而 去的过程中,以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时 刻共有 ( )      D     A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个 解析　①当车长为底时,AB=AC, 得到的等腰三角形是△ABC; ②当车长为腰时,B1C1=C1A,C1A=C1B2,C2A=B3C2,AC2=C2B4,分别 得到的等腰三角形是△AB1C1,△AB2C1,△AB3C2,△AC2B4. 综上,得到的等腰三角形共有5个.故选D. 11.【学科特色·分类讨论思想】(2024江苏淮安淮阴期中,★★★)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,射线AH⊥BC于点D,点M为射线AH上一点,如果点M满足△ABM为等腰三角形, 那么∠ABM的度数为____________________. 40°或70°或100° 解析　∵AB=AC,∠BAC=80°,AH⊥BC于点D, ∴∠BAD= ∠BAC=40°. 如图1,当∠ABM=∠AMB= ×(180°-40°)=70°时,AM=AB,此时△ABM为等腰三角形. 如图2,当∠AMB=∠BAD=40°时, AB=MB,此时△ABM为等腰三角形,∴∠ABM=180°-∠BAD- ∠AMB=100°. 如图3,当∠ABM=∠BAM=40°时,AM=BM,此时△ABM为等腰 三角形. 综上,∠ABM的度数是40°或70°或100°. 12.(2024江苏苏州相城期中,★★☆)如图,已知AB=AC,∠ACB =2∠BAC,点D为BC的中点,CE平分∠ACB交AD于点I,交AB于 点E,连接BI. (1)求∠AIC的度数. (2)求证:△IBE为等腰三角形. 解析    (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=2∠BAC, ∴∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°,∴∠BAC=36°, ∴∠ACB=72°. ∵CE平分∠ACB,∴∠ACI= ∠ACB=36°.∵点D为BC的中点, ∴AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=18°. ∴∠AIC=180°-∠CAD-∠ACI=126°. (2)证明:∵AB=AC,点D为BC的中点,∴AD垂直平分BC,∴BI= CI,∴∠BID=∠CID.∵∠AIC=126°,∴∠BID=∠CID=180°- 126°=54°,∴∠BIE=180°-54°-54°=72°. ∵∠BEI=∠BAC+∠ACE=72°,∴∠BIE=∠BEI, ∴BE=BI,即△IBE为等腰三角形.   13.【新课标·创新意识】规定:从三角形一个顶点引出一条射 线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成 两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角 形,另一个与原三角形的三个角分别相等,我们把这条线段叫 作这个三角形的等角分割线. 示例:如图1,在△ABC中,∠ACB=110°,∠A=40°,∠ABC=30°,CD把△ABC分割成△ADC和△CDB两个小三角形,其中, ∠CDB=110°,∠DCB=40°,∠ACD=∠ADC=70°.∵∠ACD=∠ADC,∴AC=AD,即△ADC为等腰三角形,∵∠B=∠B,∠DCB= ∠A=40°,∠ACB=∠CDB=110°,∴△BDC与△BCA的三个角分别相等,∴CD为△ABC的等角分割线. (1)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=50°,∠B=30°, 求证:CD为△ABC的等角分割线.   (2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的等角分割线,求 ∠ACB的度数. 解析    (1)证明:∵在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.∵CD为角平分线, ∴∠ACD=∠DCB= ∠ACB=50°, ∴∠BCD=∠A,∠DCA=∠A,∴CD=AD, ∴△ACD为等腰三角形.∵∠BCD=50°,∠B=30°, ∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=100°, ∴∠BDC=∠ACB,∵∠B=∠B,∠BCD=∠A,∴△BDC与△BCA的 三个角分别相等,∴CD为△ABC的等角分割线. (2)∵∠A=48°,CD是△ABC的等角分割线, ∴△ACD为等腰三角形或者△BCD为等腰三角形. 当△ACD是等腰三角形时, ①当AC=AD,∠A=∠BCD=48°时, 如图1, 则∠ACD=∠ADC= =66°, ∴∠BDC=∠A+∠ACD=48°+66°=114°, ∠ACB=∠ACD+∠BCD=66°+48°=114°; 图1 ②当DA=DC,∠A=∠BCD=48°时,如图2, 则∠ACD=∠A=∠BCD=48°, ∴∠BDC=∠ACD+∠A=96°, ∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°; ③当CA=CD,∠A=∠BCD=48°时, ∠ADC=∠A=∠BCD=48°, ∴AD∥BC,故此情况不存在. 图2 当△BCD是等腰三角形时, ①当BD=CD,∠B=∠ACD时,如图3, 则∠ACD=∠B=∠BCD, 由∠A+∠B+∠ACB=180°,得48°+3∠ACD=180°, ∴∠ACD=44°,∴∠ACB=2∠ACD=88°; 图3 ②当BD=BC,∠ACD=∠B时,如图4, 则∠BCD=∠BDC,设∠ACD=∠B=α, 则∠BCD=∠BDC=∠ACD+∠A=α+48°, 由∠B+∠BCD+∠BDC=180°, 图4 得α+2(α+48°)=180°, ∴α=28°, ∴∠ACB=α+α+48°=104°; ③当CD=BC,∠ACD=∠B时, ∠ACD=∠B=∠BDC, ∴AC∥BD,故此情况不存在. 综上,∠ACB的度数为114°或96°或88°或104°. $第1章　三角形 第4课时　直角三角形的性质 1.5　等腰三角形      直角三角形斜边上的中线的性质 1.(2023湖南株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某 三角形部件的尺寸.如图,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点, 点A,B对应的刻度为1,7,则CD= ( )   B     A.3.5 cm　    B.3 cm　    C.4.5 cm　    D.6 cm 解析　由题图可得AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,点D为线段 AB的中点,∴CD= AB=3 cm.故选B. 2.(2025江苏常州武进月考)如图,一根木棍斜靠在与地面(OM) 垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿 地面向右滑行,在此滑动过程中,点P到点O的距离 ( ) A.变小　    B.不变 C.变大　    D.无法判断     B     解析　　根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 OP= AB,即点P到点O的距离不变. 3.(2025江苏苏州吴中期中)如图,在Rt△ABC和Rt△ABD中, ∠ACB=∠ADB=90°,AB=10,M是AB的中点,连接MC,MD, CD,若CD=6,则△MCD的周长为 ( )   A.13　　B.14 C.15　　D.16     D     解析　根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 CM=DM= AB=5,又因为CD=6,所以△MCD的周长为16. 4.已知直角三角形斜边上的中线是2.5 cm,斜边上的高是2 cm, 则这个直角三角形的面积是 cm2. 5 解析　根据题意得直角三角形的斜边长为2.5×2=5(cm),则其 面积为 ×5×2=5(cm2).故答案为5. 5.【学科特色·教材变式】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC= BC,D是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上,且AE=CF. (1)求证:DE=DF,DE⊥DF. (2)若AC=2,求四边形CEDF的面积. 解析     (1)证明:如图,连接CD.∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴△ABC是等腰直角三角形,∠A=∠B=45°. ∵D为AB的中点,∴BD=CD,CD平分∠ACB,CD⊥AB, ∴∠DCF=45°.在△ADE和△CDF中,  ∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF,∠ADE=∠CDF. ∵∠ADE+∠EDC=90°, ∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°, 即DE⊥DF. (2)∵△ADE≌△CDF,∴S△AED=S△CFD, ∴S四边形CEDF=S△EDC+S△CFD=S△EDC+S△AED=S△ADC. ∵D是AB的中点, ∴S四边形CEDF=S△ACD= S△ACB= × ×2×2=1.  　含30°角的直角三角形的性质 6.如图,在台风中,一棵树的树干在离地面4米处折断倒下,倒下 部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为 ( )   A.6米　　B.8米　　C.12米　　D.15米     C     解析　根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一 半,知这棵树折断部分的长度为8米,因为折断处离地面4米,所 以折断前树的高度为12米. 7.(2025江苏南通通州月考)如图,在△ABC中,∠B=∠C=30°, AD⊥AB交BC于点D,BC=12,则BD= . 8 解析　∵∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°, ∴∠CAD=30°=∠C,BD=2AD, ∴AD=CD,∴BD= BC,∵BC=12,∴BD=8.   8.(2025江苏扬州高邮期中,★★☆)如图,△ABC中,∠C=90°, AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上 滑动,且DE=4,若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值 为 ( ) A.2　　B.3　　C.3.5　　D.4     B     解析　如图,连接CM,CN,   △ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,BC=6, ∵DE=4,点M,N分别是DE,AB的中点, ∴CN= AB=5,CM= DE=2,当C,M,N在同一直线上时, MN取最小值,∴MN的最小值为5-2=3. 9.(2024河南郑州枫杨外国语学校期末,★★☆)有一艘轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°方向上有一灯塔P,继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°方向上.如果轮船航向不变,那么灯塔与船之间的最近距离是____海里. 10 解析　如图,过P作PD⊥直线AB于D,则PD的长就是灯塔与船 之间的最近距离, ∵PD⊥AB,∴∠PDB=90°, ∵∠PBD=30°,∠PAB=15°, ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=15°,∴∠APB=∠PAB, ∴PB=AB=20海里, 在Rt△PBD中,∠PBD=30°,∴PD= PB=10海里. 10.(2025江苏苏州吴江月考,★★☆)如图,在四边形ABCD中, ∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若 ∠BAD=56°,则∠EDB的度数为_____度. 34 解析　根据已知条件可以判断EA=EB=EC=DE,∴∠DAE= ∠ADE,∠EAB=∠EBA,根据三角形外角的性质,可得∠DEC= ∠DAE+∠ADE=2∠DAE,同理∠BEC=2∠BAE,∴∠DEB= 2∠DAE+2∠BAE=2∠DAB=112°. ∴∠EDB= ×(180°-112°)=34°. 11.(2025江苏无锡实验中学月考,★★☆)如图,∠ABC=∠ADC =90°,E,F分别是AC,BD的中点. (1)求证:EF⊥BD. (2)若∠BAD=30°,AC=10,求BD的长.   解析     (1)证明:如图,连接BE,DE. ∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点, ∴BE= AC,DE= AC, ∴BE=DE.∵F是BD的中点, ∴EF⊥BD. (2)由(1)可知,AE=BE=DE, ∴∠BAE=∠ABE,∠EAD=∠EDA. ∵∠BEC=∠BAE+∠ABE,∠CED=∠EAD+∠EDA, ∴∠BEC+∠CED=∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA= 2(∠BAE+∠EAD)=2∠BAD=2×30°=60°.∵BE=ED, ∴△EBD是等边三角形,∴BD=BE= AC, ∵AC=10,∴BD= ×10=5.   12.【新课标·推理能力】(2025江苏无锡江阴期中)如图1,在锐 角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线 段BC,DE的中点. (1)求证:MN⊥DE. (2)连接DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并证明你的猜想.   (3)当∠BAC变为钝角时,如图2,(1)(2)中的结论是否都成立?若 成立,直接回答,不需证明;若不成立,请说明理由. 解析    (1)证明:如图1,连接DM,ME,∵CD,BE分别是AB,AC边 上的高,M是BC的中点,∴DM= BC,ME= BC,∴DM=ME, 又∵N为DE的中点,∴MN⊥DE. (2)∠DME=180°-2∠A,证明:在△ABC中,∠ABC+∠ACB= 180°-∠A,∵DM=ME=BM=MC,∴∠BMD+∠CME= (180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB) =360°-2(180°-∠A)=2∠A,∴∠DME=180°-2∠A. (3)结论(1)成立,结论(2)不成立,理由:如图2,连接DM,ME,在 △ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC,∵DM=ME=BM=MC,∴∠BME+∠CMD=(180°-2∠EBC)+(180°-2∠DCM)= [180°-2(90°-∠ACB)]+[180°-2(90°-∠ABC)]=2∠ACB+ 2∠ABC=2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC, ∴∠DME=180°-(360°-2∠BAC)=2∠BAC-180°. $第1章　三角形 第3课时　等边三角形的性质与判定 1.5　等腰三角形  　等边三角形的概念 1.(2025江苏宿迁泗阳期中)如图,等边三角形纸片ABC的边长 为2 cm,点D,E分别在BC,AC上,将△CDE沿直线DE折叠,点C 落在点C'处,且点C'在△ABC的外部,则图中三个阴影部分的 周长之和为 cm. 6 解析　设C'E与AB交于点F,C'D与AB交于点H, 如图,由题意得AB=BC=AC=2 cm,由折叠的性质得C'E=CE, C'D=CD,进而得AE+EF+C'F=AC=2 cm, BD+DH+C'H=BC=2 cm,AF+FH+BH=AB=2 cm,由此可得出图 中三个阴影部分的周长之和为AF+FH+BH+AE+EF+C'F+BD +DH+C'H=AB+AC+BC=6 cm.故答案为6.  　等边三角形的性质和判定 2.(2023甘肃金昌中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高, 以点D为圆心,DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E,则 ∠DEC= ( ) A.20°　    B.25° C.30°　    D.35°     C     解析　　在等边△ABC中,∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高, ∴BD平分∠ABC,∴∠CBD= ∠ABC=30°. ∵BD=ED,∴∠DEC=∠CBD=30°.故选C. 3.(2024山东泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个 顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的 度数是( )   A.45°　　B.39° C.29°　　D.21° B 解析　如图,过点A作AF∥l, ∵直线l∥m,∴AF∥m, ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°, ∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE,∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°, ∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°, ∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°,故选B. 4.(2025江苏常州期中)如图,△ABC是等边三角形,点D在 △ABC外部,且DA=DC,连接BD,交AC于点G. (1)求证:BD垂直平分AC. (2)在BC上取点E,连接DE,交AC于点F,若EB=ED,试判断 △CEF的形状,并说明理由. 解析    (1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴BA=BC, ∴点B在线段AC的垂直平分线上, ∵DA=DC,∴点D在线段AC的垂直平分线上, ∴BD垂直平分AC. (2)△CEF是等边三角形.理由如下: ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵BD⊥AC,∴∠DBC= ∠ABC=30°, ∵EB=ED,∴∠EDB=∠DBC=30°, ∴∠FEC=∠EDB+∠DBC=60°, 又∵∠ACB=60°,∴△CEF是等边三角形.   5.(2025广东汕尾陆河期中联考,★★☆)如图,在直线AB的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE,连接AE,CD,交于点H,连接BH,GF,有以下结论:①△ABE≌△DBC;②AG=DH;③HB平分 ∠AHC;④△GBF是等边三角形.其中正确的有 ( ) A.①③④　　B.①②③ C.②③④　　D.①②④ A 解析　利用等边三角形的性质得到BA=BD,BE=BC,∠ABD= ∠EBC,进而得到∠ABE=∠DBC,即可证明△ABE≌△DBC, 所以结论①正确;根据△ABE≌△DBC得∠EAB=∠CDB,由 △ABD和△BCE均为等边三角形,可知∠ABD=∠CBE=60°, 所以∠DBE=60°=∠ABG,结合AB=BD可证明△AGB≌△DFB (ASA),则AG=DF>DH,所以结论②错误;过点B作BM⊥AE于M, BN⊥CD于N,根据全等三角形的性质和三角形面积公式得到  AE·BM= CD·BN,由△ABE≌△DBC得AE=CD,所以BM=BN, 即可判断③正确;由△AGB≌△DFB得GB=FB,又由∠DBF= 60°,即可证明④正确.综上可知,正确的结论是①③④. 6.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,已知△ABC是等边三 角形,BC=BD,∠CBD=80°,则∠1的度数是___. 80° 解析　∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°,AB=BC, ∵∠CBD=80°, ∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+80°=140°, ∴∠BAD+∠ADB=180°-∠ABD=40°, ∵BC=BD,∴AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=20°, ∵∠1=∠BAD+∠ABC,∴∠1=20°+60°=80°. 7.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,点O是等边△ABC内 一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△ADC≌△BOC,连接OD. (1)求证:△COD是等边三角形. (2)当AO=AD时,α为多少度? 解析    (1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵△ADC≌△BOC,∴CO=CD,∠DCA=∠OCB, ∴∠DCO=∠ACB=60°,∴△COD是等边三角形. (2)∵△ADC≌△BOC,∴∠ADC=∠BOC=α, ∵△COD是等边三角形,∴∠COD=∠CDO=60°, ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60° =190°-α, ∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°, ∵AO=AD,∴∠ADO=∠AOD, ∴α-60°=190°-α,解得α=125°. 8.(2025江苏南京秦淮期中,★★☆)阅读材料:如图1,△ABC中, AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r1,r2, 腰上的高为h,连接AP,则S△ABP+S△ACP=S△ABC,即 AB·r1+ AC·r2=  AB·h,∴r1+r2=h(定值),即PE+PF为定值. (1)深入探究 如图2,将“△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点”改成 “P为等边三角形ABC内一点”,作PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥ BC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,M,G,有类似结论吗?请写出结论 并证明. (2)理解与应用 如图3,当点P在△ABC外时,PE,PF,PM和BG之间又有怎样的 关系?说明理由. 解析    (1)PE+PF+PM=BG. 证明:如图,连接PA,PB,PC, 则S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC,   ∵三角形ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC, ∵PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC, ∴ AB·PE+ AB·PF- AB·PM= AB·BG, ∴PE+PF+PM=BG. (2)PE+PF-PM=BG.理由:如图,连接PA,PB,PC,则S△ABP+S△ACP- S△BCP=S△ABC, ∴ AB·PE+ AC·PF+ BC·PM= AC·BG, ∵三角形ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC, ∵PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC, ∴ AB·PE+ AC·PF- BC·PM= AC·BG, ∴ AB·PE+ AB·PF- AB·PM= AB·BG, ∴PE+PF-PM=BG.   9.【新课标·推理能力】(2025江苏苏州相城月考)如图,△ABC 中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A、点B同时出 发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为 2 cm/s.当点N第一次到达B点时,M,N同时停止运动. (1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合? (2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN? (3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三 角形AMN?如存在,请求出此时M,N运动的时间. 解析    (1)设点M,N运动x秒时,M,N两点重合,x·1+12=2x, 解得x=12. (2)设点M,N运动t秒时,可得到等边三角形AMN,如图1, AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t, ∵三角形AMN是等边三角形, ∴t=12-2t,解得t=4, ∴点M,N运动4秒时,可得到等边三角形AMN. (3)当点M,N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三 角形, 由题意知12秒时M,N两点重合,恰好在C处,如图2, 假设△AMN是等腰三角形,   ∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM, ∴∠AMC=∠ANB,∵AB=BC=AC, ∴△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B, 在△ACM和△ABN中,∵  ∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN, 设当点M,N在BC边上运动时,M,N运动y秒(从出发开始计算), △AMN是等腰三角形, ∴CM=y-12,NB=36-2y,故y-12=36-2y, 解得y=16. ∴当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角 形AMN,此时M,N运动的时间为16秒. 微专题　共顶点的等腰三角形 　如图,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,BE,CF交于M,连 接AM. (1)求证:BE=CF. (2)若∠BAC=90°,求证:BE⊥CF. 例题 解析    (1)证明:∵∠BAC=∠EAF,∴∠BAC+∠CAE= ∠EAF+∠CAE,∴∠BAE=∠CAF.在△CAF和△BAE中,  ,∴△CAF≌△BAE(SAS),∴BE=CF. (2)设AC与BE交于O.由(1)知△CAF≌△BAE, ∴∠ABE=∠ACF.∵∠BAC=90°,∴∠ABO+∠BOA=90°. ∵∠BOA=∠COM,∴∠COM+∠ACF=90°, ∴∠CMO=180°-90°=90°,∴BE⊥CF. 变式　如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边向外作等边三角 形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度 数为____________.     120°     解析　设AC与BD交于点H.∵△ACD,△BCE都是等边 三角形,∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°, ∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB,即∠DCB=∠ACE. 在△DCB和△ACE中, ∴△DCB≌△ACE(SAS),∴∠CAE=∠CDB.∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH= 60°,∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.故答案为120°. $