1.4　线段垂直平分线与角平分线 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“线段垂直平分线的性质与判定”核心知识点，通过复习三角形基础引入，以中考真题（如Rt△ABC中周长计算）为学习支架，衔接前后知识脉络，帮助学生构建从性质到判定的认知体系。 其亮点在于精选中考及期中典型题，覆盖基础夯实与能力提升，结合尺规作图（如作直线垂直平分线段）培养几何直观，通过综合证明（如证点在垂直平分线上）发展推理能力，助力学生用数学思维解决问题，教师使用可高效巩固知识，提升教学效果。

第1章　三角形 第1课时　线段垂直平分线的性质与判定 1.4　线段垂直平分线与角平分线  　线段垂直平分线的性质 1.(2024四川凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE 垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC = ( ) A.25 cm　　B.45 cm　　C.50 cm　　D.55 cm     C     解析　∵DE垂直平分AB交BC于点D,∴AD=DB, ∵△ACD的周长为50 cm, ∴AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=50 cm, 故选C. 2.(2024江苏镇江中考)如图,△ABC的边AB的垂直平分线交 AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD= . 3 解析　∵AC=8,CD=5,∴AD=8-5=3,∵D在AB的垂直平分线 上,∴BD=AD=3.  　线段垂直平分线的判定 3.(2025江苏扬州江都期中)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l1交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线l2交AC于点N,交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为12.请你解答下列问题: (1)求BC的长. (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由. 解析    (1)∵l1垂直平分AB,∴DB=DA, 同理EA=EC, ∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12. (2)点O在边BC的垂直平分线上, 理由:如图,连接AO,BO,CO, ∵l1与l2是AB,AC的垂直平分线, ∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC, ∴点O在边BC的垂直平分线上.   4.(2025江苏徐州睢宁期中,★★☆)如图,在△ABC中,AB的垂 直平分线分别交AB,AC于点E,D,连接BD,若△ABC的周长为 27 cm,△BCD的周长为21 cm,则AE的长为 ( ) A.10 cm　　B.9 cm C.6 cm　　D.3 cm     D     解析　∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,AE= AB, ∵△ABC的周长为27 cm,∴AB+AC+BC=27 cm, ∵△BCD的周长为21 cm,∴DB+DC+BC=21 cm, ∴DA+DC+BC=AC+BC=21 cm, ∴AB=27-21=6(cm),∴AE= AB=3 cm,故选D. 5.【新考向·尺规作图】(2022湖北宜昌中考,★☆☆)如图,在 △ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于 BC的长为半径画弧, 两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接 BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为( ) A.25　    B.22　    C.19　    D.18     C     解析　由题意得MN垂直平分BC,∴DB=DC,∵AB=7,AC=12, ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC=19.故选C. 6.(2025江苏南通通州月考,★★☆)如图,在△ABC中,PM,QN 分别是线段AB,AC的垂直平分线,若∠BAC=110°,则∠PAQ的 度数是 ( )   A.40°　　B.50° C.60°　　D.70°     A     解析　∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°, ∵PM,QN垂直平分线段AB,AC, ∴AP=BP,CQ=AQ,易得∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C, ∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°,∵∠BAC=110°, ∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=110°-70°=40°,故选A. 7.(2025天津津南期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=90°, AB=6,AC=8,BC=10,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任意一 点,则AP+BP的最小值是 ( )   A.6　　B.7　　C.8　　D.10     C     解析　连接PC,如图,∵EF垂直平分BC,∴BP=PC, ∴PA+BP=AP+PC≥AC, ∴当点A,P,C在一条直线上,即点P在AC上时,AP+BP有最小 值,最小值=AC=8.故选C. 8.(2025江苏泰州姜堰月考,★★☆)在△ABC中,AB的垂直平分 线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 F,G,AE=5,AG=6,EG=2,则BC=_______. 13或9 解析　如图, ∵DE垂直平分AB,GF垂直平分AC, ∴EA=EB,GA=GC, ∵AE=5,AG=6,EG=2,∴AE+EG+AG=13, ∴BC=BE+EG+GC=AE+EG+AG=13; 如图,   同理,BC=BE+GC-GE=AE+AG-GE=9. 综上所述,BC=13或9. 故答案为13或9. 9.【新考向·尺规作图】(★★☆)如图,已知点A,B在直线l两侧, 以点A为圆心,AB长为半径作弧交直线l于C,D两点.分别以C,D 为圆心,AB长为半径作弧,两弧在l下方交于点E,连接AE. (1)根据题意,利用直尺和圆规补全图形. (2)证明:l垂直平分AE. 解析    (1)如图所示.   (2)证明:如图,连接AC,CE,ED,AD,∵AC=AD=AB,CE=ED=AB, ∴AC=CE,AD=DE, ∴点C,D在AE的垂直平分线上, ∴l垂直平分AE. 10.(2025江苏常州新北月考,★★☆)如图,AB=CD,线段AC的 垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证:∠ABE= ∠CDE. 证明　连接AE,CE(图略), ∵AC,BD的垂直平分线相交于E, ∴AE=CE,BE=DE, 在△ABE和△CDE中,  ∴△ABE≌△CDE(SSS),∴∠ABE=∠CDE. 11.(2024江苏徐州睢宁期末,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是AB上的一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E, CD交BE于点F.求证:BE垂直平分CD. 证明　∵ED⊥AB,∴∠EDB=90°. 在Rt△ECB和Rt△EDB中,  ∴Rt△ECB≌Rt△EDB(HL),∴∠EBC=∠EBD. 在△BFC和△BFD中,  ∴△BFC≌△BFD(SAS), ∴∠BFC=∠BFD=90°,CF=DF,∴BE垂直平分CD. $第1章　三角形 第2课时　角平分线的性质与判定 1.4　线段垂直平分线与角平分线  　角平分线的性质 1.(2024青海中考)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB, PD=2,则点P到OA的距离是 ( ) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 C 解析　过P作PE⊥AO于E(图略), ∵OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB, ∴PE=PD=2,∴点P到OA的距离是2.故选C. 2.(2025江苏无锡梁溪期中)如图所示,点O是△ABC内一点, BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,连接OA,若OD=5,AB=20, 则△AOB的面积是( ) A.20　　B.30　　C.50　　D.100     C     解析　　如图,过点O作OE⊥AB于点E,   ∵BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,∴OE=OD=5, ∴△AOB的面积= AB·OE= ×20×5=50,故选C. 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作 弧,交AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆心,大于 EF的 长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC 于点D.若AC=5,BC=12,AB=13,则CD=_________. 解析　如图,过D作DH⊥AB于点H.由题意可知AD平分∠CAB, ∴CD=DH. ∵S△ABC= AC·BC=S△ACD+S△ABD= AC·CD+ AB·DH, ∴AC·BC=AC·CD+AB·DH. 设CD=DH=x, ∴5×12=5x+13x,∴x= ,即CD= . 4.【学科特色·教材变式】如图,BD是△ABC的角平分线,DE ⊥AB,垂足为E,AB=12,BC=8. (1)求△CBD与△ABD的面积之比. (2)若△ABC的面积为50,求DE的长.   解析    (1)如图,过点D作DF⊥BC于点F. ∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DE=DF.∵AB=12,BC=8, ∴S△CBD∶S△ABD= ∶ =BC∶AB=8∶12=2∶3, ∴△CBD与△ABD的面积之比为2∶3. (2)∵△ABC的面积为50,△CBD与△ABD的面积之比为2∶3, ∴△ABD的面积为30.又∵AB=12, ∴ ×12DE=30,∴DE=5.  　角平分线的判定 5.(2024江苏南通如皋期末)已知△ABC,两个完全一样的三角 尺摆放如图,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组 对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在 ( ) A  A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 解析　如图,连接AM.   由题意得,MG=MH,MG⊥AB,MH⊥AC, ∴AM是∠BAC的平分线,点M一定在∠BAC的平分线上.故选A. 6.(2025江苏苏州虎丘月考)如图,△ABC中,点D在边BC的延长 线上,∠ACB=108°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥ BD,垂足为H,且∠CEH=54°. (1)求∠ACE的度数. (2)请判断AE是否平分∠CAF,并说明理由. (3)若AC+CD=10,AB=6,且S△ACD=15,求△ABE的面积. 解析    (1)∵∠ACB=108°, ∴∠ACD=180°-108°=72°, ∵EH⊥BD,∴∠CHE=90°, ∵∠CEH=54°,∴∠ECH=90°-54°=36°, ∴∠ACE=72°-36°=36°. (2)AE平分∠CAF,理由如下: 如图,过E点分别作EM⊥BF于点M,EN⊥AC于点N, ∵BE平分∠ABC,∴EM=EH, ∵∠ACE=∠ECH=36°,∴CE平分∠ACD, ∴EN=EH,∴EM=EN,∴AE平分∠CAF. (3)∵AC+CD=10,S△ACD=15,EM=EN=EH, ∴S△ACD=S△ACE+S△CED= AC·EN+ CD·EH= (AC+CD)·EM=15, 即 ×10EM=15,解得EM=3, ∵AB=6,∴S△ABE= AB·EM= ×6×3=9.   7.(2024四川绵阳中考,★★☆)如图,在△ABC中,AB=5,AD平分 ∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE 的长为 ( )   A.1　　B.2 C.3　　D.5     B     解析　过D作DF⊥AB于点F,如图.   ∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF, ∵△ABD的面积为5,∴ AB·DF=5, ∵AB=5,∴DF=2,∴DE=2,故选B. 8.(2024江苏南京建邺月考,★★☆)如图,OP是∠AOB的平分 线,PM⊥OB,N是射线OA上的动点,若PM=2,则PN的最小值为 _________.  　　          2     解析　过P点作PH⊥OA于H,如图, ∵OP是∠AOB的平分线,PM⊥OB,PH⊥OA, ∴PH=PM=2. ∵点N是射线OA上的一个动点,∴PN≥PH, ∴PN的最小值为2.故答案为2. 9.(2025江苏南京鼓楼月考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC =90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E,若△ABC与 △CDE的周长分别为13和3,则AB的长为 . 5 解析　∵∠BAC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC, ∴AD=DE,∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL),∴∠ADB=∠BDE,AB= BE,∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3,∴AB+BC+AC=AB +AC+BE+EC=13,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3, ∴AB+BE=10,∴AB=BE=5. 10.(2025山东临沂实验中学月考,★★☆)如图,在∠AOB的两 边OA,OB上分别取点M,N,连接MN.若MP平分∠AMN,NP平分 ∠MNB. (1)求证:OP平分∠AOB. (2)若MN=8,△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段OM 与ON的长度之和. 解析    (1)证明:如图,过点P作PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足 分别为点C,D,E, ∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD. ∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE, ∴PC=PE,∴OP平分∠AOB. (2)∵△PMN的面积是16,MN=8, ∴ MN·PD=16,即 ×8PD=16, ∴PD=4,∴PE=PC=PD=4. ∵△OMN的面积是24,∴四边形MONP的面积=△PMN的面积 +△OMN的面积=16+24=40, ∴△POM的面积+△PON的面积=40, ∴ OM·PC+ ON·PE=40, ∴ OM·4+ ON·4=40,∴OM+ON=20, ∴线段OM与ON的长度之和为20.   11.【新课标·推理能力】已知点C是∠MAN的平分线上一点, ∠BCD的两边CB,CD分别与射线AM,AN相交于B,D两点,且 ∠ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AM,垂足为E. (1)如图1,当点E在线段AB上时,求证:BC=DC. (2)如图2,当点E在线段AB的延长线上时,探究线段AB,AD与 BE之间的数量关系. (3)如图3,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接BD,作∠ABD的 平分线BF交AD于点F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于点 G,若BG=1,DF=2,求线段DB的长. 解析    (1)证明:如图,过点C作CF⊥AN,垂足为F.   ∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AN, ∴CE=CF,∠CEB=∠CFD=90°, ∵∠CBE+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°, ∴∠CBE=∠CDF. 在△BCE和△DCF中,  ∴△BCE≌△DCF(AAS), ∴BC=DC. (2)如图,过点C作CF⊥AD,垂足为F. ∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AD, ∴CE=CF,∠CFA=∠CEA=90°, 易证△ACE≌△ACF, ∴AE=AF. ∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBE=180°, ∴∠CDF=∠CBE. 在△BCE和△DCF中, ∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,  ∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE, ∴AD-AB=2BE. (3)如图,在BD上截取BH=BG,连接OH. ∵BF平分∠ABD, ∴∠ABF=∠DBF, 在△OBH和△OBG中,   ∴△OBH≌△OBG(SAS), ∴∠OHB=∠OGB,∠BOG=∠BOH. ∵AO是∠MAN的平分线,BO是∠ABD的平分线, ∴DO平分∠ADB,∴∠ODH=∠ODF. ∵∠OHB=∠ODH+∠DOH,∠OGB=∠ODF+∠DAB, ∴∠DOH=∠DAB=60°,∴∠GOH=180°-∠DOH=120°, ∴∠BOG=∠BOH=60°,∴∠DOF=∠BOG=60°, ∴∠DOH=∠DOF. 在△ODH和△ODF中,  ∴△ODH≌△ODF(ASA),∴DH=DF, ∴DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3. $