1.4 线段垂直平分线与角平分线（2）课件 -2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.4　线段垂直平分线与角平分线（2） ——角平分线的性质 想一想 如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？ 解：PD与PE 相等 理由：∵点P在∠AOB的角平分线OC上 ∴∠DOP=∠EOP ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△DOP 和△EOP 中， ∠PDO=∠PEO， ∠DOP=∠EOP， OP=OP， ∴△DOP≌△EOP（AAS） ∴PD=PE O A B C P D E 角平分线上的点到角两边的距离相等． 角的平分线的性质定理: 且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ∵ OC是∠AOB的平分线， ∴ PD＝PE 符号语言： O A B C P D E 　　 角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？ 如图，若点Q在∠AOB内， QD⊥OA于D，QE⊥OB于E，且QD＝QE， 求证：点Q在∠AOB的角平分线上. 反之， 想一想 证明: ∵QD⊥OA于D，QE⊥OB于E 　∴∠QDO＝∠QEO＝90° 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO QD＝QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　 ∴ ∠ 1＝∠2 ∴点Q在∠AOB的平分线上 4 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. ∵ 点Q在∠AOB内，且QD⊥OA于D，QE⊥OB于E，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上 符号语言： 角的平分线的性质定理的逆定理: O A B C Q D E 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 5 辨一辨 1、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 D 2、到三角形的三条边距离相等的点是（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 A 例1. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF. 求证：AD是△ABC的角平分线. A B C E F D 证明：∵ D是BC的中点， ∴ DB=DC ， 在Rt△BDE和 Rt△CDF 中 又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴ Rt△BDE≌ Rt△CDF（HL） DB=DC ， BE＝CF ∴ DE=DF， ∴AD是△ABC的角平分线 7 变式1、如图：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列结论：（1）DE=DF； （2）BD=CD；（3）AD上任意一点到AB、AC的距离相等； （4）AD上任意一点到BC两端的距离相等，其中正确的语句有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 变式2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F． 求证：AD垂直平分EF． A F E C B D 例2.已知：如图，△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P． 求证：点P在∠A的角平分线上． P A B C D E F 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F ∵点P在∠ABC的平分线上，且PD⊥AB于D，PF⊥BC于F ∴PD＝PF 又∵点P在∠ACB的平分线上，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F ∴PE＝PF ∴PD＝PE ∴点P在∠BAC的平分线上　　　 例2.已知：如图，△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P． 求证：点P在∠A的角平分线上． 结论1 三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等. P A B C D E F 结论3 反之，也成立. 结论2 对任意三角形，存在一个点，这个点到三角形的三边距离相等；这个点是任意两个内角的平分线的交点. 2、对于任意△ABC，是否能找到一点P，使得： （1）该点P与△ABC的三个顶点的距离相等？ （2）该点P与△ABC的三条边的距离相等？ 三边垂直平分线的交点, 实际作图时只需作两边的垂直平分线. 三个内角的角平分线的交点， 实际作图时只需作两个内角的角平分线. 拓展与延伸 1、已知：BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上. A A A A A A A D N E B F M C A 证明：∵ BD⊥AM于D，CE⊥AN于E ∴ ∠CDF=∠FEB=90° ， 在Rt△DFC和 Rt△EFB 中 ∠DFC=∠EFB ∴ DF=EF， ∴点F在∠A的平分线上 ∠CDF=∠FEB ， CF=BF ∴Rt△DFC≌Rt△EFB（AAS） 又∵ BD⊥AM ，CE⊥AN 13 变式1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G H M ∵点F在∠BCE的平分线上，且FG⊥AE于G， FM⊥BC于M ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上，且FH⊥AD于H， FM⊥BC于M ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上　　　 14 变式2、直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 D 15 2、如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=DC，试说明BE=CF. Ｅ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｆ 变式1、如图，已知：PA⊥OE于点A，PB⊥OF于点B，BD=AC，DP=PC，试说明∠POF、∠POE的大小关系. 变式2、已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由. F B A C D E M N 变式3、已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由. F B A C D M N E 3、如图，已知BD=CD，ED⊥BC交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB于M，EN ⊥AC于N，BM与CN相等吗？为什么？ 变式、已知：在△ABC中，D是BC上一点，DF⊥AB于E，DE⊥AC于F，且DE=DF. 线段AD与EF有何关系?并说明理由. ∵ 点Q在∠AOB的内部，且QD⊥OA于D，QE⊥OB于D，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 符号语言： 1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ 点Q在∠AOB的平分线上，且QD⊥OA于D，QE⊥OB于E， ∴ QD＝QE 2. 角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 符号语言： 小结 22 $