北京市延庆区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025北京延庆高二（上）期中 数 学 2025.11 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合，集合，则 （A） （B） （C） （D） （2）若复数满足，则的虚部为 （A） （B） （C） （D） （3）已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为 （A） （B） （C） （D） （4）已知，，则是 （A） （B） （C） （D） （5）已知，，若，则实数 （A） （B） （C） （D） （6）已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）函数的最大值为 （A） （B） （C） （D） （8） 若是平行四边形，且，，，则顶点的坐标 为 （A） （B） （C） （D） （9）如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为 （A） （B） （C） （D） （10）已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则 的最小值为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. （11）函数的定义域为 ． （12）已知的三个顶点则的边上的高的长度为 ． （13）函数的单调递增区间为 ． （14）已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为 ． （15）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，．给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④三棱锥的体积为. 其中，所有正确结论的序号为 ． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （16）（本小题14分） 已知中，，，． （Ⅰ）求及的值； （Ⅱ）求及面积. （17）（本小题16分） 已知点，. （Ⅰ）求经过点，且倾斜角为的直线方程； （Ⅱ）求经过点，的直线在轴和轴上的截距； （Ⅲ）若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； （IV）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，求直线的方程． （18）（本小题15分） 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点. （Ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离． （19）（本小题13分） 已知点，直线. （Ⅰ）求过点且与直线平行的直线方程； （Ⅱ）求过点且与直线垂直的直线方程； （Ⅲ）求点关于直线的对称点的坐标． （20）（本小题15分） 如图，在四棱锥中，已知，为平行四边形，，，，，为侧棱上的点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若平面，求的值； （Ⅲ）若二面角的大小为，求的值． （21）（本小题12分） 对非空数集，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数. （Ⅰ）若集合，写出集合； （Ⅱ）若集合满足，且， 求. 草稿纸 参考答案 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C C B C A C A 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 题号 11 12 13 14 15 答案 ①②③ 注： 15题选对一个给3分，选对二个给4分，选错不给分。 三、解答题共6小题，共85分。 （16）解： （Ⅰ）因为， 所以. ……2分 由于，所以. ……4分 当时，，不合题意， 应舍去，所以. (只写一个答案扣2分，两个答案没有舍的扣一分) ……5分 当时，， ……6分 而. ……8分 （Ⅱ）由 可得， ……10分 即，因此. 所以. ……12分 所以的面积为. ……14分 （17）解： （Ⅰ）因为直线的斜率， ……2分 所以直线的方程为，即. ……4分 （Ⅱ）因为，两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程 ，整理得. ……6分 所以直线在轴上的截距为，令，得，因此在轴上的截距为. ……8分 （Ⅲ）设为所求直线上一点，则与垂直. ……9分 因为，所以， ……11分 整理可得一般式方程为. ……12分 （IV）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不符合题意. ……13分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ……14分 因为，两点到直线的距离相等，所以， ……15分 解得，因此直线的方程为. ……16分 （18）解： （Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系,则，所以. ……2分 设平面的一个法向量为，所以. 令，则，所以 . ……4分 因为， ……6分 所以与平面所成角的正弦值为. ……7分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， ……9分 所以. ……11分 由图可知，二面角为钝角, 所以二面角的余弦值为. ……12分 （Ⅲ）设点到平面的距离，, 则,所以点到平面的距离为. ……15分 （19）解： （Ⅰ）依题意可设直线的方程为， ……2分 由于直线过点，因此，解得. ……3分 因此所求直线的方程为. ……4分 （Ⅱ）依题意可设直线的方程为， ……6分 由于直线过点，因此，解得. ……7分 因此所求直线的方程为. ……8分 （Ⅲ）设点关于直线的对称点的坐标为， ……9分则， ……11分 解得，所以对称点为. ……13分 （Ⅰ）证明：因为，，所以； ……2分 又因为，，，所以； ……4分 因为，所以. ……5分 （Ⅱ）解：连接，设，连接， 因为平面，，， 所以； ……7分 因为为平行四边形，所以； ……8分 所以在中，. ……10分 （Ⅲ）解: 因为，，所以. 以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立直角坐标系. 11分 因为，，，所以，， 因为，所以，，，，，，， ……12分 因为，所以 是平面的一个法向量. ……13分 （法一）设，则， 所以，即，， 设平面的一个法向量为，则 所以，令，则，所以， ……14分 因为二面角的大小为，所以，解得， 即存在满足条件的点，且. ……15分 （法二）设，则，， 设平面的一个法向量为，则 所以，令，则，所以， ……14分 所以，解得. 设，则，所以， 所以，，所以，解得， 即存在满足条件的点，且. ……15分 （21） 解： （Ⅰ）， ……3分 . ……6分 （Ⅱ）因为， 所以. ……9分 所以. ……11分 又因为是整数且， 所以． ……12分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $