精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

渑池二高2025-2026学年上学期第一次月考 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 5 8. 定义 ，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. ，当时， 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为____. 13. 设集合满足，则满足条件的集合有__________个． 14. 已知，则________ 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围； 17. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值，并求此时的值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 18. 2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障. （Ⅰ）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润； （Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？ 19. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渑池二高2025-2026学年上学期第一次月考 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集定义直接求解即可. 【详解】由补集定义知：，中元素的个数为. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以. 故选：C. 3. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，有. 故选：B 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误； 对于C，函数与的定义域和对应法则都相同， 所以表示相同的函数, 故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误. 故选：C. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 7. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数 ，可得，则. 故选：B. 8. 定义 ，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】求的解析式，根据解析式求的最大值. 【详解】由. 所以. 所以：当时，； 当时，； 当时，. 综上可知：的最大值为9，当时取“”. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. ，当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由2是素数即可判断A；由即可判断B；由不等式性质即可分析判断C；作差即可比较大小判断D. 【详解】2是素数，但2不是奇数，A错误； 因为集合，集合， 所以集合与集合不是相同的集合，B错误； 因为，所以，所以，C正确； ，又，所以, 所以即，D错误. 故选：ABD 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为____. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分转化为一元二次不等式的解集. 【详解】不等式，则， 解得或，所以原不等式的解集为. 故答案为： 13. 设集合满足，则满足条件的集合有__________个． 【答案】8 【解析】 【分析】根据的子集共有个，即可求解. 【详解】的子集共有个，设是的任意一个子集， 由于集合满足，故可以为， 故符合条件的集合有8个， 故答案为：8 14. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】令，换元法化简即可求出. 【详解】令，则，则， 故. 故答案为： 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式． 【答案】（1）1 （2）或2 （3） 【解析】 【分析】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【小问1详解】 因为，， 所以，因为， 所以， 【小问2详解】 当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 【小问3详解】 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，然后根据交集运算求解即可； （2）由题可知，分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以； 【小问2详解】 因为，， 由，可得， ①当时，，解得； ②当时，由，解得， 综上，实数a的取值范围为． 17. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值，并求此时的值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1）的最小值为6，此时； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接使用基本不等式进行求解； （2）由基本不等式得到，求出； （3）变形后，使用基本不等式进行求解. 【小问1详解】 ，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为6，此时； 【小问2详解】 ，且，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， 的最大值为； 【小问3详解】 ，故， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 18. 2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障. （Ⅰ）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润； （Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元；（Ⅲ）企业最早5年后还清所有贷款. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意按照、分类，即可写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （Ⅱ）由题意结合二次函数的性质、基本不等式按照、分类，分别求出函数最大值后即可得解； （Ⅲ）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解. 【详解】（Ⅰ）当时，年利润； 当时，； 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 当时，， 当且仅当万件时，等号成立，乙获得的利润最大为24万元.； 综上可知，年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元. （Ⅲ）由题意，设最早年后还清所有贷款， 则有，解得， 所以企业最早5年后还清所有贷款. 【点睛】本题考查了函数的应用及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题. 19. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可直接求得结果； （2）采用参变分离的方法可得，利用基本不等式可求得，由此可得结果； （3）分别讨论、和的情况，结合一元二次方程两根大小关系可确定不等式的解集. 【小问1详解】 当时，， 解得：，即的解集为. 【小问2详解】 ，， 恒成立，对任意恒成立， （当且仅当时取等号），，， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由得：， ①当时，，解得：； ②当时，的解集为； ③当时，令，解得：或， 若，则，不等式无解； 若，则，则的解集为； 若，则，则的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $