微专题 例析基本不等式的实际应用专题 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦基本不等式的实际应用，覆盖算术与几何平均值、不等式定理及变形等核心考点，按“定义-定理-变形-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确考纲要求，方法指导提炼“一正二定三相等”原则，真题训练结合8道典型例题与10道分层练习题，帮助学生系统突破最值求解难点。 资料以“会用数学的眼光观察现实世界”为导向，例题融入陶渊明围菜园、秦九韶三斜求积等传统文化情境，引导学生从实际问题中抽象数量关系。采用“例题精讲+即时反馈”教学活动，如例1通过函数与不等式两种方法对比，培养数学思维的灵活性，分层练习适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

【原卷版】 微专题 例析基本（均值）不等式的实际应用 基本（均值）不等式是数学中的重要工具，揭示了不同基本（均值）间的内在关系。在实际生活中，它广泛应用于经济、工程、科学等领域。如：在资源分配时，利用基本（均值）不等式可优化方案，实现效益最大化；在工程设计中，能辅助确定最优参数。其应用帮助我们解决最值、不等式证明等问题，为实际决策提供科学依据，展现数学在现实世界的巨大价值。 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要，，即可【教材P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 例1、一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为的篱笆围成一个一边 靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（ ） A．289 B．104 C．162 D．138 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（    ） A． B． C． D． 例3、《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（     ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 例4、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（     ） A． B． C． D．以上选项都有可能 例5、近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 例6、为了扩大宣传，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. （1）当x＝20时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)，最小面积是多少? 例7、随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 例8、发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 1、基本（均值）不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立； 以上三点缺一不可。 2、利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意均值不等式成立的条件；（2）多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用； 3、应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数. （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 1、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件 2、某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为．则至少需要 米棚栏． 3、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为 . 4、某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（    ）（单位：h） 5、已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作 个 6、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 7、已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（     ） A． B． C． D．的大小无法确定 8、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 9、某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 10、如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．    （1）若有苗区面积为，则为何值时，所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长为，则为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； （3）若使用的篱笆总长为，求的最小值； 【解析版】 微专题 例析基本（均值）不等式的实际应用 基本（均值）不等式是数学中的重要工具，揭示了不同基本（均值）间的内在关系。在实际生活中，它广泛应用于经济、工程、科学等领域。如：在资源分配时，利用基本（均值）不等式可优化方案，实现效益最大化；在工程设计中，能辅助确定最优参数。其应用帮助我们解决最值、不等式证明等问题，为实际决策提供科学依据，展现数学在现实世界的巨大价值。 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要，，即可【教材P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 例1、一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为的篱笆围成一个一边 靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（ ） A．289 B．104 C．162 D．138 【提示】设出矩形菜园的靠墙的一边长为，由已知表示出另一边长，再求出矩形面积的表达式，法利用基本不等式即可求出菜园的最大面积；法由二次函数的性质可得函数的最大值； 【答案】； 【解析】设矩形菜园的靠墙的一边长为，， 因为篱笆的长为，则宽为， 法所以矩形菜园的面积为：， 当且仅当，即时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是． 法，， 开口向下，对称轴，而， 所以时，则． 即矩形的面积的最大值为． 故选：； 【说明】应用基本不等式时的三个关注点： （1）一正数：指式子中的a，b均为正数； （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值； （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值； 例2、中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（    ） A． B． C． D． 【提示】由秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值时三角形各边长，再求； 【答案】C； 【解析】由题可知，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此时三角形为等边三角形，故． 故选：C 例3、《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（     ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】D； 【解析】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A错误； B选项：因为，所以，得， 设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相识， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，B错误； C选项：因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，C错误； D选项：因为，所以，整理得，D正确. 故选：D 例4、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（     ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【提示】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设，先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理可得，，再利用作差法比较与12的大小即可； 【答案】A； 【解析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为， 由杠杆的平衡原理：，， 解得，， 则， 下面用作差法比较与12的大小， ， 又因为，，所以， ， 所以，， 所以，顾客实际购买的黄金大于12克． 故选：A； 例5、近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【提示】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案； 【答案】C； 【解析】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C； 例6、为了扩大宣传，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. （1）当x＝20时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)，最小面积是多少? 【提示】（1）根据已知条件，先求出每个梯形的下底（较长的底边）边长，再分别求出，，即可求解； （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【答案】（1）海报面积为， （2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 【解析】（1）依题意，图中阴影部分的面积之和为，直角梯形的高为， 则其中每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 因为，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以，，， 故海报纸面积为． （2）因为，直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 因为，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以，海报宽，海报长， ， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 例7、随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【提示】（1）假设该车匀速行驶至B地，列出耗电量的表达式并利用单调性即可求得最小耗电量，可得出结论； （2）根据耗电量与充电量、保障电量之间的关系，列出不等关系，由基本不等式即可求得结果； 【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B地，理由见解析；（2）； 【解析】（1）设匀速行驶速度为，耗电量为， 则， 由对勾函数性质可知函数在区间单调递增， ，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地； （2）设匀速行驶速度为，总时间为，行驶时间与充电时间分别为. 若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即， 解得. . 当且仅当，即时取到等号 所以该汽车到达B地的最少用时为； 【说明】本题综合了利用函数单调性求最值或值域、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本（均值）不等式求和的最小值； 例8、发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18；（2）  ；；（3）； 【解析】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 所以，， 所以的值为18； （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为； 1、基本（均值）不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立； 以上三点缺一不可。 2、利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意均值不等式成立的条件；（2）多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用； 3、应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数. （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 1、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件 【答案】40； 【解析】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则由题意可得，当且仅当时取得最小值， 即当每批应生产产品40件时最小． 2、某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为．则至少需要 米棚栏． 【答案】40； 【解答】由题意可得，且周长， ，，则， 当取等号， 即至少需要40米棚栏． 故答案为：40． 3、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为 . 【答案】6； 【解析】设矩形空地的长为m，则宽为m， 依题意可得，试验区的总面积， 当且仅当即时等号成立， 所以每块试验区的面积的最大值为. 故答案为：6 4、某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（    ）（单位：h） 【答案】3h 【解析】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 5、已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作 个 【答案】40； 【解析】因为固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天， 所以总成本为， 则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个． 6、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 【答案】A； 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 7、已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（     ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】B 【解析】由题意得，， 因为，故，， 即， 故选：B 8、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】易知， 显然所以，，故D正确. 故选：D 9、某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低；（2）； 【解析】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 10、如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．    （1）若有苗区面积为，则为何值时，所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长为，则为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； （3）若使用的篱笆总长为，求的最小值； 【提示】（1）利用基本不等式求解和的最小值； （2）利用基本不等式求解积的最大值； （3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【答案】（1）长为，宽为；（2）长为，宽为；（3）； 【解析】（1）依题意，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）依题意， 所以篱笆所围的育苗区面积为 当且仅当，即时等号成立， 所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大． （3）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值． 第9页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $