精品解析：江苏省靖江高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集， 集合，， 则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 4. 方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 6. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 16 8. 若在函数定义域的某个区间上定义运算 则函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与 是同一个函数 B. 命题 的否定是 C. 若函数 的值域为 ，则实数k的取值范围是 . D. 若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是 11. 已知函数令，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有3个根 C. 方程的所有根之和为－1 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则___________. 13. 已知，则__________. 14. 设函数， 其中.若不等式对任意恒成立，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时， （1）求函数的解析式并画出函数的图象； （2）根据图象写出的单调区间和值域； （3）解关于x的不等式 17. 设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0} （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围. 18. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）用定义证明函数在为单调递增函数； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集， 集合，， 则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集和补集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得， 则在集合中去掉元素2即为阴影部分表示的集合：. 故选：B. 2. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 3. 若函数，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于求解的定义域，再由 在的定义域内求得的范围，即可得到的定义域． 【详解】解：要使原函数有意义，则，解得． 由，得． ∴函数的定义域为． 故选：D． 4. 方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得. 【详解】令，其图象对称轴为， 由方程 的两根都大于 1，等价于， 即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误. 故选：A. 5. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的单调性得到不等式，解得范围. 【详解】设，， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ． 故选：B. 6. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 7. 若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为满足， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为16， 故选：D. 8. 若在函数定义域的某个区间上定义运算 则函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新运算法则求解的解析式和的范围，根分段函数的性质求解值域． 【详解】， 由新运算法则可得， 即当或时，， 当时，， 若，则，其值域为，即值域为； 若，则，其值域为，即值域为； 综上可得函数值域为， 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数的定义判断AB；判断指定区间上的单调性判断CD. 【详解】函数的定义域为R， ，则是奇函数，不是偶函数，A正确，B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，因此在上单调递减，C正确； 对于D，当时，在上单调递增，D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与 是同一个函数 B. 命题 的否定是 C. 若函数 的值域为 ，则实数k的取值范围是 . D. 若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：求出两函数定义域即可得；对B：由特称命题的否定即可解题；对C：分与，结合所给值域进行讨论即可得；对D：分与，结合所给定义域进行讨论即可得. 【详解】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B：命题 的否定是 ，故B正确； 对C：当时，，不符合题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：当时，，其定义域为，符合要求； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数令，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有3个根 C. 方程的所有根之和为－1 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D． 【详解】对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确； 对于B选项，令，则求的根，即求的根， 因为方程没有实根， 所以没有实根，所以选项B错误； 对于C选项，令，则方程，即， 得，，由方程得或， 解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确； 对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象， 当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确， 故选：ACD． 【点睛】方法点睛： 对于分段函数，已知函数的值求自变量的值时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可，如果分段函数的图象易得，也可以作出函数图象，然后结合图象求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解. 【详解】，， 则或， 解得或， 当时，集合中有两个相同元素，（舍去）， 所以. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用换底公式将换成以2为底的对数，进而根据对数的运算性质得到答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 设函数， 其中.若不等式对任意恒成立，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】先设，代入函数解析式计算得出根，再对应相等计算求解. 【详解】若 ，取，所以， 则， 所以的根为且，的根为且， 由于与均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积恒成立，则它们的零点必须完全相同， 所以只有当时，成立， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由对数的运算法则及换底公式运算即可得解； （2）由指数运算的性质可得，代入运算即可得解. 【详解】（1）原式； （2）因为， 所以， 所以. 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时， （1）求函数的解析式并画出函数的图象； （2）根据图象写出的单调区间和值域； （3）解关于x的不等式 【答案】（1） . （2） 函数的单调递增区间是，；函数的单调递减区间是，；． 函数的值域为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的性质求解函数解析式，结合偶函数的图象特点画图即可； （2）结合图象求解单调递增区间，进而结合图象求解函数值域； （3）先根据解析式列式结合不等式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意，当时，，且函数是定义在上的偶函数， 设，则，则， 即， 所以. 根据偶函数图象关于轴对称的特点，可知函数的图象如图所示． 【小问2详解】 由图象可知函数的单调递增区间是，；函数的单调递减区间是，；． ，则由图象可知，函数的值域为. 【小问3详解】 若，则或， 解得或或. 不等式的解集为． 17. 设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0} （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围. 【答案】（1）或；（2）且且 【解析】 【分析】 （1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围. 【详解】（1）， 由可知，， 即，解得：或， 当时，，此时，满足， 当时，，此时，满足. 所以实数的值是或； （2）U=R，A∩(B)=A，，则 ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，此时只需，， 将2代入方程得或，将1代入方程得，得， 综上可知，的取值范围是且且 【点睛】易错点睛：1.当集合的元素是方程的实数根时，根据集合的运算结果求参数时，注意回代检验，否则会造成增根情况，当集合是区间形式表示时，注意端点值的开闭； 2.当集合的运算结果转化为集合的包含关系时，注意讨论空集情况，容易忽略这一点. 18. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为，当时，解集为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由不等式转化为，分，，讨论求解；（2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解； （3）分析可知函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集，分、、三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数， 所以，即为，所以， 当时，解得，当时，解得，当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 【小问2详解】 因为对任意的恒成立，所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立， 令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是 【小问3详解】 当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）用定义证明函数在为单调递增函数； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $