江苏省如东高级中学2024-2025学年高一上学期期中模拟数学试题

江苏省如东高级中学2024-2025年期中模拟卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知是定义在上的单调函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 4．已知集合.则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．函数的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．设，为正数，且且，则（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 11．已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 ． 13．已知，，则 （用、表示） 14．已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）已知，求的值； （2）计算的值． 16．设全集，已知函数的定义域为集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 17．设函数 (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式解集； (3)若且，求的最小值． 18．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； (2)当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 19．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如东高级中学2024-2025年期中模拟卷答案解析 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.94 【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即为，， 故选：D 2．已知是定义在上的单调函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】由解析式及的单调性，结合一次函数性质列不等式组求参数范围. 【详解】由为递减函数，且在上的单调函数， 所以单调递减，则. 故选：D 3．已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可． 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当时，，其图象经过第二象限，不满足题意； 综上，． 故选：D． 4．已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】解对数不等式可化简集合A，然后由集合交集定义可得答案. 【详解】，则. 得. 故选：B 5．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【难度】0.94 【分析】根据解析式求函数值即可. 【详解】由， 所以， 故选；D 6．函数的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【分析】利用函数的单调性可求最小值即可得到结果. 【详解】由题意得，函数对称轴为直线，函数在上为减函数， ∴当时，. 故选：A. 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 8．恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【难度】0.85 【分析】利用不等式的性质，带入特殊值排除或选择作差法比较大小. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则有，则，B正确; 对于C，令，，满足，，但，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 故选：BD 10．设，为正数，且且，则（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【难度】0.4 【分析】根据基本不等式判断A，利用基本不等式建立不等式，换元后解不等式判断BC，根据条件转化为求的最大值，换元后利用二次函数最值得解判断D. 【详解】由，所以， 对A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对B，由可得， 当且仅当下时取等号，令，则，解得， 即，，当且仅当时取等号，故B错误； 对C，由，令， 则，解得，即，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，由可得， 所以，令，由B知， 则由可知当时，，故当时，有最大值，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： 通过对已知条件恰当变形后，利用基本不等式，换元法解不等式是解题的关键所在，对变形化简能力要求很高. 11．已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若，则的取值范围为 【答案】ACD 【难度】0.4 【分析】令代入题设条件可判断A；令并结合奇偶性定义可判断C；令，利用单调性定义及奇函数性质判断B；利用奇函数、单调性解不等式求参数范围判断D. 【详解】令，则，A对； 令，则，即， 所以为奇函数，C对； 由时，则时， 令，则，故， 所以，即为上的减函数，B错； 令，且为奇函数，而，即， 所以，结合B易知在上也为减函数， 所以，可得，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：令判断的奇偶性，进而得时是判断C、D的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 ． 【答案】2 【难度】0.94 【分析】根据函数的奇偶性求得的值. 【详解】由于是奇函数，故. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题. 13．已知，，则 （用、表示） 【答案】/ 【难度】0.85 【分析】由已知可得出，再利用换底公式结合对数运算可将用、表示. 【详解】因为，则， 又因为，所以，. 故答案为：. 14．已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以，所以三个整数解为， 所以，解得. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）已知，求的值； （2）计算的值． 【答案】（1）；（2）1. 【难度】0.85 【分析】（1）利用指数运算化简求出给定式子的值. （2）利用对数运算法则计算得解. 【详解】（1）由，得，则，两边平方得， 所以. （2） . 16．设全集，已知函数的定义域为集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.85 【分析】（1）先根据具体函数定义域满足条件求出，再求出和，结合交集概念计算即可； （2）根据，得到，比较集合端点即可. 【详解】（1）因为有意义， 所以，解得. 当时，； 所以； 所以. （2），， 解得：． 17．设函数 (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式解集； (3)若且，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.85 【分析】（1）代入，再根据基本不等式求解最小值即可； （2）因式分解后分情况讨论求解即可； （3）根据可得，再拼凑利用基本不等式求解的最小值即可. 【详解】（1）当时，，且， 故， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为. （2）即，故： ①当时，解得； ②当时，无解； ③当时，解得. （3），即，故. 则， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 18．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； (2)当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)万件，最大利润为万元 【难度】0.65 【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解； （2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）依题意得：当时，， 则，所以， 因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元， 依题意得：当时， ， 当时， ， 所以. （2）当时， 所以当时，取最大值10万元； 当时，. 当且仅当即时，取最大值14万元 因为，所以当时，取最大值14万元， 所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 19．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】(1)3 (2) (3)时，函数与的“偏差”取最小值. 【难度】0.4 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为3； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【详解】（1）（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $