精品解析：山西怀仁市第一中学校2026-2027学年上学期高二年级第一次摸底考试数学试题

怀仁一中高二年级2026~2027学年上学期第一次摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，其虚部为. 2. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的投影向量公式可求答案. 【详解】因为，所以，， 所以向量在上的投影向量为， 故选：D. 3. 在中，若 ，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式进行求解. 【详解】由题意得：，的面积， 则，所以，. 4. 已知非零向量，，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，所以，所以； 当时，， 所以. 所以“”是“”的充分必要条件. 5. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，若，，则，A错误. 对于B，若，，则或与相交，B错误. 对于C，若，，则，C正确. 对于D，若，，则，D错误. 6. 如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 7. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，即圆心角为的扇形， 则，即， 又，即， 由，得，解得， 则. 8. 从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先列出所有等可能的抽取情况，分别计算每种情况下和，再统计满足的情况数，最后用古典概型公式计算概率. 【详解】从中随机抽取三个不同的数，共有种等可能的情况： ①抽取，则，剩余数为，，此时； ②抽取，则，剩余数为，，此时； ③抽取，则，剩余数为，，此时； ④抽取，则，剩余数为，，此时； 在总共种等可能的情况中，满足的情况有种， 因此 【点睛】直接通过枚举法快速判断的条件，可简化计算. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的四则运算得，再依次判断选项即可． 【详解】， 对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，在复平面内对应的点，则点在第四象限，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 10. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，A正确; 对于B，由正弦定理得，B正确; 对于C，由正弦定理得，而，因此或，C错误; 对于D，由 ，得为钝角，因此是钝角三角形，D正确. 11. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面截正方体所得的截面周长为 D. 直线与直线所成角余弦值的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A易知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，根据正方体的对角线长等于球的直径，求出表面积即可判断；B先根据线面平行的判定定理证明平面，则点到平面的距离即为到平面的距离，从而可得为定值，即可判断；C由B可知平面截正方体所得的截面为四边形，分别求出四条边的长度即可判断；D先将直线与直线所成角转化为直线与直线所成角，结合线面所成角的性质，即可求出直线与直线所成角的余弦值的最大值. 【详解】A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为， 因此三棱锥的外接球的表面积，A错误； B，连接，由且， 所以四边形为平行四边形，则， 又，则，四边形为平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由均为所在棱的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确； C，由B可知，平面截正方体所得的截面为四边形， 而，，， 所以，C正确； D，由B知，则直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 由异面直线所成角的范围为，若所成角余弦值最大，则直线与直线所成角尽可能小， 在正方体中，易知平面，则为与平面所成的角，为， 由线面角的性质可知，平面内任意直线与斜线的夹角不小于线面角，所以直线与直线所成角， 所以，即直线与直线所成角余弦值的最大值为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且是实数，则复数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，再根据模长公式得到关于的方程，解出即可. 【详解】∵是实数，∴复数的虚部为，设，， ∵，∴，∴，∴. 故答案为：. 13. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________. 【答案】 【解析】 【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解. 【详解】依题意，，解得， 将数据从小到大排列可得：， 又，则分位数为. 故答案为：. 14. 已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由，，则， 即，又， 又，得. 由正弦定理得， 所以， 故 ， 又，所以， 则，得， 所以，当且仅当时取等号， 又的面积， 所以的面积的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，正四棱台的高为3，且 （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即为所求，最后在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， ，， ， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 16. “十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． （1）求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； （2）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 【答案】（1）32岁 （2）94，6，94，6.8，从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定 【解析】 【分析】（1）设中位数为a，根据中位数的定义列方程求解即可. （2）求出平均数，再根据方差的定义求方差；比较平均数与方差即可得出结论. 【小问1详解】 设中位数为a，∵第一组的频率为， 第二组的频率为，第三组的频率为， 又，，． 则，，则中位数为32岁． 【小问2详解】 5个年龄组成绩的平均数为， 方差． 5个职业组成绩的平均数为， 方差为． 所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定． 17. 已知中 ，. （1）求的长度； （2）设点在延长线上，且满足.求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理解三角形即可； （2）根据同角三角函数关系，求出，再根据余弦定理解三角形，根据正弦定理求出结果即可. 【小问1详解】 由余弦定理， 代入已知数据，得 故. 【小问2详解】 由，且，所以， 由，得. 在中，根据余弦定理：， 即，得. 由正弦定理可知， 所以. 18. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 【小问2详解】 记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积， 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. 【小问3详解】 因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中高二年级2026~2027学年上学期第一次摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若 ，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 10. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是钝角三角形 11. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面截正方体所得的截面周长为 D. 直线与直线所成角余弦值的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且是实数，则复数______. 13. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________. 14. 已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，正四棱台的高为3，且 （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 16. “十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． （1）求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； （2）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 17. 已知中 ，. （1）求的长度； （2）设点在延长线上，且满足.求. 18. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $