专题：基本不等式七类必考最值题型（知识清单＋重点习题＋解题技巧）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

精品培优专题：基本不等式七类必考最值题型 （知识清单＋重点习题＋解题技巧） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】直接利用不等式求最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 【例1】．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【练习1】．（25-26高一上·四川成都·期中）设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．32 【练习2】利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. （一）：和定积最大 【例1】．（海南省部分学校2026届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题）已知，且，则xy的最大值为 . 【练习1】．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知，则的最大值是 ． 【练习2】．（25-26高三上·福建漳州·阶段练习）若，，则的最小值为 . （二）：积定和最小 【例1】．（25-26高一上·南京·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【练习1】若，，则的最小值为______． 【练习2】．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A．36 B．13 C．12 D．6 【题型2】 凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 配凑法求最值模型 ，当且仅当时等号成立 【例1】．（湖南省2025-2026学年高三月考数学试题）若，则的最小值是（   ） A．6 B．4 C．10 D． 【练习1】．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【练习2】.当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 【练习3】．（25-26高一上·海南·阶段练习）函数（）的最大值为（   ） A． B．3 C．1 D． 【题型3】“1”的妙用 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 （一）：乘“1”法 【例1】．（25-26高一上·河南·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【练习1】．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）若正实数满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【练习2】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【练习3】（25-26高三上·上海嘉定·期中）设，则的最小值为 . （二）：隐含的“1” 【例1】若，则的最小值为______. 【练习1】已知，则的最小值是______. （三）：构造分母 【例1】．（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 【练习1】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知实数满足，且，则的最小值为 . 【练习2】已知正数、满足，求 的最小值； 【练习3】已知实数，且，则的最小值是 . （四）：分子“1”的代换 【例1】．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【练习1】．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【练习2】正实数，满足，则的最小值是________ （五）：同除法 【例1】．（黑龙江省2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试卷）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D．9 【练习1】．（25-26高一上·上海·阶段练习）已知 ，且 ，则 的最小值是 . 【练习2】.设为正实数，且，则的最小值为 . 【题型4】分离常数法 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 模型1：（x>0） 模型2： 模型3：，当且仅当时等号成立 【例1】已知，则函数的最小值是 ． 【练习1】若，则函数的最小值为 . 【练习2】已知，则的最小值为 . 【练习3】的最小值是______. 【题型5】判断不等式是否能成立 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． 【例1】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【练习1】．（25-26高一上·上海·阶段练习）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【练习2】．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则最小值为2 B．的最小值为6 C．若，则的最小值为4 D．的最大值为 【综合应用】 1．（多选）（25-26高一上·新疆·开学考试）已知，，且，则（    ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是2 2．（多选）（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知正数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 精品培优专题：基本不等式七类必考最值题型（解析版） （知识清单＋重点习题＋解题技巧） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】直接利用不等式求最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 【例1】．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据基本不等式列不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 令，得， 解得（不符合题意舍去）或， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为. 故选：C 【练习1】．（25-26高一上·四川成都·期中）设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】D 【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时取等号. 令得：，即， 解得：，此时， 当且仅当时取等号.所以的最小值为32. 故选：D 【练习2】利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）9；（2）16 【分析】由条件可得，结合基本不等式分别求和的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. （一）：和定积最大 【例1】．（海南省部分学校2026届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题）已知，且，则xy的最大值为 . 【答案】1 【分析】直接利用基本不等式即可. 【详解】因，则，所以， 当且仅当时等号成立， 则xy的最大值为. 故答案为： 【练习1】．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知，则的最大值是 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是1. 故答案为：1 【练习2】．（25-26高三上·福建漳州·阶段练习）若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式求得，再使用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. （二）：积定和最小 【例1】．（25-26高一上·南京·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】直接使用基本不等式求解即可. 【详解】由于，， 当时，上式取等号，即时，的最小值是. 故选：B 【练习1】若，，则的最小值为______． 【答案】2 【简析】 【练习2】．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A．36 B．13 C．12 D．6 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，即当时取等号， 所以当时，有最小值， 故选：C 【题型2】 凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 配凑法求最值模型 ，当且仅当时等号成立 【例1】．（湖南省2025-2026学年高三月考数学试题）若，则的最小值是（   ） A．6 B．4 C．10 D． 【答案】C 【分析】先对式子进行变形，构造出可以使用基本不等式的形式，再根据基本不等式的条件求出最小值. 【详解】，，对进行变形可得， 根据基本不等式，得， 当且仅当时即等号成立， 当时，取得最小值为. 故选：. 【练习1】．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】变形得，利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是12． 故选：A． 【练习2】.当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 【答案】A 【解析】当时，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以有最大值1，没有最小值，故选：A 【练习3】．（25-26高一上·海南·阶段练习）函数（）的最大值为（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】将代数式化为，结合基本不等式可求得答案. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以当时，则的最大值为. 故选：D 【题型3】“1”的妙用 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 （一）：乘“1”法 【例1】．（25-26高一上·河南·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【练习1】．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）若正实数满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正实数满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【练习2】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，，所以， 又，，所以， 所以， 当，即，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【练习3】（25-26高三上·上海嘉定·期中）设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 （二）：隐含的“1” 【例1】若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则. 【练习1】已知，则的最小值是______. 【答案】 【简析】记，则，则有 （三）：构造分母 【例1】．（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得，再利用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为正实数，满足， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即， 又因为，所以时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【练习1】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据常数变换，转化，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】由条件可知，，， 由可知，， 所以， ， 当时，即等号成立， 当，且，得，， 所以的最小值为. 故答案为： 【练习2】已知正数、满足，求 的最小值； 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； 【练习3】已知实数，且，则的最小值是 . 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 （四）：分子“1”的代换 【例1】．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用1的代换，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：B. 【练习1】．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】因为实数、，且， 所以， 当且仅当，即时，的最小值是. 故选：A. 【练习2】正实数，满足，则的最小值是________ 【答案】 【解析】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是 （五）：同除法 【例1】．（黑龙江省2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试卷）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】由条件得到，再结合乘1法即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：D. 【练习1】．（25-26高一上·上海·阶段练习）已知 ，且 ，则 的最小值是 . 【答案】4 【分析】由已知可得，然后由展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，， 可得：， 故， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：4 【练习2】.设为正实数，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【题型4】分离常数法 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 模型1：（x>0） 模型2： 模型3：，当且仅当时等号成立 【例1】已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 【练习1】若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 【练习2】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 【练习3】的最小值是______. 【答案】 【详解】，当且仅当时，即时取等号 【题型5】判断不等式是否能成立 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． 【例1】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 【练习1】．（25-26高一上·上海·阶段练习）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 【练习2】．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则最小值为2 B．的最小值为6 C．若，则的最小值为4 D．的最大值为 【答案】C 【分析】应用基本不等式求最值，注意取值条件判断A、B、D，由对勾函数的性质确定的最值判断C. 【详解】A，由，则，此时，当且仅当时取等号，为真命题； B，由，则， 当且仅当，即时取等号，为真命题； C：由，则，故在上单调递增， 所以，为假命题； D：由，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为，为真命题. 故选：C 【综合应用】 1．（25-26高一上·新疆·开学考试）已知，，且，则（    ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是2 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由，，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为4，故A正确； 对于B，因为，当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，得，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，由，，取，则，故D错误。 故选：AB. 2．（多选）（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知正数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式判断即可. 【详解】因为，，，所以，解得，当且仅当时，等号成立，A正确，B不正确； ，当且仅当，时，等号成立，C不正确，D正确． 故选：AD 学科网（北京）股份有限公司 $