2.2基本不等式10题型分类(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.2 基本不等式10题型分类 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下面四个推导过程正确的有（   ） A．若为正实数，则 B．若，则 C．若．则 D．若，则 【答案】AC 【分析】对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面： (1)定理成立的条件是都是正数. (2)“当且仅当”的含义：只有当时候，基本不等式才能取等号. 【解析】A中，为正实数，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，，不符合基本不等式的条件， 是错误的； C中，由，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的，都有，即，所以D不正确． 故选：  AC 2．（2025高一·全国·专题练习）下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则． 【答案】② 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当，即时，等号成立， 因为，所以； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 答案  ② 3．（2025高一·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 4．（2025高一·全国·课后作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【答案】B 【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【解析】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即. 故选：B. 5．（2025·河北衡水·模拟预测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【解析】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 6．（2025高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算出. 【解析】因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：. 故选：B 7．（2025高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】根据不等式的性质和基本不等式可以得到相关结论. 【解析】因为，所以，，，， 所以，，当时， 由基本不等式可知，所以， 由上可知，，，所以四个式子中最大． 故答案为：④. 8．（2025高一·陕西安康·开学考试）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A、B：利用作差法分析判断；对C、D：根据基本不等式分析判断. 【解析】对A、B：∵，则， ∴，即，，A、B正确； 对C∵，例如，则，显然不满足，C错误； 对D：∵，则， ∴，D正确. 故选：ABD. 9．（2025高一·河北邯郸·期末）（多选）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD. 【解析】，且， 所以，即，故A错误，B正确； 所以，即，故C错误，D正确. 故选：BD. 10．（2025·北京）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 11．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误. 【解析】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 题型3：利用基本不等式证明不等式 12．（2025高二·河南洛阳·阶段练习）已知，，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用把化为，展开利用基本不等式求最值即可证明. 【解析】因为，，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故原题得证. 13．（对点练05基本不等式-2025-2026年新高考高中数学一轮复习对点练）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证； （2）由基本不等式得，可得证. 【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题. 14．（2025高一·全国·专题练习）已知是互不相等的正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明:，且， ， 当且仅当时，等号成立， 互不相等，． 15．（2025高一·全国·专题练习）已知是互不相等的正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明:，且， ， ， 当且仅当时取等号，互不相等，不等式成立． 16．（2025高一·全国·专题练习）设都是正数，试证明不等式：． 【答案】证明见解析 【解析】证明:因为， 所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立． 所以． （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 17．（2025高一·广东佛山·期中）若，则的最小值为 ； 【答案】 【分析】由基本不等式求出最小值. 【解析】因为，故， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 18．（2025高二·甘肃兰州·期末）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式即可得到答案. 【解析】因为，所以，解得， 当且仅当即，时，等号成立． 所以的最大值为2. 故答案为：2 19．（2025高一·贵州毕节·期末）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据已知，利用基本不等式求解即可. 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以. 故答案为：. 题型5：配凑法求最值 20．（2025高一·湖南长沙·期末）若，则函数最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】， 由于，所以，故，当且仅当时等号成立， 因此， 故答案为： 21．（2025高一·江苏徐州·期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 【答案】1 【分析】对目标函数进行配凑，利用基本不等式即可求得函数最大值. 【解析】因为x＜，所以5－4x＞0， 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数最值，属基础题. 22．（2025高一·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可. 【解析】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 23．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 24．（2025高一·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【解析】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 25．（2025高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 题型6：常数代换法求最值 26．（25-26高三·四川成都·开学考试）设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【解析】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 27．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 28．（2025高一·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【答案】D 【分析】由均值不等式计算可得结果. 【解析】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 29．（2025高一·全国·专题练习）设，且，则的最小值是（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】B 【解析】由题意，，故， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选B． 30．（25-26高三·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【解析】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 31．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解. 【解析】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 32．（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 33．（2025高一·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【解析】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 34．（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形给定式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 题型7：消元法求最值 35．（25-26高三·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【解析】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 36．（2024高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【解析】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 37．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【解析】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 38．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据题设条件，求出，代入所求式，将其整理，运用基本不等式即可求得. 【解析】由可得：，将其代入，则有：， 因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故答案为：. 题型8：整体化求最值 39．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【解析】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 40． （2025高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【解析】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 41．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【解析】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型9：基本不等式的恒成立问题 42．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 43．（2025高二·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值. 【解析】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 44．（2025高二·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【解析】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 45．（2025高一·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【解析】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 46．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【解析】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 47．（2025高二·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解析】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 48．（2025高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【解析】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型10：利用基本不等式解决实际问题 49．（2025高一·全国·专题练习）北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时） 【答案】当车速千米/小时时，车流量最大为11.1千辆/小时 【分析】利用基本性质不等式解决生活中的实际问题，审题，依据题意建立函数模型，利用基本性质不等式求解最值，最后验证等号是否成立. 【解析】由题意， 当且仅当，即时，等号成立． （千辆/小时）， ∴当车速（千米/小时）时，车流量最大为11.1千辆/小时． 50．（2025高三·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【答案】A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【解析】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 51．（2025高二·湖南长沙·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长． A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定 【答案】C 【分析】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论. 【解析】设天平左臂长，右臂长，且， 设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以， 所以，，则． 故选：C． 52．（2025高一·全国·专题练习）某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元满足关系式（k为常数）．如果不搞促销活动（即年促销费用），则该产品的年销售量只能是1万件．已知2025年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求出常数k的值，并将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 【答案】(1)， (2)3万元 【解析】（1）由题意，， 不搞促销活动（即年促销费用），则该产品的年销售量只能是1万件，在中，k为常数，，解得， 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍， ∴每件产品年平均成本为， 利润：，即． （2）由题意及（1）得在中， ， 当且仅当即时等号成立， ∴该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大． 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）的最大值为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用配方法结合函数的定义域即可求解． 【解析】＝＝＝， 由于， 所以当时，有最大值， 故选：B. 【点睛】本题考查利用配方法求二次函数的最值，考查计算化简的能力，属基础题. 2．（2025高三·江西赣州·期中）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答. 【解析】，为正数，，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值9. 故选：C 3．（2025高三·河北·专题练习）设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（    ） A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 【答案】A 【解析】由做差，然后对差式进行配方可得结果. 【解析】 故选：A. 【点睛】本题主要考查做差法比较大小，关键是对做差以后的式子进行化简. 4．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【解析】因为，所以，则，当且仅当，即，时等号成立. 故选：D. 5．（2025高二·安徽六安·阶段练习）设x＞0，则函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】根据x＞0，将函数转化为，利用基本不等式求解. 【解析】因为x＞0， 所以函数， 当且仅当 ，即时取等号， 故函数的最小值为0 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了转化化归的思想，属于基础题. 6．（2025高二·广东东莞·期中）已知，则函数取最小值为　　 A． B．2 C．5 D．7 【答案】D 【分析】对式子变形为，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】， 则原式变形为， 当且仅当“”即“”时取“”，所以原函数的最小值为7. 故选：D. 7．（2025高三·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】由基本不等式求解 【解析】， 当且仅当即时取等号. 故选：B 8．（2025高一·全国·课后作业）给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质可直接判断. 【解析】由基本不等式可知，要使成立，则，所以，同号， 所以①③④均可以， 故选：C. 9．（2025高三·云南红河·阶段练习）已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】 ，选C. 10．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【解析】因为，可得， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． 二、多选题 11．（2025高一·福建莆田·期中）一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本不等式计算一一判定即可. 【解析】不妨设矩形长宽分别为，则. 对于A项，显然成立，符合， 对于C项，显然成立，符合， 即A、C正确； 对于B项，显然不成立， 对于D项，显然不成立，即B、D错误. 故选:AC 12．（2025高一·全国·课后作业）（多选）有下列式子，正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过作差，基本不等式等证明A，B，D正确，通过举反例说明C错误即可． 【解析】对于A，　故A错误； 对于B，当时，（当且仅当x＝1时取“＝”）； 当时，（当且仅当x＝－1时取“＝”），故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，（当且仅当x＝0时取“＝”），故D正确． 故选：BD． 13．（2025高一·山东泰安·期中）设，，给出下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围. 【解析】由可得，故A正确； 由可得，故B错误； 由，当且仅当时取等号，故C正确； 由， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知,若恒成立，则实数的最大值为. 【答案】10 【解析】试题分析：，最大值为10 考点：不等式性质 15．（2025高一·上海长宁·期末）已知直角三角形的斜边长为，则该直角三角形面积的最大值是 ． 【答案】100 【分析】设两直角边为，则，进而根据基本不等式求解即可. 【解析】解：设两直角边为，∵直角三角形的斜边长为 ∴， ，，即． 故答案为： 16．（2025高一·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 【答案】 【分析】求得关于的表达式，结合基本不等式比较出两者的大小. 【解析】依题意， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为： 17．（2025高一·全国·课后作业）若，则与的大小关系是 . 【答案】 【解析】依据条件及不等式的性质即可得到结论． 【解析】解：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查用基本不等式应用，属于基础题． 18．（2025高一·江苏连云港·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再利用不等式恒成立进行求解. 【解析】因为，，且， 所以 （当且仅当，即时取“=”）， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 19．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）已知,若恒成立,则实数k的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据变形后，利用均值不等式求出的最小值即可求解. 【解析】,, , 当且仅当，即时等号成立. 所以， 即实数k的最大值为8， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了均值不等式，“1”的变形应用，不等式的恒成立，属于中档题. 20．（2025高一·全国·课后作业）若，都是正数，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据基本不等式求解即可. 【解析】 （当且仅当时，等号成立）. 故答案为：9. 21．（2025高二·全国·课后作业）已知，是不相等的正数，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【解析】∵x2＝＝＝<＝a＋b.＝()2＝y2，∴x<y. 四、解答题 22．（2025高一·上海黄浦·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． (1)老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； (2)研究的最小值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，结合提示证明，由此可求结论； （2）先证明，由此可求的最小值； （3）先证明，由此可求的最小值. 【解析】（1）由，结合提示可得，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为； （2）由，， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为． （3）由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取到最小值，最小值为． 23．（2025高二·北京·阶段练习）某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. （1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数. （2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 【答案】（1）；（2）台. 【分析】（1）若每批购入台，则需要进购批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出的值，若每批购入台，则需要进购批，进而可得出关于的函数解析式； （2）利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解. 【解析】（1）若每批购入台，则需要进购批，总运费为元， 每批购入电脑的总价值为元，由题意可得， 解得， 若每批购入台，则需要进购批， 所以，； （2）由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当每批购入台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少. 【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 24．（2025高一·四川凉山·期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】千套时，取得最小值为180万元 【分析】根据总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用，再根据基本不等式求总费用的最值，并求等号成立的条件. 【解析】由题意得：建造成本费用为， 使用管理费：，所以， ， 当且仅当时，即千套时，取得最小值为180万元． 25．（2025高二·福建·期末）设，证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用基本不等式可得，即得证； （2）由（1）结论可得，，，三式相加即得证. 【解析】（1） ，当且仅当时等号成立， ； （2）由（1）可得：， 同理可得：，， 三式相加，得：， . 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 26．（2025高一·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解析】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 27．（2025高一·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【解析】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.2 基本不等式10题型分类 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下面四个推导过程正确的有（   ） A．若为正实数，则 B．若，则 C．若．则 D．若，则 2．（2025高一·全国·专题练习）下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则． 3．（2025高一·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·课后作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 5．（2025·河北衡水·模拟预测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 6．（2025高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 8．（2025高一·陕西安康·开学考试）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·河北邯郸·期末）（多选）若，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 题型3：利用基本不等式证明不等式 12．（2025高二·河南洛阳·阶段练习）已知，，且，求证：. 13．（对点练05基本不等式-2025-2026年新高考高中数学一轮复习对点练）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 14．（2025高一·全国·专题练习）已知是互不相等的正数，且，求证：． 15．（2025高一·全国·专题练习）已知是互不相等的正数，且，求证：． 16．（2025高一·全国·专题练习）设都是正数，试证明不等式：． （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 17．（2025高一·广东佛山·期中）若，则的最小值为 ； 18．（2025高二·甘肃兰州·期末）已知，若，则的最大值为 ． 19．（2025高一·贵州毕节·期末）已知，则的最大值为 . 题型5：配凑法求最值 20．（2025高一·湖南长沙·期末）若，则函数最大值为 . 21．（2025高一·江苏徐州·期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 22．（2025高一·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 25．（2025高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 题型6：常数代换法求最值 26．（25-26高三·四川成都·开学考试）设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 27．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 28．（2025高一·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 29．（2025高一·全国·专题练习）设，且，则的最小值是（   ） A． B．8 C． D．16 30．（25-26高三·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 31．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 32．（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 33．（2025高一·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 34．（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 题型7：消元法求最值 35．（25-26高三·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 36．（2024高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 37．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 38．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 题型8：整体化求最值 39．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 40． （2025高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是 41．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型9：基本不等式的恒成立问题 42．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 43．（2025高二·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 44．（2025高二·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 45．（2025高一·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 46．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 47．（2025高二·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 48．（2025高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型10：利用基本不等式解决实际问题 49．（2025高一·全国·专题练习）北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时） 50．（2025高三·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 51．（2025高二·湖南长沙·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长． A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定 52．（2025高一·全国·专题练习）某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元满足关系式（k为常数）．如果不搞促销活动（即年促销费用），则该产品的年销售量只能是1万件．已知2025年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求出常数k的值，并将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）的最大值为（    ） A．9 B． C．3 D． 2．（2025高三·江西赣州·期中）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2025高三·河北·专题练习）设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（    ） A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 4．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·安徽六安·阶段练习）设x＞0，则函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 6．（2025高二·广东东莞·期中）已知，则函数取最小值为　　 A． B．2 C．5 D．7 7．（2025高三·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．（2025高一·全国·课后作业）给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025高三·云南红河·阶段练习）已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025高一·福建莆田·期中）一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·全国·课后作业）（多选）有下列式子，正确的有（　　） A． B． C． D． 13．（2025高一·山东泰安·期中）设，，给出下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知,若恒成立，则实数的最大值为. 15．（2025高一·上海长宁·期末）已知直角三角形的斜边长为，则该直角三角形面积的最大值是 ． 16．（2025高一·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 17．（2025高一·全国·课后作业）若，则与的大小关系是 . 18．（2025高一·江苏连云港·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 . 19．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）已知,若恒成立,则实数k的最大值为 . 20．（2025高一·全国·课后作业）若，都是正数，则的最小值为 . 21．（2025高二·全国·课后作业）已知，是不相等的正数，，，则，的大小关系是 . 四、解答题 22．（2025高一·上海黄浦·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． (1)老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； (2)研究的最小值； (3)当时，求的最小值． 23．（2025高二·北京·阶段练习）某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. （1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数. （2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 24．（2025高一·四川凉山·期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值． 25．（2025高二·福建·期末）设，证明： （1）； （2）. 26．（2025高一·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 27．（2025高一·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $