精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期3月检测数学试卷

楚雄州民族中学2023-2024学年春季学期三月月考 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项之中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 质量、速度、位移、加速度、功都是向量． B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小． C. 两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同． D. 向量的模可以比较大小． 3. 在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 10 4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 5. 已知是角终边上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项之中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知，，若与共线，则 B. 若，则外接圆半径是4 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，，为锐角，则实数的范围是 11. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为； B. 的图象关于对称； C. 是一个零点； D. 在单调递减； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；把答案填在题中的横线上. 12. 复数满足，则___________. 13. 已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则___________. 14. 在直角坐标系中，O为坐标原点，，四边形OABC是平行四边形，点P为直线OB上的动点，则的最小值是___________. 四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题各15分，第18､19小题各17分，共77分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ （1）在虚轴上； （2）在第二象限； （3）在直线上. 16. 已知，的夹角为120°，且，求： （1）； （2）； （3）与的夹角. 17. 在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，. （1）求面积； （2）若是边上一点，且，求长. 18 已知向量，，且. （1）计算并化简：； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 19. 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. （1）求的余弦值. （2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学2023-2024学年春季学期三月月考 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项之中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断. 【详解】且，则；且，则，所以. 故选：A 2. 下列说法正确的是（ ） A. 质量、速度、位移、加速度、功都是向量． B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小． C. 两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同． D. 向量的模可以比较大小． 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义，以及相等向量，模的定义，即可判断选项. 【详解】A.质量、功不是向量，故A错误； B.向量不能比较大小，故B错误； C.相等向量指方向相同，长度相等的向量，与起点和终点无关，故C错误； D.向量的模是数量，可以比较大小，故D正确. 故选：D 3. 在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 故选：B． 4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】A 【解析】 【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°. 【详解】由正弦定理得， 即， 解得sinB=， 又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°， 又因为a>b，所以A>B，即B=30°. 故选：A. 5. 已知是角终边上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，结合诱导公式，即可求解. 【详解】由点是角终边上的一点，可得， 又由. 故选：C. 6. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据将所求角用两角差的正切展开代入求值. 【详解】 . 故选：B 8. 一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的合成法则和余弦定理，即可求出船速的大小． 【详解】如图所示， ，，， ， ； 又， 船速的大小应为海里小时． 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项之中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知，，若与共线，则 B. 若，则外接圆半径是4 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，，为锐角，则实数的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线的性质可直接判断A选项；根据正弦定理可判断B选项；根据余弦定理可判断C选项；根据向量数量积与夹角的关系可判断选项D. 【详解】A选项：，，若与共线，则，，A选项正确； B选项：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故B错误； C选项：因为，所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故C正确； D选项：，，若为锐角，则，解得，D选项正确； 故选：ACD. 11. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为； B. 的图象关于对称； C. 是的一个零点； D. 在单调递减； 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象的平移得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期判断A，利用对称性判断B，根据零点定义判断C，利用正弦型函数对称性判断D. 【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合， ， 的一个周期为，故A正确； 的对称轴满足：，， 当时，的图象关于对称，故B正确； 由，得，是的一个零点，故C正确； 当时，，在上单调递增，故D错误. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；把答案填在题中的横线上. 12. 复数满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先设复数，再根据复数相等的定义可得. 【详解】设，则. 由，所以，根据复数相等的定义可得， ，解得，即. 故答案为：. 13 已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】表示出向量，然后利用共线定理和平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 又三点共线，且， 所以存在实数，使得，即， 因为非零向量､不共线，所以，解得. 故答案为： 14. 在直角坐标系中，O为坐标原点，，四边形OABC是平行四边形，点P为直线OB上的动点，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为M， ，求出的值， 的最小值即可求解. 【详解】如图 设的中点为，则 由，得，又，所以，而的最小值为0，所以的最小值是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题各15分，第18､19小题各17分，共77分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ （1）在虚轴上； （2）在第二象限； （3）在直线上. 【答案】（1）或. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）令复数的实部为零，解方程即可求得结果； （2）根据第二象限点坐标特征解不等式可得结果； （3）依题意可得复数的实部与虚部相等，解方程即可. 【小问1详解】 复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. 【小问2详解】 由题意得 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 由已知得， 故. 16. 已知，的夹角为120°，且，求： （1）； （2）； （3）与的夹角. 【答案】（1）12 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算，再结合数量积的运算律即可； （2）利用向量的求模公式即可； （3）先计算，再利用公式计算. 【小问1详解】 由题意可知，， 则； 小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， 则， 因，则， 故与的夹角为 17. 在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，. （1）求的面积； （2）若是边上一点，且，求的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件结合正余定理计算出边a的值，再利用面积公式计算作答. （2）由（1）结合余弦定理求出角A，再利用余弦定理计算作答. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得： ，由余弦定理得：，即， 则，而，解得，，， 所以的面积是. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，而，则， 在中，由余弦定理得，解得， 所以长为. 18. 已知向量，，且. （1）计算并化简：； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算和余弦的两角和公式化简可得； （2）根据平面向量的模长公式，结合余弦函数的性质求解即可； （3）令，转化为二次函数，然后对分类讨论可得. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 由同角三角函数的平方关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以取值范围为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图象开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为， 解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 19. 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. （1）求的余弦值. （2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在或者 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，运用向量法求解夹角即可. （2）分类讨论点的位置，依据条件求解即可. 【小问1详解】 如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系. 则. 由于就是的夹角. ∴ ∴的余弦值为. 【小问2详解】 设. . ∴.由题得. ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ∴舍去； ③当点在上时，设， ∴舍去； ④当点在上时，设， ∴. 综上，存在或者. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $