精品解析：河南省九师联盟2025-2026学年高三上学期第三次质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与简易逻辑，函数，导数，三角函数与解三角形，数列，平面向量． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，根据集合的补集运算即可求解. 【详解】由题意知，所以． 故选：C． 2. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时，推出，反之，解出，进而求解. 【详解】当时，，所以，充分性成立； 由，得，解得或，所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点O，始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边上的点及正余弦函数的定义确定，即可得. 【详解】由角终边上的点，得，所以. 故选：C 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，求出，再代入解析式，求出即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 5. tan（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案. 【详解】由， ， 所以，原式． 故选：B． 6. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，且满足，则（ ） A. 11 B. 31 C. 32 D. 121 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质解得，再由解出公比，最后由等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由等比数列的性质知，又，所以， 由题可设公比为，则，即，解得或（舍）， 所以． 故选：B． 7. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影法研究数量积最值. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为． 当在处时，最小，最小值为； 当在处时，最大，最大值． 综上所述，的取值范围是． 故选D． 8. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，进而比较大小. 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期 C. 在上单调递增 D. 函数为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的性质，逐一验证即可求解. 【详解】因为，所以，故A错误； 由的最小正周期，故B正确； 令，得， 取，得在上单调递增，， 所以在上单调递增，故C正确； 为非奇非偶函数，故D错误． 故选：BC． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式先求出和，再由诱导公式和倍角公式即可逐一求解. 【详解】由题，A正确； 又，所以，所以，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求导，利用导数研究极值，进而判断B，利用零点存在定理即可判断A，验证否成立即可判断C，计算是否为0即可判断D. 【详解】， 令，得或， 所以在和上单调递减； 令，得或， 函数在和上单调递增， 列表如下： -2 -1 + 0 - 0 + 0 - 极大值2 极小值 极大值2 因为，所以在和上各有一个零点，故A正确； 由表格知，极大值和极小值同号，故B错误； 因为，所以的图象关于直线对称，故C正确； 因为， ， 所以的图象关于对称，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】． 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断确定的递增区间，结合已知求参数范围. 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，研究的性质，结合函数不等式恒成立确定的零点在内，且，进而只需且能成立，应用放缩确定的大致范围，从而得到的大致范围，讨论取整数的情况求其最大值. 【详解】由题设，若是的导数，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 而，且时，时， 所以，上，在上， 当时，恒成立，即在上单调递增，且时，显然不满足题设； 当时，在上存在一个零点，记为， 所以上，即在上单调递增，且时，显然不满足题设； 当时，在上存在一个零点，记为， 此时上，上， 所以上，上，且，则， 即在上单调递减，在上单调递增，， 要使在上恒成立，则且， 由，则，故， 要找到实数的最大整数值，需确定情况下的大致范围， 即能成立，对应的大致范围，只需， 则，故，所以， 由取整数，故范围可变为，再讨论如下： 当时，，显然时，不合题意； 当时，，则， 由，故，使，即， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 又时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，满足题意， 综上，实数取到的最大整数值是1. 故答案为：1 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明月､证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，再结合和两角和正弦公式即可分析计算求解； （2）解法一：由余弦定理得，进而得，最后利用勾股定理即可求解； 解法二：利用向量得，利用数量积运算律即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式得， 因为，所以，所以，即， 又，所以； 【小问2详解】 解法一：由余弦定理得， ，即，所以， 所以； 解法二：因为为边的中点，所以， 所以 又因为的夹角为， 所以，即． 16. 已知函数 （1）求的值； （2）当时，求方程的解； （3）若函数在上恰有三个极值点，求实数ω的取值范围． 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式化简，代入即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值，以及诱导公式、角的范围，求出对应的解即可； （3）结合三角函数的图像与性质，极值点的定义，求解即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由，得， 由，得，所以，或，相应的解为； 【小问3详解】 ，由，得， 因为在上恰有三个极值点，所以，解得， 即的取值范围是． 17. 在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 （1）求； （2）若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：根据已知得、，结合已知向量的线性关系，即可得；法二：连接，通过已知条件构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标并确定相关向量的坐标，由向量线性关系的坐标运算列方程求参数值，即可得； （2）法一：设，根据已知得、，再应用向量数量积的运算律及定义得到关于的表达式，即可求最值；法二：设，应用坐标法表示出相关向量，再由向量数量积的坐标运算得到关于的表达式，即可求最值. 【小问1详解】 法一：因为四边形是平行四边形，是线段的中点， 所以， 因为是线段的中点， 所以， 又，所以，则； 法二：连接，由， 所以，所以， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，， 所以， 因为分别是线段的中点，所以， 所以，又， 所以，即，解得； 【小问2详解】 法一：因为为线段上的动点，设， 所以， ， 在平行四边形中，， 所以， ， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为； 法二：因为为线段上的动点，可设，则， 所以，即， 又，所以， 所以， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为. 18. 已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用即可求解； （2）由（1）知，得，利用错位相减法即可求解； （3）由（2）知，，又，利用裂项相消法即可得证. 【小问1详解】 在中令，得，即，解得． 当时，， 又，所以，即 又，所以，数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以． 设数列的前项和为， 则， 两边同时乘以4，得， 两式相减，得 ，所以； 【小问3详解】 证明：由（2）知，所以， 所以． 因为，所以， 所以， 所以， 综上所述，． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）已知，若函数在上的最小值为0，求的值； （3）若，证明：，使得对恒成立． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，求出切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）求导后再对导数进行分析，研究其单调性，从而得出导数小于等于0，得出单调递减，代入解出即可； （3）首先对于存在性问题，只需求出左侧即可，对求导分析，可以通过隐零点表示出，再利用进行代换，构造函数研究其单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，， ，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，所以， 令，则， 因为，所以， 在上单调递减，， 所以在上单调递减，， 所以，符合题意，即． 【小问3详解】 ，， 令，则，因为， 所以，， 令，得，当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以在时取得极大值，也是最大值，最大值为 要证，使得对恒成立，即证对恒成立，即证对成立，又，所以即证对恒成立，即证，其中． 令， 因为， 所以． 令，则，则在上单调递增，又，则，使，解得，所以． 当时，，即单调递减；当时，，即单调递增． 所以在时取得极小值，也是最小值，． 令， 则，即在上单调递减，， 又， 即当时，， 所以，使得对恒成立，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与简易逻辑，函数，导数，三角函数与解三角形，数列，平面向量． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点O，始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 5. tan（ ） A. 0 B. C. 2 D. 6. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，且满足，则（ ） A. 11 B. 31 C. 32 D. 121 7. 蜂巢精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数，则（ ） A. 最大值为 B. 的最小正周期 C. 在上单调递增 D. 函数为奇函数 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 导函数的图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明月､证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边的中点，求的长． 16. 已知函数 （1）求的值； （2）当时，求方程解； （3）若函数在上恰有三个极值点，求实数ω的取值范围． 17. 在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 （1）求； （2）若为线段上的动点，求的最小值． 18. 已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）证明： 19. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）已知，若函数在上的最小值为0，求的值； （3）若，证明：，使得对恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $