黑龙江省海林市朝鲜族中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期九年级数学期中考试 （人教版21章至23章）命题人：杨泰浩 审核人：姜磊 班级：___________ 姓名：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(   ) A．B． C． D． 2．方程的根为（    ） A． B． C． D． 3．把方程化为的形式，下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图像如图所示，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．抛物线的对称轴和顶点坐标分别是（    ） A． B．，) C．， D． 6．若，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．3或4 7．已知二次函数的图象上有点，，，则，y3的大小关系（    ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt中，∠ACB＝90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（    ） A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1＝S2 D．不确定 9．如果三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长不可能的是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为（    ） A． B． C． D． 11．将二次函数的图象沿y轴翻折后，再向右平移2个单位，向下平移1个单位后，二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 12．抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中结论正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题3分，共24分） 13．如果4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根有一个为 ． 14．正方形边长为3，若边长增加，那么面积增加，则与之间的函数关系式是 ． 15．如图所示，已知抛物线与坐标轴交点分别为A、B、C三点，点D为此抛物线顶点，则四边形的面积为 ． 16．等腰三角形一边长是6，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为 17．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为 ． 18．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数 的图象不经过第_______象限． 19．如图是由同样大小的五角星按一定规律组成，其中第①个图形有2个五角星，第②个图形有4个五角星，第③个图形有8个五角形，第④个图形有14个五角形，则第10个图形有 个五角星． 20．若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ． 三、解答题（60分） 21．先化简，再求值，其中x是方程的解．（6分） 22．用适当的方法解方程：（每小题4分，共12分） (1) (2) (3) 23．如图，点A、B、C为抛物线与坐标轴交点，．(8分） (1)求此抛物线的解析式： (2)在对称轴上找一点P，使BCP的周长最小，则此时点P坐标为_________，BCP的周长为_________． 24．已知关于的一元二次方程(10分） (1)求证：方程总有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数． 25．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶20元，当铺售单价定为30元时，每月可售出200瓶，市场调查反映，销售价每涨1元，月销售量减少10瓶，若这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每月的销售量为y（瓶），月销售利润为w（元）（12分） (1)写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）； (2)超市要在月销售成本不超过3000元的情况下，使月销售利润为2000元，销售价应定为每瓶多少元？ (3)当销售价定为每瓶多少元时超市会获得最大利润？求出最大利润． 26．在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根（）．（12分） (1)求、两点坐标； (2)二次函数经过点和点，求此二次函数解析式； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《黑龙江省牡丹江市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C A B B C D D 题号 11 12 答案 D B 1．C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 2．C 【分析】移项，提取公因式，即可求解． 【详解】解： ， ∴，， 故选：． 【点睛】本题主要考查因数分解解一元二次方程，掌握因数分解法解一元二次方程是解题的关键． 3．B 【分析】根据题意知，要求对一元二次方程一般式进行配方，直接根据配方法即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 因式分解得， 故选：B． 【点睛】本题考查对一元二次方程一般式进行配方，熟练掌握配方法解一元二次方程步骤是解决问题的关键． 4．C 【分析】由抛物线的开口向上知，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以得到，由对称轴为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴a、b异号， 即， 根据第三象限特点： 可知点P在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，难度适中． 5．A 【分析】把抛物线化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， 由顶点式的性质可得， 对称轴为 ，顶点为， 故答案为A． 【点睛】本题考查抛物线解析式之间的转变及性质，解题关键是解析式间转变及熟知对称轴，顶点的性质． 6．B 【分析】根据题意，采用换元法，令，将转化为，即，得到，解得或，再结合，即可确定，从而确定答案． 【详解】解：令， 将转化为， ，即，解得或， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及换元法、解一元二次方程等知识，熟练掌握换元法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 7．B 【分析】首先找到抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧，根据抛物线的性质判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 抛物线的对称轴为 ， 根据对称性可得C点的对称点为 ， ∵ ， ∴当 时，y随x增大而增大， ∵ ， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧根据性质进行比较大小． 8．C 【分析】连接OP，根据题意知半圆关于OP对称，因而S1，S2在直径AC上面的两部分的面积相等，由△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相同，因而△CDB与△AEB的面积相同，因而S1＝S2． 【详解】解：如图，连接OP， ∵点P是半圆弧AC的中点，半圆弧的圆心为O， ∴半圆关于OP对称， ∴S1，S2在直径AC上面的两部分的面积相等， ∵△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相同， ∴△CDB与△AEB的面积相同，因而S1＝S2． 故选：C． 【点睛】此题考查圆的轴对称性质，等底同高三角形的面积关系，正确理解圆的轴对称的性质是解题的关键． 9．D 【分析】先解一元二次方程，得到三角形的两边长，再算出第三边的范围，从而得到周长的范围，根据连接三角形三边的中点，得到的三角形的周长为原三角形周长的一半即可得到结果． 【详解】解： 或 解得：， 设三角形的第三边为，则 三角形的周长的大小范围为： 连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长等于原三角形周长的一半 得到的三角形的周长的大小范围为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟知三角形的三边关系，和正确解一元二次方程是解题的关键． 10．D 【分析】先判断二次函数与轴交于，再根据一次函数的经过的象限判断和的正负，通过和的正负判断二次函数的开口方向和与轴的交点位置即可求解． 【详解】解：由可知二次函数图象与轴交于 观察选项A和选项B的一次函数经过一二三象限，可得， 若，，则二次函数开口方向向上，与轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错误； 观察选项C和选项D的一次函数经过一二四象限，可得， 若，，则二次函数开口方向向下，与轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象的综合题，熟知一次函数图象与系数的关系，和二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 11．D 【分析】根据关于y轴对称的性质得到新的函数，再根据平移的规律平移即可得到答案． 【详解】解：沿y轴翻折，即关于y轴对称得， ∴， 根据平移规律“左加右减上加下减”可得， ， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称及函数的平移，解题关键是根据关于y轴对称求出新函数再平移． 12．B 【分析】根据图示，对称轴，可以判断的正负关系，并确定，同时根据对称轴可以确定抛物线的最大值为，由此即可求解． 【详解】解：根据图示，对称轴为， ∴，，，且， ∴， 结论①，，故原命题错误； 结论②，当时，二次函数解析式为， ∵对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在与之间，且与关于对称， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴当时，二次函数解析式为，故原命题正确； 结论③， ∵， ∴，故原命题错误； 结论④， 当时，二次函数解析式为，且，， ∴，即，故原命题正确； 结论⑤， 当时，抛物线有最大值，最大值为， 变形得，，且为任意实数， 当时，，不等式取等号； 当时，，故原命题正确． 综上所述，正确的有②③⑤， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，系数的关系，掌握二次函数图像在平面直角坐标系的位置，从而确定系数间的关系是解题的关键． 13．x=-2 【分析】把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0，即可得出答案． 【详解】解：当把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0， 即方程一定有一个根为x=-2． 故答案为：x=-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 14． 【分析】增加的面积新正方形的面积原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：新正方形的边长为，原正方形的边长为3， 新正方形的面积为，原正方形的面积为9， ， 故答案为：． 【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键． 15．9 【分析】根据题意，分别求出A、B、C、D的坐标，连接，计算，，，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵与坐标轴交点分别为A、B、C三点，点D为此抛物线顶点， ∴当时， 当时， 解得：或， ∵， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积． 故答案为：9． 【点睛】本题考查二次函数顶点，与x轴y轴交点及围成图形面积问题，解题关键是作辅助线将四边形分成底边在x轴或y轴上的三角形． 16．14或15或16 【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念分类讨论求解可得． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得或， 若3为腰的长，则三角形三边长度为3、3、6，不能构成三角形，舍去； 若4为腰长，则三角形三边长度为4、4、6，此时符合题意，所以周长为14； 若6为腰长，则三角形三边长度为6、6、3或6、6、4，均符合题意，所以周边长为15或16； 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题考查了三角形三边长关系，等腰三角形的定义，解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法． 17． 【分析】利用函数图像之间的关系解不等式，对于可转化为，不等式的解集从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围，根据图像即可得到答案． 【详解】解：可将转化为， 又抛物线与直线相交于如图所示的，两点， 的解集，从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围， 由抛物线与直线相交于的横坐标为，的横坐标为可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用函数图像求不等式的解集，理解的解集，从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围是解决问题的关键． 18．二 【分析】先根据有两个不相等的实数根解出的取值范围，再判断出，即可解出的图象经过的象限． 【详解】解： 有两个不相等的实数根 解得： ， 的图象经过一三四象限 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，和一次函数的图像与系数的关系，熟知一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式是解题的关键． 19． 【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到规律为，当时，求出五角形个数即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可知： 第①个图形有2个五角星，个数为； 第②个图形有4个五角星，个数为； 第③个图形有8个五角形，个数为； 第④个图形有14个五角形，个数为； 第个图形五角形个数为； 当时，五角形个数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律为是解决问题的关键． 20．或2 【分析】根据和两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答． 【详解】解：当时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点， 当时，函数为二次函数， ∵函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴有1个实数根， ∴， 解得或． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 21．， 【分析】先化简分式，再解一元二次方程，将一元二次方程的解代入分式即可求值． 【详解】解： ∵， 解得 又∵， ∴． 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，和化简分式，熟知一元二次方程的解法和分式的化简法则是解题的关键． 22．(1)， (2)无实数根 (3)， 【分析】（1）直接开方，移项即可求解； （2）先按多项式乘以多项式展开，移项，运用根的判别式判断是否有实根，由此即可求解； （3）移项，提取公因式，合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴，则；，则， ∴，． （2）解： ∵，，， ∴， ∴原方程无实根． （3）解： ∴，． 【点睛】本题主要考查开方法，因式分解法解一元二次方程，掌握开方法，因式分解是解题的关键． 23．(1) (2)， 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，代入抛物线解析式，根据待定系数法求出此函数的关系式即可； （2）先求出A点坐标，然后根据抛物线的对称性得到AP=BP，则PB+PC的最小值即为的最小值，此时最小，即的周长最小，故当P、A、C三点共线时，的周长最小，即P在P′所在的位置，求出直线的解析式，即可求出P点坐标，进而可求出的周长； 【详解】（1）解：（1）∵， ∴． 设：抛物线解析式为经过， ， 解得 ∴抛物线解析式为 （2）如图，连接与抛物线对称轴交于点， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵B是抛物线与x轴的另一个交点，， ∴， ∴， ∵点A，B关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴的最小值即为的最小值，此时最小，即的周长最小， ∴当P、A、C三点共线时，的周长最小，即P在所在的位置， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴点P的坐标为． ∵当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、轴对称最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与方程根的情况，通过计算，确定判别式非负即可得到结论； （2）根据题意，直接利用一元二次方程根与系数的关系，借助两根之和为零，列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 关于的一元二次方程总有实数根； （2）解：， 由一元二次方程根与系数的关系得， 若方程的两个根互为相反数，则， ，解得， 当为何值时，方程的两个根互为相反数． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系、根与系数关系，熟记一元二次方程根的情况与判别式关系及根与系数关系是解决问题的关键． 25．(1)， (2)销售价应定为每件40元 (3)当销售价定为每瓶35元时超市会获得最大利润，最大利润为2250元 【分析】（1）利用每月的销售利润=每瓶的销售利润月销售量，即可求出结论； （2）令，即可得出关于的一元二次方程，求出的值，再依据在月销售成本不超过3000元判断即可； （3）结合（1）中解析式，通过配方法即可求出最大利润． 【详解】（1）根据题意得， ； ； （2）令得 ， 解得 当时， ∵ ∴不合题意舍去 当时， ∵， ∴符合要求 答：销售价应定为每件40元． （3）, ∵，开口向下， ∴当时，w取最大值2250 答：当销售价定为每瓶35元时超市会获得最大利润，最大利润为2250元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 26．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据题意，解一元二次方程，数形结合即可得到答案； （2）过点作垂直于轴，交轴于点，得到，求出，然后利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况，使为等腰三角形，结合等腰三角形判定与性质直接作图，结合图形求出坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：、的长分别是一元二次方程的两个根（）， 由得，解得， ， ∴，； （2）解：过点作垂直于轴，交轴于点，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数经过和点， 则，解得， ∴； （3）解：根据题意，分两种情况，如图所示： 当与重合时，为等腰三角形，点坐标就是点坐标，为； 当关于对称时，为等腰三角形，过作轴，交轴于点，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ， ， ，， ，，， ， ，, ， 点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意构造辅助线形成全等三角形、等腰直角三角形及相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $