精品解析：广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为， 故选：B． 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B. 是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C. 是一元二次方程，故本选项符合题意； D. 一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D． ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=9.6(cm)． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 5. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形； 又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形 故A. B正确； 如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF， ∴∠FAD=∠ADF， ∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确； 如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误. 故选D 6. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当时，求出对应v的值即可． 【详解】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数， ∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且）， 将，代入得：， ， ∴v与M的函数关系式为， 时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故选：D． 7. 如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（ ） A. B. 2cm C. D. 3cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据图示可知装满了液体的高脚杯中的液体可以看作是三角形（图示见详解），用去部分液体后剩下的液体看作是三角形，因为容器一样，则对应边相等，根据平行线分线段成比例，三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，， 根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点， ∴根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，垂直平分， 在，中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即液面距离杯口的距离h， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，相似三角形的判断和性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 8. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，勾股定理，三角形的面积，动点问题的函数图象，由函数图象，得到，，，再由勾股定理，三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象知：，，， 令， ∴ 由勾股定理： ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 10. 在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 【详解】解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 11. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可. 【详解】解：∵AB=AC，∠B=72° ∴∠ACB=∠B=72° ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36° ∵CD是∠CAB的角平分线 ∴∠ACD=∠BCD= ∴∠A=∠ACD ∴AD=CD 在△ABC与△CBD中 ∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B ∴△ABC∽△CBD ∴ 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴∠CDB=72° ∴∠CDB=∠B=72° ∴AD=CD=BC ∴ 即 ∴D点为AB的黄金分割点 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴CD>BD（大角对大边） ∴AD>BD ∵D是AB的黄金分割点，AD>BD ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 12. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】分两种情况：若方程为一元一次方程，则；若方程为一元二次方程，则，解得且．故满足方程有实数根的m的取值范围是． 13. 如图，在中，，，，将它绕着的中点D顺时针旋转一定角度（小于）后得到，恰好使，与交于点E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作，可证四边形是矩形，可得，通过证明，可得，可求，即可求解．此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知旋转的定义、矩形的性质及相似三角形的判定与性质． 【详解】如图，过点D作， ∵在中，，，， ∴， ∵将绕着的中点D顺时针旋转一定角度（小于）后得到， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或 ． 15. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在第二象限作的位似图形，使的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点的坐标：___________； （2）如果内部的一点M坐标为，则M的对应点的坐标是___________． （3）___________． 【答案】（1）作图见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似作图，位似的性质．熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）由位似的性质作图，如图1：进而可求； （2）由位似的性质可知，； （3）如图2，连接，由位似的性质可知，，即，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由位似的性质作图，如图1： ∴， 故答案为：； 小问2详解】 解：由位似的性质可知，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，连接， 由位似的性质可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.01） （2）试估算盒子里白球有__________个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是__________（填写所有正确结论的序号）； ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”；③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲 （4）李老师利用这个盒子内的球提出了一个问题，先摸一个球，放回，再摸一个球，两次均摸到白球的概率是多少？小瑞打算直接画树状图求解，发现过于复杂．小璇经过思考设计了一个等价的方法，她计算黑白球的比例后，将转盘平均分成四份，…，按照这种思路，设计出如图所示示意图，请你根据示意图利用树状图或列表法求解． 【答案】（1）0.25 （2）5 （3）①④ （4） 【解析】 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． （1）由表中n最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案； （4）首先利用列表法求出所有可能的结果，找出两次均摸到白球的结果数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； 【小问2详解】 解：根据题意得：（个）， 则盒子里白球有5个， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 【小问4详解】 解：列表如下： 白 黑 黑 黑 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑） 黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑） 黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑） 共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种， 两次均摸到白球的概率是． 17. 综合与实践 主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度． 素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具． 步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米； 步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据： （1）直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系； （2）计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】（1） （2）建筑物的高度为10米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：，证明，则，即，解得，； （2）设米，则米，由，，可得，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴； 【小问2详解】 解：设米，则米， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 答：建筑物的高度为10米． 18. 如图，四边形中，，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； （3）连接，若，，求长． 【答案】（1）见解析； （2）是菱形，见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）利用基本作图作角平分线即可； （）由平分，则，再根据平行线的性质得出，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可； （）根据菱形的性质和勾股定理求出长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可； 本题考查了基本作图—作角平分线，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， ∴的角平分线即为； 【小问2详解】 解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 19. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 20. 定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______． （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长． （3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 【答案】（1）四边形ABCE；（2）13或10；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断； （2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明； （3）AM⊥BC，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM，根据三角形的面积公式得到BC×AB＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4， ∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝， AE＝＝2，CE＝＝5， ∴＝＝＝， ∴ABC∽EAC， ∴四边形ABCE是“友爱四边形”， ∵≠， ∴ABC与ACD不相似， ∴四边形ABCD不是“友爱四边形”， 故答案为：四边形ABCE； （2）∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， 当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC， 则＝＝， ∵，，， ∴＝＝， 解得AD＝，CD＝， ∴友爱四边形的周长为； 当∠B=∠D时，ABC∽ADC， 则＝＝＝1， ∵，，， ∴＝＝1， 解得AD＝2，CD＝3， ∴友爱四边形的周长为， 综上所述，友爱四边形的周长为13或10； （3）如图3，过点A作AM⊥BC于M， 则∠AMB＝90°， ∵， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB， ∴在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ＝AB， ∵ABC的面积为3， ∴BC×AB＝3， ∴BC×AB＝12， ∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC， ∴ABD∽DBC ∴， ∴BD2＝AB×BC＝12， ∴BD＝＝2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确是（　　） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 6. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（ ） A. B. 2cm C. D. 3cm 8. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知，若，且，则______． 10. 在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 11. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______． 12. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是________． 13. 如图，在中，，，，将它绕着的中点D顺时针旋转一定角度（小于）后得到，恰好使，与交于点E，则的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14 解下列方程： （1）； （2）． 15. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在第二象限作的位似图形，使的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点的坐标：___________； （2）如果内部的一点M坐标为，则M的对应点的坐标是___________． （3）___________． 16. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0350 0200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.01） （2）试估算盒子里白球有__________个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是__________（填写所有正确结论的序号）； ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”；③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲 （4）李老师利用这个盒子内的球提出了一个问题，先摸一个球，放回，再摸一个球，两次均摸到白球的概率是多少？小瑞打算直接画树状图求解，发现过于复杂．小璇经过思考设计了一个等价的方法，她计算黑白球的比例后，将转盘平均分成四份，…，按照这种思路，设计出如图所示示意图，请你根据示意图利用树状图或列表法求解． 17. 综合与实践 主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度． 素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具． 步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米； 步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据： （1）直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系； （2）计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 18. 如图，四边形中，，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； （3）连接，若，，求长． 19. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 20. 定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______． （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长． （3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $