精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

人大附中2025~2026学年度第一学期初二年级期中练习 数学 说明：本试卷共三道大题，28道小题，共7页；满分100分，考试时间90分钟； 请在密封线内填写个人信息．请将答案全部作答在答题卡相应的位置上． 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：），用它们能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 6，6，6 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，且，，在同一直线上，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，线段，，分别是的高、中线、角平分线，则点，，的位置关系为（ ） A. 点位置总在点、之间 B. 点位置总在点之间 C. 点位置总在点、的左边 D. 三者的位置关系不确定 7. 如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点与点，，形成的图形恰为轴对称图形，则点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 二、填空题：（每空2分，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为_____． 12. 如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为_____． 13. 如图，在中，，，是的角平分线，于，若，则_____． 14. 如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是______． 15. 已知（x，y为正整数），则_____． 16. 如图，在中，，于，且，若，则_____． 17. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是_____． 18. 如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 19. 物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为_____． 20. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：_____． 三、解答题：（第21题8分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分，共50分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 如图，点C是的中点，，且．求证． 24. 如图，已知，的角平分线与边的垂直平分线交于点，连接，． （1）依题意补全图形，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； （2）若，求的度数． 25. “回文”是汉语的一种修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中，也有一种类似具有对称性的自然数，其正读和反读的结果一样，如22、585等，我们将这类自然数称为回文数．回文数在数学、计算机科学等领域均具有研究意义． （1）下列数是回文数的是_____（填写序号）； ①66 ②101 ③2929 ④1331 （2）两位回文数显然都是11的倍数．若将个位数字和十位数字分别为，的四位回文数记为．求证：所有的四位回文数都是11的倍数； （3）我们把既是回文数又是某个整数的平方的数称为平方回数（如）．若一个两位数的个位为5，那么它的平方是否可能是平方回数？如果是，请举出例子；如果不是，请说明理由． 26. 如图，在中，，点在边上，，点在边延长线上，满足． （1）判断和的位置关系，并证明； （2）过作交延长线于点，请你补全图形，并用等式表示、、之间的数量关系，并证明； （3）若，点，分别是线段，上的动点，直接写出的最小值． 27. 在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，点和点关于直线对称，则称点为点关于直线，直线的“双对称点”． 已知点． （1）如图1，若直线为轴，直线为轴，则点关于轴，轴的“双对称点”坐标为_____； （2）若直线为轴，直线为过且与轴平行的直线． ①若点关于直线，直线的“双对称点”为点，且，则的值为_____； ②已知点，若线段上存在点，使得点关于直线，直线的“双对称点”恰好在轴上，求的取值范围； （3）如图2，已知，．若直线为轴，直线为过且与一、三象限角平分线平行的直线．若上存在点，使得点关于直线，直线的“双对称点”恰好在坐标轴上，请直接写出的取值范围：_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中2025~2026学年度第一学期初二年级期中练习 数学 说明：本试卷共三道大题，28道小题，共7页；满分100分，考试时间90分钟； 请在密封线内填写个人信息．请将答案全部作答在答题卡相应的位置上． 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判定，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可； 【详解】解：根据已知选项可知、、不是轴对称图形，是轴对称图形； 故选：． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：），用它们能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 6，6，6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可． 【详解】A、，1，2，3不能组成三角形； B、，3，4，8不能组成三角形； C、，5，5，10不能组成三角形； D、，6，6，6能组成三角形． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除等知识点，熟练掌握指数运算的基本法则是解题关键．根据运算法则进行判断即可得解． 【详解】∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，选项A正确，符合题意； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，选项B错误，不符合题意； ∵ 积的乘方，等于每个因数分别乘方， ∴ ，选项C错误，不符合题意； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，，且，，在同一直线上，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由可得出，，再根据求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 故选C． 5. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 6. 在中，，线段，，分别是的高、中线、角平分线，则点，，的位置关系为（ ） A. 点位置总在点、之间 B. 点位置总在点之间 C. 点位置总在点、的左边 D. 三者的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线、高、角平分线的定义，延长至点，使，连接，证明，得出，，再根据三角形的中线、高、角平分线的定义解答即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：假设（时对称同理），延长至点，使，连接， ， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴点位于点和点之间， 故选：B． 7. 如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【详解】解：，，的周长为7， ∴， ， A、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； D、记两弧交点为， 由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，若点与点，，形成的图形恰为轴对称图形，则点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，能熟记轴对称图形的定义是解此题的关键． 通过分析选项A、B、C、D的坐标，画出图形即可解答． 【详解】解：A、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， B、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， C、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， D、画出图形如下：是轴对称图形，符合题意； ， 故选：D． 9. 如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据等边三角形的性质与折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质得出，，连接，交于点，得出是等腰直角三角形，得出，即可判断C，设，则，分别求得的长，即可判断D选项． 【详解】解：∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴，故A正确； 连接，交于点， 将沿直线翻折，恰使点与点重合， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故B错误，符合题意； ∵将沿直线翻折，恰使点与点重合 ∴ 又∵ ∴，即，故C正确， 设，则， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，故D正确， 故选：B． 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算即可． 【详解】解：∵图2所示的阴影部分面积为90， ∴， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为90可得：． ∴大正方形面积：． 故选：C． 二、填空题：（每空2分，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征．根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称时，横坐标1保持不变，纵坐标2取相反数为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 12. 如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算，再结合乘积中不含的一次项，得出，解方程即可．熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，是的角平分线，于，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线性质得到，再结合含角的直角三角形性质求出．利用角平分线性质得出，再根据含角的直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半求出． 【详解】∵是的角平分线，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据判定三角形全等即可． 【详解】解：连接． 由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知（x，y为正整数），则_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值． 【详解】解： ∵， ∴． 故答案为：27． 16. 如图，在中，，于，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 17. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由以上知识点推出．由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长交于点F，由且平分，证得，可得，再根据，，，证得，进一步证明，则可得，从而得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， 且平分， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：3． 19. 物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为_____． 【答案】E 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的概念，解决本题的关键是找到三角形三边的中点 根据三角形重心的概念，即为三角形三边中线的交点，由此求解即可 【详解】解：在中，点D与点E为边的中线上的点， 点G与点E为边的中线上的点， 点E为边的中线上的点， 由此可知，点E为三角形三边中线的交点， ∴点E为该三角形的重心， ∴若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点E． 故答案为：E ． 20. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形三线合一的性质可以先证明，即可得，设，,通过等腰三角形的性质以及三角形内角和定理找出与的关系式，即可求解； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点，当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大．当点在线段上时，分两种情况讨论即可； ③在上截取，先证明的等边三角形，再证明即可求解； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，分两种情况讨论即可． 【详解】解：①线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ， ． 设，, 则． 由三角形内角和得， ， ， ． 在中，． ， ． 在中，． 在中， ， ， ， ． ； ①是正确的； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点， 当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大． 当点在线段上时，可分两种情况讨论： 当点越接近点时，点越靠近点，当点与点重合时，最小， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点， ，， ,， ， ． ， ，， ． 且， 是等边三角形， ； 当点越远离点时，点越靠近点，当点与点重合时，最大， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点， ，， 平分． ，， ， ， ， ， ； 点不与，重合， 当点在线段上时，； ②是正确的； ③当点在线段上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ③是正确的； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论： 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， ， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交的延长线于点， ． ，， 平分， , ． 在和中， ， ， , ， ． 在和中， ， ， ． ， ； 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ④是不正确的； 综上所述，正确结论的序号是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 三、解答题：（第21题8分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分，共50分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用单项式乘单项式，单项式乘多项式法则计算化简，再合并同类项即可； （2）先利用多项式除单项式，多项式乘多项式法则计算化简，然后去括号再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，单项式乘多项式，合并同类项，多项式除单项式，多项式乘多项式，掌握整式的乘法和除法法则是解题的关键． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键； 先根据整式的运算法则进行化简，再把，代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解： ， ， ； 当，时， 原式． 23. 如图，点C是的中点，，且．求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明是关键．证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】略 24. 如图，已知，的角平分线与边的垂直平分线交于点，连接，． （1）依题意补全图形，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图所示． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的作图方法和线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）过点D作于点M，作交的延长线于点N，结合线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，，，则，可得，则，进而可得，则，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点M，作交的延长线于点N， ∵的角平分线与边的垂直平分线交于点D， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. “回文”是汉语的一种修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中，也有一种类似具有对称性的自然数，其正读和反读的结果一样，如22、585等，我们将这类自然数称为回文数．回文数在数学、计算机科学等领域均具有研究意义． （1）下列数是回文数的是_____（填写序号）； ①66 ②101 ③2929 ④1331 （2）两位回文数显然都是11的倍数．若将个位数字和十位数字分别为，的四位回文数记为．求证：所有的四位回文数都是11的倍数； （3）我们把既是回文数又是某个整数的平方的数称为平方回数（如）．若一个两位数的个位为5，那么它的平方是否可能是平方回数？如果是，请举出例子；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）①②④ （2） 证明：设四位回文数为 ，其值可表示为。 ∵ ， ∴ 是11的倍数。 故所有四位回文数都是11的倍数； （3）不可能， 理由：设这个两位数为，则可表示为，且为整数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 所以若一个两位数的个位为5，那么它的平方不可能是平方回数． 【解析】 【分析】本题考查了整式的计算，新定义，因式分解，正确理解题中回文数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得答案； （2）将表示为，则可得，是11的倍数； （3）设这个两位数为，则可表示为，分别将可能的值，代入计算说明即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得66，101，1331是回文数， 故选：①②④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 如图，在中，，点在边上，，点在边延长线上，满足． （1）判断和的位置关系，并证明； （2）过作交延长线于点，请你补全图形，并用等式表示、、之间的数量关系，并证明； （3）若，点，分别是线段，上的动点，直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：设与交于点G， ∵在中，， ∴， ∵在中，， 在中，， 又∵，， ， ， ； （2） 解：如图， ； 证明：在上截取， ∵，，， ， ， ， ，， ， ， 又∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）设与交于点G，由，得，根据， ，可得，进而得，即可证明； （2）由，在上截取，可得，，，，则，又，从而，在中，可得，由，可得，从而，，于是． （3）作点和点关于直线的对称点，作于，可得，从而的最小值即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点关于直线的对称点，作于，连接，，， ，， ， 点、共线， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定、轴对称的相关性质、勾股定理等知识点，理解题意，熟知相关性质定理，准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，点和点关于直线对称，则称点为点关于直线，直线的“双对称点”． 已知点． （1）如图1，若直线为轴，直线为轴，则点关于轴，轴的“双对称点”坐标为_____； （2）若直线为轴，直线为过且与轴平行的直线． ①若点关于直线，直线的“双对称点”为点，且，则的值为_____； ②已知点，若线段上存在点，使得点关于直线，直线的“双对称点”恰好在轴上，求的取值范围； （3）如图2，已知，．若直线为轴，直线为过且与一、三象限角平分线平行的直线．若上存在点，使得点关于直线，直线的“双对称点”恰好在坐标轴上，请直接写出的取值范围：_____． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据关于轴， 轴对称的点的坐标变化规律即可求解； （2）①根据轴对称的性质得点的坐标，根据，建立方程即可求解；②设，则，，点在线段上，根据题意建立不等式组求解即可； （3）先分别写出点关于直线即轴，直线的对称点，结合题意画出图形，分以下几种情形：当落在轴上时；当落在轴上时；当落在轴上时；当落在轴上时，分别建立方程，求得临界值即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：直线为轴，直线为轴，则点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为 ， ∴点关于轴，轴的“双对称点”坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点关于直线即轴的对称点为， ∵直线为过且与轴平行的直线， ∴直线为直线， ①设点关于直线的对称点的坐标为， 则， ， ， ， ； ②设，则，， 点在线段上， 则或， 解得； 【小问3详解】 解： 为轴，为直线，，，； ，，； ，，； 示意图如图所示， 当落在轴上时，， 解得； 当落在轴上时，， 解得； 综上两种情形，可得； 当落在轴上时，， 解得； 当落在轴上时，， 解得； 综上两种情形，可得； 综上所述，可得或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义下平面直角坐标系中轴对称的性质，解不等式组等知识，解题的关键是理解新定义，找到特殊的对称点，学会利用参数构建不等式组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $