11.3乘法公式 讲义 2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

11.3乘法公式 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】平方差公式的结构特征 6 【题型2】用平方差公式计算 8 【题型3】平方差公式的几何意义 10 【题型4】用平方差公式进行简便计算 16 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 18 【题型6】平方差公式的实际应用 20 【题型7】用两数和（差）的平方公式计算 21 【题型8】两数和（差）的平方公式的几何意义 23 【题型9】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 27 【题型10】用两数和（差）的平方公式求字母的值 29 【题型11】利用两数和（差）的平方公式变形求值 31 【题型12】两数和（差）的平方公式的实际应用 33 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1.（2025•山西模拟）下列运算正确的是（　　） A．（3a2）3=9a5 B．a3•a2=a6 C．2a-a=2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2 【答案】D 【分析】根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【解答】解：A、计算结果是9a6，原式计算错误，不符合题意； B、计算结果是a5，原式计算错误，不符合题意； C、计算结果是a,原式计算错误，不符合题意； D、（a-b）2=a2-2ab+b2，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2.（2025春•阳山县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a2=a6 B．（-2a3）2=4a6 C．a3+a=a4 D．（a-2）2=a2-4 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则计算即可． 【解答】解：根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则逐项分析判断如下： A、a3•a2=a5≠a6，故本选项不符合题意； B、（-2a3）2=4a6，故本选项符合题意； C、a3 和a不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、（a-2）2=a2-4a+4≠a2-4，故本选项不符合题意； 故选：B． 【知识点2】完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 1.（2024秋•龙岗区校级期中）如图，一个大正方形被两条线段分成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别是4和8，则小长方形的对角线AB=（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据两个正方形面积，得到两个正方形边长的平方，从而求出AB的值． 【解答】解：设小正方形的边长为a,大正方形的边长为b, 则AB=， 由题意可知， a2=4，b2=8， ∴AB===． 故选：A． 【知识点3】平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a-b）=a2-b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.（2025春•锦江区校级期中）若（a+3b）（　　）=9b2-a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．-a-3b B．a+3b C．-3b+a D．3b-a 【答案】D 【分析】根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案． 【解答】解：根据平方差公式进行分解因式可知：括号内应填的代数式是3b-a, 故选：D． 【知识点4】平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 1.（2024秋•南宁期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．（a-1）2=a2-2a+1 C．（a+1）2=a2+2a+1 D．a（a+1）=a2+a 【答案】A 【分析】用代数式分别表示左图和右图阴影部分的面积即可． 【解答】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-1，拼成的右图是长为a+1，宽为a-1的长方形，因此面积为（a+1）（a-1）， 所以有a2-1=（a+1）（a-1），即（a+1）（a-1）=a2-1， 故选：A． 2.（2024秋•洪山区期末）从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（　　） A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）•（a-b）=a2-b2 C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2=（a+b）2 【答案】B 【分析】用代数式分别表示图1、图2的面积即可． 【解答】解：图1是长为a+b,宽为a-b,因此面积为（a+b）（a-b）；图2的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2， 因此有（a+b）（a-b）=a2-b2， 故选：B． 【题型1】平方差公式的结构特征 【典型例题】等式(﹣x﹣y)_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的(　　) A.x﹣y B.y﹣x C.﹣x﹣y D.x+y 【答案】A 【解析】∵(﹣x﹣y)(x﹣y)＝y2﹣x2， ∴括号内应填入x﹣y， 故选：A． 【举一反三1】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【答案】C 【解析】A．(a﹣1)(a+1)＝a2﹣1，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．(b+a)(a﹣b)＝a2﹣b2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．(a+2b)(b﹣2a)不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； D．(a+mn)(a﹣mn)＝a2﹣(mn)2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A.(2x﹣y)(2x+y) B.(x﹣y)(﹣y﹣x) C.(b﹣a)(b+a) D.(﹣x+y)(x﹣y) 【答案】D 【解析】A、(2x﹣y)(2x+y)符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误； B、(x﹣y)(﹣y﹣x)＝(﹣y+x)(﹣y﹣x)，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误； C、(b﹣a)(b+a)符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误； D、(﹣x+y)(x﹣y)不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三3】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【答案】C 【解析】A．(a﹣1)(a+1)＝a2﹣1，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．(b+a)(a﹣b)＝a2﹣b2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．(a+2b)(b﹣2a)不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； D．(a+mn)(a﹣mn)＝a2﹣(mn)2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三4】(a+b)(            )＝b2﹣a2． 【答案】b﹣a 【解析】∵b2﹣a2＝(a+b)(b﹣a)． 故答案为：b﹣a． 【举一反三5】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【答案】x+z 【解析】∵(x+y+z)(x﹣y+z)＝(x+z+y)(x+z﹣y)＝[(x+z)+y][(x+z)﹣y]＝(A+B)(A﹣B)， ∵B＝y， ∴A＝x+z． 【举一反三6】下列式子中：①(﹣x﹣y)(﹣x+y)；②(﹣x+y)(x﹣y)；③(x+y+z)(x+y﹣z)；④(x2+y2)(y2﹣x2)，能用平方差公式运算的是　     　． 【答案】①③④ 【解析】①(﹣x﹣y)(﹣x+y)＝x2﹣y2，能用平方差公式运算； ②(﹣x+y)(x﹣y)＝﹣(x﹣y)2，不能用平方差公式计算； ③(x+y+z)(x+y﹣z)＝(x+y)2﹣z2＝x2+2xy+y2﹣z2，能用平方差公式运算； ④(x2+y2)(y2﹣x2)＝y4﹣x4，能用平方差公式运算； 所以，上列式子中能用平方差公式运算的是①③④， 故答案为：①③④． 【举一反三7】(﹣5x﹣3y)(        )＝9y2﹣25x2． 【答案】5x﹣3y 【解析】(﹣5x﹣3y)(5x﹣3y)＝9y2﹣25x2． 故答案为：5x﹣3y． 【题型2】用平方差公式计算 【典型例题】(a﹣b+c)(a+b﹣c)等于(　　) A.﹣(a﹣b+c)2 B.a2﹣(b﹣c)2 C.(a﹣b)2﹣c2 D.c2﹣a2+b2 【答案】B 【解析】(a﹣b+c)(a+b﹣c) ＝[a﹣(b﹣c)][a+(b﹣c)] ＝a2﹣(b﹣c)2． 故选：B． 【举一反三1】化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)得(　　) A.(38+1)2 B.(38﹣1)2 C.316﹣1 D. 【答案】D 【解析】(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1) (34﹣1)(34+1)(38+1) (38﹣1)(38+1) ． 故选：D． 【举一反三2】式子(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)化简的结果为(　　) A.21024﹣1 B.21024+1 C.22048﹣1 D.22048+1 【答案】C 【解析】(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(24﹣1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(21024﹣1)(21024+1) ＝22048﹣1． 故选：C． 【举一反三3】计算：2(﹣a﹣b)(b﹣a)＝　          ． 【答案】2a2﹣2b2 【解析】原式＝2(a2﹣b2)＝2a2﹣2b2． 故答案为：2a2﹣2b2． 【举一反三4】观察下列各式： (x﹣1)(x+1)＝x2﹣1， (x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1， (x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1， …… 根据规律得到：(x﹣1)(xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)＝　           ． 【答案】xn+1﹣1 【解析】(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1， (x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1， (x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1， 根据规律可得(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)＝xn+1﹣1． 故答案为：xn+1﹣1． 【举一反三5】计算：(x4+y4)﹣(x﹣y)(x+y)(x2﹣y2)． 【答案】解：原式＝(x4+y4)﹣(x2﹣y2)(x2﹣y2) ＝(x4+y4)﹣(x2﹣y2)2 ＝(x4+y4)﹣(x4﹣2x2y2+y4) ＝x4+y4﹣x4+2x2y2﹣y4 ＝2x2y2． 【举一反三6】计算：(a﹣3)(a+3)(a2+9)． 【答案】解：(a﹣3)(a+3)(a2+9)＝(a2﹣9)(a2+9)＝a4﹣81． 【题型3】平方差公式的几何意义 【典型例题】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2的有(　　) A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 【答案】C 【解析】对图①，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是平行四边形，其中底为a+b，底边上高为a﹣b，则阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，则有(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2，故可以验证； 对图②，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为a+b，宽为a﹣b，阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，则有(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2，故可以验证； 对图③，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为a+b，底边上高为a﹣b，阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，则有(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2，故可以验证； 对图④，原图阴影部分面积为(a+b)2﹣(a﹣b)2，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为2a，宽为2b，阴影部分面积为4ab，则有(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab，故不能验证(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2；即可以验证的有①②③； 故选：C． 【举一反三1】如图(1)，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个长方形，如图(2)，此过程可以验证(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝(a﹣b)2+4ab 【答案】C 【解析】图(1)中阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图(2)中阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)， 因此有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：C． 【举一反三2】如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的等式是(　　) A.(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.(a+b)(a﹣b)＝a2+b2 【答案】A 【解析】将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，通过裁剪可以拼成长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为(a+b)(a﹣b)，所以有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：A． 【举一反三3】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝a2+2ab+b2 【答案】A 【解析】图1中(1)(2)两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图2是由(1)(2)两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a﹣b)， 因此有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)． 故选：A． 【举一反三4】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是(　　) A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9 【答案】C 【解析】根据题意，得：(2m+3)2﹣(m+3)2 ＝[(2m+3)+(m+3)][(2m+3)﹣(m+3)] ＝(3m+6)m ＝3m2+6m， 故选：C． 【举一反三5】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：      ． A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) C．a2+ab＝a(a+b) D．a2﹣b2＝(a﹣b)2 (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值； ②计算：； 【答案】解：(1)第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为(a+b)(a﹣b)， ∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故答案为：B； (2)①∵a+b＝7，a2﹣b2＝28， ∴(a+b)(a﹣b)＝28，即7(a﹣b)＝28， ∴a﹣b＝4； ②原式＝(1)×(1)×(1)×(1)×(1)×(1)×...×(1)×(1) ... ． 【举一反三6】实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)． (1)上述操作能验证的等式是      ；(请选择正确的一个) A．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 C．a2+ab＝a(a+b) (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【答案】解：(1)图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图2中的阴影部分是长为(a+b)，宽为(a﹣b)的长方形，因此面积为(a+b)(a﹣b)， 所以有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故答案为：A； (2)①∵4a2﹣b2＝24， ∴(2a+b)(2a﹣b)＝24， 又∵2a+b＝6， ∴6(2a﹣b)＝24， 即2a﹣b＝4， 故答案为：4； ②∵1002﹣992＝(100+99)(100﹣99)＝100+99， 982﹣972＝(98+97)(98﹣97)＝98+97， … 22﹣12＝(2+1)(2﹣1)＝2+1， ∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050． 【题型4】用平方差公式进行简便计算 【典型例题】计算：9992﹣998×1002＝(　　) A.﹣2000 B.﹣1995 C.1995 D.2000 【答案】B 【解析】9992﹣998×1002 ＝9992﹣(1000﹣2)×(1000+2) ＝9992﹣10002+4 ＝(999﹣1000)×(999+1000)+4 ＝﹣1×1999+4 ＝﹣1999+4 ＝﹣1995． 故选：B． 【举一反三1】的个位数字为(    ) A.5 B.1 C.2 D.4 【答案】B 【解析】解： ， ∵，，，，……， ∴可知这一列数的个位数字每4个数为一个循环，3，9，7，1依次出现， ∴的个位数为1， ∴的个位数字为1， 故选B． 【举一反三2】计算20232﹣2026×2020的结果是(　　) A.﹣9 B.9 C.0 D.4520 【答案】B 【解析】原式＝20232﹣(2023+3)×(2023﹣3)＝20232﹣20232+9＝9． 故选：B． 【举一反三3】运用乘法公式简便计算：       ． 【答案】1 【解析】 ． 故答案为：． 【举一反三4】计算：399×401+1＝　      　． 【答案】160000 【解析】399×401+1＝(400﹣1)×(400+1)+1＝4002﹣1+1＝160000， 故答案为：160000． 【举一反三5】用简便方法计算：． 【答案】解： ． 【举一反三6】利用乘法公式计算：． 【答案】解： ． 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 【典型例题】已知(3x+2)(ax+b)＝9x2﹣4，则a+b的值是(　　) A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5 【答案】C 【解析】∵(3x+2)(3x﹣2)＝9x2﹣4， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3+(﹣2)＝1， 故选：C． 【举一反三1】已知，那么的结果是(   ) A.32 B.16 C.8 D.4 【答案】B 【解析】 ， ∵， ∴原式， 故选：B． 【举一反三2】已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值(　　) A.4 B.3 C.1 D.0 【答案】C 【解析】∵a﹣b＝1， ∴a2﹣b2﹣2b＝(a+b)(a﹣b)﹣2b＝(a+b)•1﹣2b＝a+b﹣2b＝a﹣b＝1， 故选：C． 【举一反三3】已知，则是________． 【答案】64 【解析】∵， ∴. 【举一反三4】已知x+y＝4，x﹣y＝﹣2，则x2﹣y2＝　   　． 【答案】-8 【解析】x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)， 当x+y＝4，x﹣y＝﹣2时，x2﹣y2＝4×(﹣2)＝﹣8． 故答案为﹣8． 【举一反三5】已知，求的值． 【答案】解： ， ， ， ， 的值为． 【举一反三6】黄老师在黑板上布置了一道题目，针对这道题目嘉嘉和淇淇展开下面的讨论： 根据上述情景，解答下列问题： (1)你认为谁的说法正确？并说明理由； (2)当，时，求代数式的值． 【答案】解：(1)原式， 琪琪正确，因为化简结果与的值无关； (2)将，代入，原式． 【题型6】平方差公式的实际应用 【典型例题】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【答案】C 【解析】设正方形草坪的原边长为a，则面积为：， 将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m后，长方形草坪面积为： ， ∴， 所以改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比减少了． 故选：C． 【举一反三1】如果两个连续奇数的积为，那么这两个连续奇数的和为(    ) A. B.或 C. D.或 【答案】B 【解析】依题意，设较小的奇数为，则较大的奇数为， 因为两个连续奇数的积为， 所以， 即， 解得， 因为这两个连续奇数的和为， 所以或. 故选：B. 【举一反三2】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，得， 故选：B． 【举一反三3】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【答案】C 【解析】设正方形草坪的原边长为a，则面积为：， 将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m后，长方形草坪面积为： ， ∴， 所以改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比减少了． 故选：C． 【举一反三4】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，得， 故选：B． 【题型7】用两数和（差）的平方公式计算 【典型例题】与(﹣x﹣1)2相等的是(　　) A.﹣x2﹣1 B.x2+1 C.x2+2x+1 D.﹣x2﹣2x﹣1 【答案】C 【解析】原式＝(x+1)2＝x2+2x+1． 故选：C． 【举一反三1】计算(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， 故选：D． 【举一反三2】计算(﹣a+b)2的结果是(　　) A.a2+2ab+b2 B.a2﹣2ab+b2 C.﹣a2+b2 D.a2﹣b2 【答案】B 【解析】原式＝a2﹣2ab+b2， 故选：B． 【举一反三3】　    ． 【答案】1﹣mm2 【解析】 ＝(1m)2 ＝1﹣2×1mm2 ＝1﹣mm2， 故答案为：1﹣mm2． 【举一反三4】计算：． 【答案】解： ． 【举一反三5】计算：. 【答案】解： . 【题型8】两数和（差）的平方公式的几何意义 【典型例题】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】图1阴影的面积为：， 图2阴影的面积为：， ， 故选：D． 【举一反三1】用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形，若，，则的值为(    )    A.9 B.12 C.18 D.20 【答案】B 【解析】由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， ∴， ∴(负值已舍掉)． 故选B． 【举一反三2】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是(    )    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】等式是由边长为的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意； 等式是由长为，宽为的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意； 等式是由边长为的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意； 等式，图中找不到有关于的面积，故D不可验证，符合题意． 故选D． 【举一反三3】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】图1阴影的面积为：， 图2阴影的面积为：， ， 故选：D． 【举一反三4】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积， 根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得． 故选：C. 【举一反三5】如图 1 是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按下图 2 的形状拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________，观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系________． (2)运用你所得到的公式，计算若，求的值． 【答案】解：(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于， 根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积， 即， 方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为， ∴. (2)由(1)知：， ∵， ． 【举一反三6】[知识生成] 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．    例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积： 方法1：____________；方法2：____________； 由此可以得出之间的等量关系是____________； [知识迁移] 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (2)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (3)已知，利用(2)的结论求的值． 【答案】解：(1)方法一：根据图②知阴影边长为的正方形， 面积为：， 方法二：根据图②知阴影面积是边长为的正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形的面积， 面积为：， ，，之间的等量关系是； (2)根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：， 图③又可以看作长方体与正方体的体积的和， 则该正方体体积为：， ； (3)由(2)知：， ， ，， ， ． 【题型9】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 【典型例题】如果，那么代数式的值为(    ) A. B.1 C. D.2 【答案】A 【解析】 ， ∵， ∴原式， 故选：A． 【举一反三1】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， 则，故正确； 则， ，故错误； 则， ，故正确； 则， ，故错误， 故正确的为． 故选：D． 【举一反三2】若m与n互为倒数，则的值为         ． 【答案】4 【解析】∵m与n互为倒数， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 【举一反三3】计算： =           ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 【举一反三4】已知代数式：． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 【答案】解：(1) ． (2)∵， ∴， ∴． 【举一反三5】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】解：(1) ， (2) ． 【题型10】用两数和（差）的平方公式求字母的值 【典型例题】已知是完全平方式，则m的值为(    ) A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】D 【解析】∵是完全平方式， ∴． 故选：D． 【举一反三1】若是完全平方式，则的值是(    ) A.或 B.7或 C.或 D.7或 【答案】D 【解析】∵是完全平方式， ∴， 即或， 解得，或， 故选：D． 【举一反三2】若多项式是一个完全平方式，则m的值应为        ． 【答案】或 【解析】∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【举一反三3】若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算：     ； (2)代数式 为完全平方式，求的值． 【答案】解：(1)根据题意可得： ； 故答案为：； (2)根据题意可得： ， ∵原式为完全平方式， ∴． 【举一反三4】若是完全平方式，求的值． 【答案】解：由， 可得， ∴． 【题型11】利用两数和（差）的平方公式变形求值 【典型例题】已知，则的值为(    ) A.12 B.45 C.21 D.35 【答案】C 【解析】∵， ∴ ， 故选C． 【举一反三1】若，则的值(    ) A.1 B.9 C.16 D.21 【答案】D 【解析】∵， ∴， 故选：D． 【举一反三2】已知，，则      ． 【答案】10 【解析】∵， ∴，即， ∴，且， ∴， 故答案为：10． 【举一反三3】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，则______． (2)若，求的值． 【答案】解：(1)∵， ∴，， ∴，即， ∴． 故答案为：31. (2)∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【举一反三4】(1)已知，，求和的值； (2)已知 ，求的值． 【答案】解：(1)， ， ． (2) . 【题型12】两数和（差）的平方公式的实际应用 【典型例题】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为(    )    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设， ∵长方形的周长是，长方形的面积是， ∴，， ∴， 故选C． 【举一反三1】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板(阴影部分)的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意得：． 故选：A． 【举一反三2】如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为        ． 【答案】144 【解析】阴影部分的面积为： ． ∵， ∴阴影部分的面积为：． ∴阴影部分的面积为 144． 故答案为：144． 【举一反三3】已知长方形的周长为40，面积为75，分别以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积之和是多少？ 【答案】解：设长方形的长为a，宽为b，则． ∴． 即分别以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积之和是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3乘法公式 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】平方差公式的结构特征 4 【题型2】用平方差公式计算 5 【题型3】平方差公式的几何意义 5 【题型4】用平方差公式进行简便计算 8 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 9 【题型6】平方差公式的实际应用 10 【题型7】用两数和（差）的平方公式计算 10 【题型8】两数和（差）的平方公式的几何意义 10 【题型9】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 13 【题型10】用两数和（差）的平方公式求字母的值 14 【题型11】利用两数和（差）的平方公式变形求值 14 【题型12】两数和（差）的平方公式的实际应用 15 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1.（2025•山西模拟）下列运算正确的是（　　） A．（3a2）3=9a5 B．a3•a2=a6 C．2a-a=2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2 2.（2025春•阳山县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a2=a6 B．（-2a3）2=4a6 C．a3+a=a4 D．（a-2）2=a2-4 【知识点2】完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 1.（2024秋•龙岗区校级期中）如图，一个大正方形被两条线段分成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别是4和8，则小长方形的对角线AB=（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 【知识点3】平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a-b）=a2-b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.（2025春•锦江区校级期中）若（a+3b）（　　）=9b2-a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．-a-3b B．a+3b C．-3b+a D．3b-a 【知识点4】平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 1.（2024秋•南宁期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．（a-1）2=a2-2a+1 C．（a+1）2=a2+2a+1 D．a（a+1）=a2+a 2.（2024秋•洪山区期末）从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（　　） A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）•（a-b）=a2-b2 C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2=（a+b）2 【题型1】平方差公式的结构特征 【典型例题】等式(﹣x﹣y)_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的(　　) A.x﹣y B.y﹣x C.﹣x﹣y D.x+y 【举一反三1】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【举一反三2】下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A.(2x﹣y)(2x+y) B.(x﹣y)(﹣y﹣x) C.(b﹣a)(b+a) D.(﹣x+y)(x﹣y) 【举一反三3】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【举一反三4】(a+b)(            )＝b2﹣a2． 【举一反三5】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【举一反三6】下列式子中：①(﹣x﹣y)(﹣x+y)；②(﹣x+y)(x﹣y)；③(x+y+z)(x+y﹣z)；④(x2+y2)(y2﹣x2)，能用平方差公式运算的是　     　． 【举一反三7】(﹣5x﹣3y)(        )＝9y2﹣25x2． 【题型2】用平方差公式计算 【典型例题】(a﹣b+c)(a+b﹣c)等于(　　) A.﹣(a﹣b+c)2 B.a2﹣(b﹣c)2 C.(a﹣b)2﹣c2 D.c2﹣a2+b2 【举一反三1】化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)得(　　) A.(38+1)2 B.(38﹣1)2 C.316﹣1 D. 【举一反三2】式子(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)化简的结果为(　　) A.21024﹣1 B.21024+1 C.22048﹣1 D.22048+1 【举一反三3】计算：2(﹣a﹣b)(b﹣a)＝　          ． 【举一反三4】观察下列各式： (x﹣1)(x+1)＝x2﹣1， (x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1， (x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1， …… 根据规律得到：(x﹣1)(xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)＝　           ． 【举一反三5】计算：(x4+y4)﹣(x﹣y)(x+y)(x2﹣y2)． 【举一反三6】计算：(a﹣3)(a+3)(a2+9)． 【题型3】平方差公式的几何意义 【典型例题】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2的有(　　) A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 【举一反三1】如图(1)，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个长方形，如图(2)，此过程可以验证(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝(a﹣b)2+4ab 【举一反三2】如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的等式是(　　) A.(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.(a+b)(a﹣b)＝a2+b2 【举一反三3】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝a2+2ab+b2 【举一反三4】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是(　　) A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9 【举一反三5】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：      ． A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) C．a2+ab＝a(a+b) D．a2﹣b2＝(a﹣b)2 (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值； ②计算：； 【举一反三6】实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)． (1)上述操作能验证的等式是      ；(请选择正确的一个) A．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 C．a2+ab＝a(a+b) (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【题型4】用平方差公式进行简便计算 【典型例题】计算：9992﹣998×1002＝(　　) A.﹣2000 B.﹣1995 C.1995 D.2000 【举一反三1】的个位数字为(    ) A.5 B.1 C.2 D.4 【举一反三2】计算20232﹣2026×2020的结果是(　　) A.﹣9 B.9 C.0 D.4520 【举一反三3】运用乘法公式简便计算：       ． 【举一反三4】计算：399×401+1＝　      　． 【举一反三5】用简便方法计算：． 【举一反三6】利用乘法公式计算：． 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 【典型例题】已知(3x+2)(ax+b)＝9x2﹣4，则a+b的值是(　　) A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5 【举一反三1】已知，那么的结果是(   ) A.32 B.16 C.8 D.4 【举一反三2】已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值(　　) A.4 B.3 C.1 D.0 【举一反三3】已知，则是________． 【举一反三4】已知x+y＝4，x﹣y＝﹣2，则x2﹣y2＝　   　． 【举一反三5】已知，求的值． 【举一反三6】黄老师在黑板上布置了一道题目，针对这道题目嘉嘉和淇淇展开下面的讨论： 根据上述情景，解答下列问题： (1)你认为谁的说法正确？并说明理由； (2)当，时，求代数式的值． 【题型6】平方差公式的实际应用 【典型例题】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【举一反三1】如果两个连续奇数的积为，那么这两个连续奇数的和为(    ) A. B.或 C. D.或 【举一反三2】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【举一反三4】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【题型7】用两数和（差）的平方公式计算 【典型例题】与(﹣x﹣1)2相等的是(　　) A.﹣x2﹣1 B.x2+1 C.x2+2x+1 D.﹣x2﹣2x﹣1 【举一反三1】计算(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】计算(﹣a+b)2的结果是(　　) A.a2+2ab+b2 B.a2﹣2ab+b2 C.﹣a2+b2 D.a2﹣b2 【举一反三3】　    ． 【举一反三4】计算：． 【举一反三5】计算：. 【题型8】两数和（差）的平方公式的几何意义 【典型例题】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是(　　)    A. B. C. D. 【举一反三1】用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形，若，，则的值为(    )    A.9 B.12 C.18 D.20 【举一反三2】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是(    )    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是(　　)    A. B. C. D. 【举一反三4】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　) A. B. C. D. 【举一反三5】如图 1 是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按下图 2 的形状拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________，观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系________． (2)运用你所得到的公式，计算若，求的值． 【举一反三6】[知识生成] 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．    例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积： 方法1：____________；方法2：____________； 由此可以得出之间的等量关系是____________； [知识迁移] 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (2)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (3)已知，利用(2)的结论求的值． 【题型9】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 【典型例题】如果，那么代数式的值为(    ) A. B.1 C. D.2 【举一反三1】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】若m与n互为倒数，则的值为         ． 【举一反三3】计算： =           ． 【举一反三4】已知代数式：． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 【举一反三5】计算下列各题： (1)； (2)． 【题型10】用两数和（差）的平方公式求字母的值 【典型例题】已知是完全平方式，则m的值为(    ) A.2 B.4 C.8 D.16 【举一反三1】若是完全平方式，则的值是(    ) A.或 B.7或 C.或 D.7或 【举一反三2】若多项式是一个完全平方式，则m的值应为        ． 【举一反三3】若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算：     ； (2)代数式 为完全平方式，求的值． 【举一反三4】若是完全平方式，求的值． 【题型11】利用两数和（差）的平方公式变形求值 【典型例题】已知，则的值为(    ) A.12 B.45 C.21 D.35 【举一反三1】若，则的值(    ) A.1 B.9 C.16 D.21 【举一反三2】已知，，则      ． 【举一反三3】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，则______． (2)若，求的值． 【举一反三4】(1)已知，，求和的值； (2)已知 ，求的值． 【题型12】两数和（差）的平方公式的实际应用 【典型例题】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为(    )    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板(阴影部分)的面积为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为        ． 【举一反三3】已知长方形的周长为40，面积为75，分别以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积之和是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $