浙江省宁波六校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2025学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知直线过点A(1,0),B(0,V3),则直线的倾斜角为() A君 B号 c D. 3 2.过点(L,2)且垂直于直线x-2y+1=0的直线方程为() A.2x+y-4=0 B.2x-y+4=0C.2x+y-8=0D.x-2y+4=0 3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点N在OA上，且ON=NA,点M 为BC中点，则NM=() A.'a-161 -a-b+ B.a+16+18 22 2 11 1 a+b+c D. ,11 a+-b--C 2 2 2 22 4双曲线犬少 。~尔=1(a>0,b>0)的离心率为5，则其渐近线方程为() A.y=±√2x B.y=±V5x c.y=+5 D.y=±2x 高二数学学科试题第1页（共6页） 餐S扫描全能王 然病1觉人群言用的日播Ae ……2-222- 5.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x-4y+4=0的公共弦长为() A.√2 B.2√2 C.5 D.25 6.下列说法正确的是() A.若a.b<0,则a,b的夹角是钝角 B.若{a,b,c是空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a也是空间的一个基底 C直线1经过点423，B0,10),则32)到1的距离为5 D.直线1的方向向量a=(0,1-1),平面a的法向量i=(1,-1,-1),则1⊥ 7.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展， 提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上， 标为蒙日圆，椭圆三女 +方=1(a>b>0)的蒙日圆方程为2+y广=a2+b,若圆 3)+,-=16与椭圆。+y产=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为( A.±3 B.±4 C.±5 D.±3√5 8.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化 为几何问题加以解决。例如，与V(x-)+(y-b)相关的代数问题，可以转化为点A(x,y)与 点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数 f(x)=Vx2+6x+10+√x2-6x+10,下列结论正确的是() A.方程f(x)=8有两个解 B.方程f(x)=8无解 C.f(x)的最小值为2万 D.f(x)的最大值为6√万 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线1(a+2)x+ay-2=0与：(a-2)x+3y-6=0,下列选项正确的是() A.若1⊥n,则a=1 B.若1∥n,则a=6或a=-1 C.直线1恒过点，-)D.若直线m在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为y=}x-2 3 餐巴扫描全能王 然病3觉人影喜用的日事A 。-224-2 .x2.y2 已知椭圆E十0>b>0的离心率为，长轴长为6，F,F分别是椭圆的左、 焦点，A,)是一个定点，P是椭圆E上的动点，则下列说法正确的是() A.焦距为4 B.椭圆E的标准方程为广+ 一+ -=1 3620 C.AF=V2 D.IPAI+IPFI的最大值为6+√2 1山.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成， 如图1，也可由正方体切割而成，如图2.在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB=2,则给出 的说法中正确的是() 图1 图2 A.该几何体的体积为4 B.该几何体的表面积为18√3 C.二面角B-EF-H的余弦值为- 3 D.若点P,Q在线段BM,CH上移动，则PQ的最小值为2 3 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量ā=(x,l,1),b=(1,y,),c=(2,-4,2),且a1c,b∥c,则13ā-bF_ 13.设点A(-2,O),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为1，已知I与圆 C:(x-1)2+0y-1)2=1有公共点，则a的取值范围为一 x2 y2 14.已知椭圆G:多+a之b20与双曲线CaGa,>0,b,>0)有相同的焦点、 E,椭圆C的离心率为e,双曲线C2的离心率为2，点P为椭圆C与双曲线C,的第一象限的 高二数学学科试题第3页（共6页） 巴扫描全能王 然病3觉人能在用的归事中 -。-。。22--小 交点，且∠P5=号则的取值范围是 ete 四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知△ABC顶点A(4,0)、B(6,7)、C(0,3). ()求BC边上的中线所在直线I的方程： (2)若直线！过点B,且I的纵截距是横截距的2倍，求直线，的方程. 16.(本小题15分) 如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC,点E为AD的中点，设 OA=a.OB=b.OC=c (1)试用向量a,b,c表示向量0E; (2)若OA=OB=OC=3,∠AOC=∠AOB=60°，∠BOC=45°，求OE.BC的值. 0 E 餐巴扫描全能王 额1配人影直用的日量AP 。”-224-- 17.(本小题15分) 已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=4外有一点A(3,2),过点A作直线1.(1)当直线1与圆C相切时， 求直线I的方程；(2)点P为圆上任意一点，已知B(5,O),求PA+PB的最小值。 18.(本小题17分) 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DE∥BC且 AD=2CD,将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使AC⊥CD,M是AD的中点，如图所 示 (I)求证：AC⊥平面BCDE: (2)求CM与平面ABE所成角的大小： )在线段4C上是否存在点M,使平面NDB与平面4BE成角余弦值为5？若存在，求出CN 的长度；若不存在，请说明理由. B 餐巴扫描全能王 然镜3觉人E直用的日事Ae 。”-224-2- 19.(本小题17分) 在平面直角坐标系xOy中，利用公式 t=ar+bO(其中a,b,c,d为常数)，将点P(x)变 y'=cx+dy 换为点Px,y)的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 a b a b a,b,c,d组成的正方形数表 d 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写 d 英文字母A,B,…表示 (1)如图，在平面直角坐标系xOy中，将点Px,)绕原点O按逆时针旋转得到点P(x,y)( 到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A: V2 v② (2)在平面直角坐标系xOy中，求双曲线xy=4通过二阶矩阵 4 4 进行线性变换 V2 V2 4 4 后得到的双曲线方程C: (3)已知由(2)得到的双曲线C,上顶点为D,直线I与双曲线C的两支分别交于A,B两点(B 在第一象限)，与轴交于点750，设直线D4,DB的领斜角分别为a,B,求证：。+月 为定值 P(xy) P(x.V) 19题(1) 餐S扫描全能王 然病3觉人影直用的日罐AP -2--2小 2025学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科参考答案 命题学校：余姚八中 审题学校：余姚八中 一、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.D2.A3.C4.D 5.B 6.B7.D 8.A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC 10.ACD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.√33 13.[0,+00) 14. 42 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 5-0 解：)可知BC中点的坐标为M3,5),=kAM=3-4=-5, 则由点斜式可得，直线l的方程为y-5=-5(x-3), 即5x+y-20=0:-------- …6分 (2)当横、纵截距均为0时， 马的斜率为石，所以马的方程为y=乙x,符合题意： 7 …8分 6 当横、纵截距均不为0时，设！，的方程为+上=1 a 2a 又4因为过点86,7)，所以9+7=1，解得a= 19 2· -11分 a'2a 所以直线l的方程为2x+y-19=0, 综上，直线马的方程为y=2x或2x+)-19=0 13分 6 16.(15分) 解：()因为2BD=DC,OA=a,OB=b,OC=c, 所以而=c-0c-0丽)， 2分 所以oD=0元+D=0+00-0)=0i+0C, 第1页共6页 餐巴扫描全能王 。-。224-- 因为点E为AD的中点，所以 oi-+n-+6i+00-++oc-+五 I 7分 6 (2)因为OA=OB=0C=3,∠AOC=LAOB=60°，∠B0C=45°， 即IOAHO丽HoC卜3，则BC=0C-OB=c-i,OE=a+6+ 3 6c, 10分 3 3 66 a-i=aC=3x3x9,6.c=3x3x5_9y2 -…12分 22 22 0呢c-号99g0g9-9-} -15分 6 6242 17.(15分) 解：)由题知，圆心坐标为CL,-1),半径为r=2, 当斜率不存在时，直线1的方程为x=3: 2分 当斜率存在时，设直线1的方程为红-y-3k+2=0,则k+1-3张+2=2， I+2 解得长=品 5分 所以直线1的方程为5x-12y+9=0. 综上，直线1的方程为x=3或5x-12y+9=0: 7分 (2)设P(x,),则 1PA2+1PB2=(x-3)2+(y-2)2+(x-5)2+y2=2(x2+y2-8x-2y+19) =2[e-42+(g-1月+4 10分 设M(4,1),则(x-4)2+(y-1)表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 可知C(2,), 又CM=V4-旷+1+y=3>2,则点M在圆C外面. 12分 所以|PMImin=1CM-2=V13-2, 则(0PA2+1PB)mim=2(W13-2)2+4=38-8V13 则PA+PB的最小值为38-8√13. --15分 第2页共6页 影田扫金任 18.(17分) 解：(I)证明：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC,且BC⊥CD, 所以DE⊥CD,DE⊥AD,则折叠后，DE⊥A,D, 又AD∩CD=D,AD,CDc平面ACD, 所以DE⊥平面ACD,ACc平面ACD,所以DE⊥AC, 又已知AC⊥CD,CDO DE=D且都在面BCDE内，所以AC⊥平面BCDE;------5分 (2)由I)知，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系C-yz, 因为AD=2CD,故DE=名BC=2, 由几何关系可知，CD=2,4D=4,4C=2W5, 故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0),4(0,0,25,M1,0,5) CM=1,0,5),4B=(0,3-2W5),4E=(2,2,-25) 设平面ABE的法向量为i=(x,y,z),则 i.4B=0n∫3y-25z=0 7.AE=01 即 2x+2y-2W5z=0 不妨令y=2,则z=√5，x=1,故平面ABE的一个法向量为i=1,2,5), 设CM与平面ABE所成角的大小为O, 则有sim0=cos(C,元1= C.元4 v2 C元2×2W5=2,所以0= 4 血CM与平面ABE所成角的大小为子 -.11分 第3页共6页 餐巴扫描全能王 然病1觉人影在用的日量Ae -。24-小 B)假设在线段4C上存在点N,使平面NDB与平面4BE成角余弦值为 4 在空间直角坐标系中，设N(0,0,t),其中0≤t≤2√3，则NB=(0,3,-t),BD=(2,-3,0), ∫30-t20=0 设平面NDB的法向量为m=(x,y,乙o),则有 m.NB=0. 即 元.BD=0 2x0-3%0=0 不妨令0=2t,则x0=3t,20=6,故平面NDB的法向量为元=(3t,2t,6), 由(2)知平面ABE的一个法向量为i=（1,2,V5 若平面NDB与平面ABE成角余弦值为 4 元.元 则满足cos(侃，=。 I3t+4t+6v3 m·元2√2×V9t2+4t2+36=4, 化简得102+84V3t=0,解得1=0或_42y3(舍)，即N与C重合，CN=0, 5 故在线段AC上存在这样的点N,使平面DB与平面4BE成角余弦值为5， ,此时CN的长度 4 为0.- --17分 19(17分) 解：)设OP=OP=r,∠POx=0,可得x=rcs8,y=rsn0,∠P0r=0+5,所以 rcos(+)=rcos0cos-rsin si1 寸=rsin(0+孕=rsin0cos写+rcos0sin】=21+y-0,则坐标变换公式为 T x=x.0-y·1 =x·1+y01 所以对应的二阶矩阵A为 4分 x'-② (2)设曲线y=4上任意一点(x,y)变换后所得点坐标为(x',y),即 x-) ，此时 4x+) --分-2，数理得号-号-1则题自线C的方程为号-于 =1:-8分 22 (3)法一 由愿意可知，设AB直线方程为x=m+5 3·4xDB西，) 笙4而比6而 S扫描全能王 然病3亿人能直用的日睡AP -。24-